三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法。每條邊上所對(duì)應(yīng)的中線的交點(diǎn);垂心：AA5C中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的垂線上的交點(diǎn)；內(nèi)心：AA5C中、每個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）；外心：AA5C中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）。一、重心1、。是A48C的重心O次+而+5?=6.?.—?若。是AA8C的重心，則ABOC=AAOC=AAO6=—AA6。故04+06+。。=。，3PG=；(PA+P8+PC)OG為A48C的重心.—1...2、"是△48C所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是△48C的重心aPG=-{PA+PB+PC).證明：PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG3PG=(AG+BG+CG)+(PA+~PB+PC)???G是△彳宓的重心：.GA+GB+GC=0^>AG+BG+CG=0, 3PG=PA+PB+PC由此可得PG=；（PA+P8+PC）.（反之亦然（證略））3、已知。是平面上一定點(diǎn)，A8C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+A（AB+AC）,4e（0,+s）,則P的軌跡一定通過△A6C的重心.例1若。為AA8c內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=6,則。是的（ ）A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心

二、垂心1、。是A48C的垂心o3?08=O5?OC=OA?OC若。是A48C（非直角三角形）的垂心，則古攵tanAOA+tanBOB+tanCOC=62、，是面內(nèi)任一點(diǎn)，蘇?麗=而屈=沅屈0點(diǎn)，是4彳宓的垂心.由瓦?班=麗?阮。班.（阮-麗=0U＞麻?n=0U＞麻，記同理比_L而，豆_1_就.故H是AA8C的垂心.（反之亦然（證略））3、尸是6c所在平面上一點(diǎn)，若麗?麗=麗?正=正?京，則尸是△?16c的垂心.由b4-p分=。反。弓，得pQ?（pA—pd）=o,即尸從c4=o,所以p^_lc4.同理可證定，A月，PA±BC.P是可證定，A月，PA±BC.P是△?16c的垂心.如圖1./］、：1圖14、已知。是平面上一定點(diǎn)，AB,—— AB ACOP=OA+A —+——ABcos6ACcosC\/△A6c的垂心.例2P是4ABC所在平面上一點(diǎn)，弓,Ao圖⑷C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足,2G（0,+co）,則動(dòng)點(diǎn)尸的枕跡一定通過^PAPB=PB-'PC=PCPAf則P是4ABC的()A.外心B.A.外心B.內(nèi)心 C.重心D.垂心三、內(nèi)心1、。是M8C的內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記就,亂的單位向量為H，［,則剛才0是AA8c的內(nèi)心的充要條件可以寫成QA.1+s)= +ej=OC^(e2+6)=。2、。是M8c的內(nèi)心的充要條件也可以是。?加+/??歷+c?5?=6。3、若。是AABC的內(nèi)心,則Smou:S'M:Sl=a\b.c故a?OA+b?OB+c?OC=G或者sinA?g+sin5?05+sinC?OC=6；4、已知/為6c所在平面上的一點(diǎn)，且A8=c,AC=b,BC=a.若aIA+bIB^cIC=O9則/是/XABC的內(nèi)心.???岳=M+麗，IC=IA+AC,則由題意得(4+/?+c)M+Z?而+c比=0,ABACVbAB+cAC=|ac|-AB+網(wǎng)?Ad=卜］.網(wǎng)?ABAC??,雪與普分別為血和北方向上的單位向量,，府與N6AC平分線共線，即4平分/84C.同理可證：5/平分NA8C,C7平分NAC8.從而I是AABC的內(nèi)心,如圖。OP=OA+^AB網(wǎng)+（A）OP=OA+^AB網(wǎng)+（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心CD）垂心???當(dāng)幾￡（0,+8）時(shí)，心表示NB4C的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定通過△A8C的內(nèi)心，如圖。例3。平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足4C r——-）,4e［。,+8）則P點(diǎn)的軌跡一定通過A48C的（AC四、外心1、0是A48C的外心U>|萬=|方卜|5?|,若0是AABC的外心則=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=sin2A:siii2B:sin2C故sinAOA+siiiBOB+sinCOC=6o2、,3、已知。是△A6C所在平面上一點(diǎn)，若灰=灰=赤，則。是6c的外心.若0A2=OB=oc\則|oA|2=|o^|2=|oc|2,|函卜|麗卜|瓦.則0是AABC的外心，如圖1。3、已知O是平面上的一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足AB,/G(0,+co)AB,/G(0,+co),則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定通2過△A6C的外心，例4若。為AA8C內(nèi)一點(diǎn)，儂卜的則。是AA8C的( )A.內(nèi)心 B.夕卜心 C.垂心 D.重心ABcos6ACcosC如圖2o關(guān)于“歐拉定理”的一些問題：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置關(guān)系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線——“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外——垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例5在4ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG：GH=1:2。證明：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B(xi,0)、C(x2,y2),D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：D(*0)、七4盧，爭(zhēng)、尸。，爭(zhēng)由題設(shè)可設(shè)。(手,外)、JBC=(x2-xl,y2)-AHIBC:.AH?BC=x2(x2-xl)+y2y4=0x^x.-xj???,、=---力\QFLAC：,QF.AC=x2^-^)+y2(^-y.)=0??力x2??力x2(x2-xj)\ 1 2y2QH=(x2QH=(x2_寸,y4_y3)=(2x2T1 3x2(x2-xjx2(x2-Xl)y2x2(x2-Xl)y2z2x,-x.=；西■ -T)=6%?1z2x.-x.-(-= -3 23a\(x2-xjy22%?即。〃=3。@,故。，G、，三點(diǎn)共線，且。G:GH=1：2例6.若0、，分別是△ABC的外心和垂心.求證OH=OA+OB+OC.證明若AABC的全心為H,外心為0,如圖.連80并延長交外接圓于。，連結(jié)4?,CD.AADIAB,8_L8C.又垂心為，，AHYBCfCHA.AB,：.AH//CD,CH//AD,.,?四邊形4/a?為平行四邊形，?\ah=dc=B3+5c,古攵而=3+而=次+五+5?.“歐拉定理”簡(jiǎn)化:—*1—*OG=-OH

3例7設(shè)0、—*1—*OG=-OH

3證明按重心定理G是△48C的重心q53=1(tt4+55+oc)按垂心定理OH=OA+OB+OC}由此可得OG=-OH.3補(bǔ)充練習(xí)一：.已知A、B、。是平面上不共線的三點(diǎn)，。是M8C的重心，動(dòng)點(diǎn)夕滿足TOC\o"1-5"\h\z■1 1 .1 ? .OP二一(―。4+―O8+2OC),則點(diǎn)夕一定為A45C ()3 2 2邊中線的中點(diǎn) 邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心 邊的中點(diǎn).在同一個(gè)平面上有AABC及一點(diǎn)0滿足關(guān)系式：OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2,則。為AABC的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心.j.已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：PA+PB+PC=O1則P為AABC的 （）A外心B內(nèi)心C重心D垂心.已知0是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足:op=5a+a（a3+ac）,則p的軌跡一定通過aabc的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心.已知AABC,P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：PA^PC+PA^PB+PB^PC=O,則P點(diǎn)為三角形的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心已知△ABC,P已知△ABC,P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：a-PA+bPB+c^PC=0則P點(diǎn)為三角形的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心.在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：CA=CB2-2AB^CP9則P點(diǎn)軌跡一定通過 △ ABC（）A夕卜二B內(nèi)心C重心D垂心7.已知非零向量而與太滿足扁詞同同A.三邊均不相等的三角形C.7.已知非零向量而與太滿足扁詞同同A.三邊均不相等的三角形C.等腰非等邊三角形B.直角三角形D.等邊三角形8.).AA5c的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為^.OH=m(OA+OB+OC),則實(shí)數(shù)m=o點(diǎn)0是AA/C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足礪?礪=5瓦1=5E?方，則點(diǎn)。是AA3C的0A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B三條邊的垂直平分線的點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn) D三條高的交點(diǎn).已知點(diǎn)G是AA5C的重心，過G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且AM=xA6,SV=yAC,則，+_1=3。xy證點(diǎn)G是MBC的重心，^GA+GB+GC=0,^-AG+(AB-AG)+(AC-AG)=0,有而=；(而+衣)。又M,N,G三點(diǎn)共線(A不在直線MN上)，于是存在九4，使得而=4而？+//麗(且％+4=1),有AG=AxAB+pyAC=^(AB+AC),p+〃=l1，于是得±+±=3。/U=/<y=- vy補(bǔ)充練習(xí)二:1、已知。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，若552=無2=5?2,則0是△AB（^q〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心2、在4ABC中，有命題①而—n=元；（2）AB+BC+CA=O；③若（AB+AC）＞（A5-AC）=0,則AABC為等腰三角形；④若麗＞0,則AA6c為銳角三角形，上述命題中正確的是〔〕A、①② B、①④ C、②③ D、②③④3、已知4ABC3、已知4ABC中，有=試判斷4ABC的形2狀。4、已知4ABC中，AB=a,BC=b,B是AABC中的最大角，若3?3＜0,試判斷4ABC的形狀。5、已知。是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足|豆（+|明2二|歷『+|回？二|引？十|蕊（，則0是△從8（｝的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心6、已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足OP=OA+A/_\亞+亞屬同OP=OA+A/_\亞+亞屬同,46（0,+s）,則動(dòng)點(diǎn)P一定過4ABC的〔A、重心 A、重心 B、垂心7、已知0為平面內(nèi)一點(diǎn)，A、B、C、外心 D、內(nèi)心C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足麗=礪+4（而+麗=礪+4（而+1■可Us（O,-hz））,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過4ABC的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心8、已知。是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+AABACA、重心,小058OP=OA+AABACA、重心,小058|ac|cosCB、垂心,2￡（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P一定過AABC的（：〕C、外心D、內(nèi)心9、已知。是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足而JB+OC2而JB+OC2（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P一定過AABC的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心10、已知點(diǎn)G是的重心，過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點(diǎn)，且 --——? I1AM=x^AB.AN=y?AC,求證：—+—=3補(bǔ)充練習(xí)三：1、已知。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，若加+而+5?=6,則。是△人8。的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心2、若4ABC的外接圓的圓心為0,半徑為1,且次+而+云=6,則方?歷等于〔〕