有限元分析及應用第一講

有限元分析及應用第一講4/3/2004第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004緒論

一般問題的數(shù)學描述數(shù)值方法的求解分類有限元法的基本思想有限元計算的主要步驟有限元法的應用有限元法的力學基礎

材料力學與彈性力學的比較彈性力學的基本方程虛功原理及最小勢能原理連續(xù)彈性體的有限元法

平面問題的有限元法空間問題的有限元法軸對稱問題的有限元法薄板彎曲問題的有限元法離散結(jié)構的有限元法

桿梁結(jié)構的有限元法等參單元與數(shù)值積分結(jié)構動力學問題的有限元法溫度場的有限元法有限元建模的若干問題

有限元建模的一般步驟有限元建模的基本原則幾何模型的簡化處理物理問題的等效處理單元類型選擇與常見單元網(wǎng)格布局與劃分模型檢查與處理有限元結(jié)果分析及可視化

有限元計算結(jié)果分類有限元結(jié)果分析有限元結(jié)果的可視化常用有限元分析系統(tǒng)簡介

有限元分析系統(tǒng)的基本組成有限元分析系統(tǒng)的基本功能常見商業(yè)化有限元分析系統(tǒng)有限元分析及應用第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004本章內(nèi)容1-1工程和科學中典型問題1-2場問題的一般描述1-3場問題的求解策略及求解方法比較1-4有限元法基本思想1-5有限元法的基本步驟1-6有限單元法的發(fā)展1-7有限單元法的基本內(nèi)容1-8有限單元法的應用1-9有限元法的幾個熱點問題第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-1工程和科學中典型問題

在工程技術領域內(nèi)，經(jīng)常會遇到兩類典型的問題。第一類問題，可以歸結(jié)為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構框架和桁架結(jié)構。把這類問題稱為離散系統(tǒng)。如左圖所示平面桁架結(jié)構，是由6個承受軸向力的“桿單元”組成。盡管離散系統(tǒng)是可解的，但是求解右圖這類復雜的離散系統(tǒng)，要依靠計算機技術。

中華和鐘第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-1工程和科學中典型問題

第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜裱幕痉匠?，即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題，熱傳導問題，電磁場問題等。由于建立基本方程所研究的對象通常是無限小的單元，這類問題稱為連續(xù)系統(tǒng)，或場問題。

盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數(shù)簡單問題的精確解答。對于許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如圖示V6引擎在工作中的溫度分布。為解決這個困難，工程師們和數(shù)學家們提出了許多近似方法。第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-2場問題的一般描述

---微分方程+邊界條件1)應力場----彈性力學2)溫度場----熱傳導3)電磁場----電磁學4)流速場----流體力學A、B----微分算子（如對坐標或時間的微分）u----未知場函數(shù)，可為標量場（如溫度），也可為矢量場（如位移、應變、應力等）

嚴格講，都屬張量場；第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004基本方程：邊界條件：實例：二維熱傳導（穩(wěn)態(tài)）問題原理：從兩個方向傳入微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量Q平衡第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-3場問題的求解策略及方法一、求解策略：1、直接法：求解基本方程和相應定解條件的解；2、間接法：基于變分原理，構造基本方程及相應定解條件的泛函形式，通過求解泛函的極值來獲得原問題的近似解。即將微分形式轉(zhuǎn)化與其等價的泛函變分的積分形式；二、求解方法：1、解析或半解析法：2、數(shù)值法：

A）基于直接法的數(shù)值法，如差分法；

B）基于間接法的數(shù)值法，如等效積分法（如里茲法）、有限元法等

第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004數(shù)值計算方法分類特點優(yōu)缺點差分法均勻離散求解域；差分代替微分；解代數(shù)方程組要求規(guī)則邊界，幾何形狀復雜時精度低等效積分法（加權余量法或泛函變分法）整體場函數(shù)用近似函數(shù)代替；（近似函數(shù)常為含n個待定系數(shù)的多項式，）微分方程及定解條件的等效積分轉(zhuǎn)化為某個泛函的變分，--求極值問題，（利用極值條件建立n個代數(shù)方程），解代數(shù)方程組適合簡單問題，復雜問題很難解決有限元法可非均勻離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近似整體未知場函數(shù)；解線性方程組。有限元法的數(shù)學基礎仍是變分法（同上）。節(jié)點可任意配置，邊界適應性好；適應任意支撐條件和載荷；計算精度與網(wǎng)格疏密和單元形態(tài)有關，精度可控。對裂縫和無限域的分析存在不足第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-4有限元法基本思想先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在節(jié)點相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個單元的集合近似代替對每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程（即單元剛度方程）借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-4有限元法基本思想整體平衡分片近似單元平衡結(jié)構離散方程求解問題分析力學模型節(jié)點單元位移函數(shù)單剛方程總剛方程節(jié)點位移第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例1(離散系統(tǒng))結(jié)構離散節(jié)點位移向量表示：節(jié)點力向量表示：節(jié)點1沿x方向的位移、其余節(jié)點位移全為0時軸向壓力為：

第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例1（單元分析）節(jié)點1作用于單元1上的力，在x和y方向的分量分別為：

同理，節(jié)點2作用于單元1上的力，其大小與之相等，方向相反，x和y方向的分量分別記為：注：表示第e個單元的第j個自由度產(chǎn)生單位位移，而其它自由度上的位移為零時，第i個自由度上所受的力。常稱其為單元的剛度系數(shù)。

第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例1（單元分析）同理可求分別作單位位移時相應的剛度系數(shù)，考慮到節(jié)點的實際受力為和實際位移為，則據(jù)各個節(jié)點節(jié)點力平衡得：單元1節(jié)點力平衡方程單元2節(jié)點力平衡方程第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例1（整體分析）整體分析：作用于每個節(jié)點上的節(jié)點力平衡，即結(jié)合前式推導得：第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例1（引入約束求解）整體矩陣記為：將代入可得整體方程第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例2（連續(xù)問題）通過材料力學求解和有限元求解進行比較 例：等截面直桿在自重作用下的拉伸圖(a)單位桿長重量為q，桿長為L，截面面積為A，彈性模數(shù)為E

第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例2材料力學方法求解直桿拉伸：圖(b)---位移法

考慮微段dx，內(nèi)力N=q(L-x)dx的伸長為

x截面上的位移：根據(jù)幾何方程求應變，物理方程求應力。這里應變

應力第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例2（結(jié)構離散）有限單元法求解直桿拉伸：

1、離散化

2、外載荷集中到結(jié)點上，即把投影部分的重量作用在結(jié)點i上

第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例2（單元分析）有限單元法求解直桿拉伸：

3、假設線單元上的位移為線性函數(shù)

第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例2（單元分析）有限單元法求解直桿拉伸：

4、以i結(jié)點為對象，列力的平衡方程令將位移和內(nèi)力的關系代入得

用結(jié)點位移表示的平衡方程，其中i=1，2，…n有n個方程未知數(shù)也有n個，解方程組，得出結(jié)點位移，進而計算應力

第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004實例2（整體分析與求解）有限單元法求解直桿拉伸：

假設線單元數(shù)為3個的情況，平衡方程有3個：i=1時，i=2時,i=3時，聯(lián)立解得

與材料力學的精確解答在結(jié)點處完全相同第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-5有限元法的基本步驟所研究問題的數(shù)學建模(問題分析)結(jié)構離散單元分析

(位移函數(shù)、單剛方程)整體分析與求解

(總剛方程與求解)結(jié)果分析及后處理力學模型(平面應力問題)微分方程+邊界條件有限元模型代數(shù)方程組（基本變量節(jié)點位移）第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-6有限單元法的發(fā)展

在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過程中，工程師和數(shù)學家從兩種不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，來源于固體力學中矩陣結(jié)構法的發(fā)展和工程師對結(jié)構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看，桁架結(jié)構等標準離散系統(tǒng)與人為分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構上存在相似性。

1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。他們把結(jié)構劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點力與節(jié)點位移關系的單元剛度矩陣。

1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構分析論文。

1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術語。第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-6有限單元法的發(fā)展

數(shù)學家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權余量法。在1963年前后，經(jīng)過J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權余量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結(jié)構問題。第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-6有限單元法的發(fā)展

我國的力學工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應用于結(jié)構分析，還能解決歸結(jié)為場問題的工程問題，從二十世紀六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設計和優(yōu)化提供了有力的工具。

有限元法是一種數(shù)值計算方法?？蓮V泛應用于各種微分方程描述的場問題的求解。第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-7有限元法的基本內(nèi)容有限元法的力學基礎是彈性力學（相對固體力學而言），而方程求解的原理是泛函極值原理，實現(xiàn)的方法是數(shù)值離散技術，最后的技術載體是有限元分析軟件。因此學習時，必須掌握的基本內(nèi)容應包括：1、基本變量和力學方程（即彈性力學的基本概念）2、數(shù)學求解原理（即能量原理）3、離散結(jié)構和連續(xù)結(jié)構的有限元分析實現(xiàn)（即有限元法的基本步驟）4、有限元法的應用（即有限元法的應用領域或工程問題研究）5、各種分析建模技巧及計算結(jié)果的評判6、典型分析軟件的使用注意：會使用有限元軟件不等于掌握了有限元分析工具第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-8有限元法的應用在大力推廣CAD技術的今天，從自行車到航天飛機，所有的設計制造都離不開有限元分析計算，F(xiàn)EA在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。產(chǎn)品開發(fā)的基本流程CADCAECAM

設計修改或優(yōu)化運動性能力學性能可靠性數(shù)字樣件性能分析數(shù)字加工應力變形固有頻率有限元分析第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004制動器數(shù)字模型及FEA網(wǎng)格第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004制動器性能分析第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004東海大橋和杭州灣大橋用起重船亞洲第一，世界第二起重船高70米起重3000噸第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004起重機和扁擔梁模型第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004滾動軸承受力分布及游隙設計第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004面板剛性增強設計面板剛度提高2.8倍,質(zhì)量減少35%,整體厚度下降CAD模型CAE分析結(jié)構優(yōu)化工藝設計后的產(chǎn)品第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004壓力容器增強剛度設計第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/2004壓力容器增強剛度設計最大變形:7.54mm最大變形:10.8mm最大變形:13.9mm注意:只憑經(jīng)驗增加加強筋并不能提高剛度

FEA-------提高產(chǎn)品質(zhì)量的重要工具第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五4/3/20041-9有限元法的基本概念結(jié)構離散（有限元建模）內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分---即把結(jié)構按一定規(guī)則分割成有限單元

2）邊界處理---即把作用于結(jié)構