數(shù)值傳熱學(xué)第四章數(shù)值計(jì)算

數(shù)值傳熱學(xué)第四章數(shù)值計(jì)算第1頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.1本章的對象一、本章研究對象

本章以導(dǎo)熱問題為代表，介紹擴(kuò)散方程的數(shù)值求解法。將通用微分方程中的對流項(xiàng)略去，整個(gè)方法的介紹將在第五章完成。

第2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五二、以導(dǎo)熱問題的數(shù)值解作為學(xué)習(xí)起點(diǎn)的原因

熱傳導(dǎo)作為物理過程易于理解，而且在數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性最小，計(jì)算方法也比較成熟；工程流動(dòng)與換熱過程中的不少現(xiàn)象，其控制方程類似于熱傳導(dǎo)方程。如二維位勢流動(dòng)；常物性流體在直管內(nèi)的充分發(fā)展對流換熱；質(zhì)擴(kuò)散過程；軸承的潤滑流動(dòng)；某些通過多孔介質(zhì)的流動(dòng)。導(dǎo)熱問題數(shù)值解過程中所采用的一些方法與技巧對于對流問題的數(shù)值解也適用。如邊界條件的處理、源項(xiàng)的線性化及代數(shù)方程組的求解方法等。

第3頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五④.把熱傳導(dǎo)用作流體流動(dòng)計(jì)算方案的基本組成部分的做法有助于理解動(dòng)量傳遞與熱量傳遞之間的類似性（用某種方法把速度與溫度相比擬）。本章內(nèi)容將是流動(dòng)與換熱數(shù)值解的基礎(chǔ)第4頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)§4.2-1基本方程一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的控制方程：式中：相應(yīng)的離散化方程：第5頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五分布假設(shè)：由T對x的分段線性的變化算得；源項(xiàng)的線性化TP代表整個(gè)控制容積內(nèi)的值，即采用階梯性分布進(jìn)行計(jì)算的。當(dāng)然，不違背四項(xiàng)基本法則，選擇其它形式的分布曲線也是可以的，但盡可能采用簡單一些的分布曲線。以下各節(jié)將對離散方程中的各項(xiàng)給予說明第6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-2網(wǎng)格間距1.采用不均勻的網(wǎng)格間距WwPeExx(x)w(x)e可以有效地?cái)U(kuò)大計(jì)算功能。在溫度T

隨x變化劇烈的區(qū)域上采用細(xì)網(wǎng)格，而在變化緩慢的區(qū)域采用較疏（粗）的網(wǎng)格。2.怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)合適的非均勻網(wǎng)格因?yàn)樵趩栴}求解之前，T～x的分布是不知道的，那么如何設(shè)計(jì)網(wǎng)格呢？？第7頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五①.對所要得到的解進(jìn)行某些定性的預(yù)計(jì)，使設(shè)計(jì)得到某些指導(dǎo)；②.采用粗網(wǎng)格進(jìn)行試算,求得T～x的變化形式，再對溫度變化急劇的區(qū)域加密，最后構(gòu)成一個(gè)合適的非均勻網(wǎng)格。3.先疏后密的網(wǎng)格劃分是有前提的采用粗網(wǎng)格得到的數(shù)值結(jié)果必須符合物理上的真實(shí)性，要做到這一點(diǎn)，就應(yīng)該確保離散方程同時(shí)滿足四個(gè)基本法則。達(dá)到給定精度所需要的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù),以及這些網(wǎng)格點(diǎn)在計(jì)算域內(nèi)應(yīng)采取的分布方式與所求問題的特性有關(guān)。4.采用僅幾個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行試探性計(jì)算，為弄清有關(guān)解的情況提供了一個(gè)方便的途徑。也可來指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)。第8頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-3界面導(dǎo)熱系數(shù)1.問題的提出

通用離散方程式aE、aW分別是節(jié)點(diǎn)E與P和節(jié)點(diǎn)W與P間的熱導(dǎo)，熱導(dǎo)的大小反映了周圍節(jié)點(diǎn)對節(jié)點(diǎn)P的影響程度。系數(shù)aE、aW中分別含有交界面導(dǎo)熱系數(shù)ke與kw。當(dāng)k是x的函數(shù)時(shí)，只知道kP

、kE、

kW，無法知道ke與kw的值，而ke與kw是決定交界面熱流量的關(guān)鍵量。因此，計(jì)算ke與kw的方法是否合理就顯得非常重要了。式中：第9頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五k值不均勻性產(chǎn)生的原因由材料的不均勻性引起（如組合材料板）；材料均勻，T分布的不均勻性也會導(dǎo)致k的不均勻。2.求解方法①.算術(shù)平均法xPeE(x)e(x)e+(x)e-如圖所示，P、E之間，k與x呈線性關(guān)系，則由P、E兩點(diǎn)上的kP

、kE確定ke的關(guān)系式為：第10頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五顯然，這相當(dāng)于線性插值。當(dāng)界面e位于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的中點(diǎn)時(shí)，fe=0.5,此時(shí)第11頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五②.調(diào)和平均法利用傳熱學(xué)基本公式可以導(dǎo)出界面上當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的調(diào)和平均公式。據(jù)界面上熱流密度連續(xù)的原則，寫出下式：另一方面，按界面上當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的含義，應(yīng)有：比較兩式可得：可看成是串聯(lián)過程熱阻疊加原則的反映(x)ePeE(x)e+(x)e-x第12頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五③.兩種方法的比較算術(shù)平均法簡單方便，但在處理導(dǎo)熱性能相差很大的組合材料導(dǎo)熱時(shí)存在明顯缺陷。下面討論兩種極限情況：

kE0,即設(shè)想交界面e是k

相差很大的兩種材料的分界面，節(jié)點(diǎn)E的控制容積是絕熱材料，這時(shí)節(jié)點(diǎn)E、P之間的導(dǎo)熱量應(yīng)該小到接近于零，即兩點(diǎn)間的熱阻應(yīng)接近于∞。但用算術(shù)平均法計(jì)算,,這時(shí)ke與kE無關(guān)，僅與kP有關(guān)，不符合物理規(guī)律。(x)ePeE(x)e+(x)e-x第13頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五P控制容積是良導(dǎo)熱體,按算術(shù)平均法計(jì)算,當(dāng)網(wǎng)格均分時(shí),即P、E兩點(diǎn)間的熱阻為，表明此時(shí)P、E間的熱阻主要由k大的物體所決定，顯然不符合傳熱原理。實(shí)際上，此時(shí)控制體E構(gòu)成了熱阻的主要部分。(x)ePeE(x)e+(x)e-x第14頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五調(diào)和平均法可以合理求解上述兩種極限情況

當(dāng)時(shí)表明ke

完全與kP無關(guān)，這個(gè)結(jié)果是可以預(yù)料的。因?yàn)閲@P點(diǎn)的材料k

值高，其熱阻與圍繞E點(diǎn)的材料相比可以忽略。

當(dāng)

kE0時(shí)，由計(jì)算公式得ke0，qe0。意味著在一個(gè)絕熱層的表面上熱流密度為零，與實(shí)際情況相符。第15頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五調(diào)和平均公式的推導(dǎo)是對于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、k在相鄰的兩個(gè)控制容積之間發(fā)生階梯式變化導(dǎo)出的。從定性上，串聯(lián)熱阻疊加的適應(yīng)性不受上述條件的限制。采用兩種方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明，即使對有內(nèi)熱源或k呈連續(xù)變化的場合，調(diào)和平均也比算術(shù)平均更好一些。第16頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-4非線性若離散化方程是一個(gè)線性的代數(shù)方程，式中的各項(xiàng)系數(shù)均為已知數(shù)，聯(lián)立求解代數(shù)方程組可得到溫度場。但實(shí)際問題中，Kp、KE和Ke或線性化源項(xiàng)的系數(shù)SC、SP是溫度T的函數(shù)，這樣離散化方程的系數(shù)aE、aW、aP本身也成為溫度的函數(shù)，方程非線性采用擬線性化的方法求解（迭代）。具體求解步驟：①.先設(shè)定域內(nèi)全部節(jié)點(diǎn)的溫度值（給定一個(gè)初場）；②.由這些設(shè)定的T值計(jì)算出離散化方程中系數(shù)的試探值；③.解名義上的代數(shù)方程組，得到一組新的T值；④.以這些新的T值作為較好的估計(jì)值，返回到②，并重復(fù)此過程，直到重復(fù)計(jì)算不再引起T值任何意義上的變化為止。收斂第17頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五收斂：計(jì)算達(dá)到最終不變的狀態(tài)稱之為迭代的收斂。發(fā)散：一次次的迭代永遠(yuǎn)不會收斂到一個(gè)解。T的值可能穩(wěn)定地飄移或是以一個(gè)不斷增大的振幅振蕩,這種與收斂相對的過程稱之為發(fā)散。一種好的數(shù)值方法應(yīng)當(dāng)使發(fā)散的可能性減為最小。第18頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-5源項(xiàng)的線性化如果源項(xiàng)是常數(shù)，則在離散方程的建立過程中不會帶來任何困難；當(dāng)源項(xiàng)是所求變量的函數(shù)時(shí)，源項(xiàng)的數(shù)值處理十分重要，有時(shí)甚至是數(shù)值求解的關(guān)鍵所在。

應(yīng)用較為廣泛的一種處理方法是把源項(xiàng)局部線性化SC常數(shù)，SP是S隨T而變化的曲線在P點(diǎn)的斜率。表示在TP的附近以直線代替曲線。第19頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五幾點(diǎn)說明：①.當(dāng)源項(xiàng)為未知量的函數(shù)時(shí)，線性化的處理比假定源項(xiàng)為常數(shù)更為合理；因?yàn)镾=f(T)，把S作為常數(shù)處理就是以上次迭代計(jì)算所得之T*來計(jì)算S，這樣源項(xiàng)相對于T永遠(yuǎn)有一個(gè)滯后。而線性化處理后，TP是迭代的當(dāng)前值，這樣使S能更快地跟上TP的變化。②.線性化處理又是建立線性代數(shù)方程所必需的；③.為了保證代數(shù)方程迭代求解的收斂，要求；第20頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五離散化方程的一般式：線性代數(shù)方程迭代求解收斂的一個(gè)充分條件是主對角占優(yōu)，即這就要求:④.由代數(shù)方程迭代求解公式：可見，SP絕對值的大小影響迭代過程中溫度的變化速度，SP絕對值越大，系統(tǒng)的慣性越大，相鄰兩次迭代之間TP的變化越小，收斂速度下降；但有利于克服迭代過程的發(fā)散。第21頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五源項(xiàng)線性化方法舉例：eg1.

已知：S=5-4T,可能的線性化形式有：相當(dāng)于設(shè)S為常數(shù)，當(dāng)S的表達(dá)式很復(fù)雜時(shí)，這樣做或許是唯一的一種選擇。這給出了比實(shí)際S-T關(guān)系更陡的曲線，其結(jié)果使迭代收斂的速度減慢了。若在所研究的問題中還存在著其它的非線性項(xiàng)時(shí)，這種減慢的做法是受歡迎的。第22頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五e(cuò)g2.

已知：S=3+7T,可能的線性化形式有：eg3.

已知：S=4-5T3,可能的線性化形式有：已知的S-T曲線要比這一關(guān)系所反映的曲線陡。第23頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五(3)推薦的方法于是：這一線性化表示，在點(diǎn)所選擇的直線與S-T曲線相切。這一線性化比已知的S-T曲線為陡，它使收斂速度減慢。第24頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論：在所有負(fù)斜率的直線中，與已知曲線相切的直線通常為最佳(圖中2線)；較陡的直線是可以接受的(圖中3線)

；欠陡的直線是不希望采納的(圖中1線)

，它不能體現(xiàn)已知的S隨T的下降速度。ST已知曲線123第25頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-6邊界條件1.問題的提出前面所推得的離散化方程適用于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的任何內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，為計(jì)算一個(gè)具體問題，應(yīng)把邊界條件也用離散方程表示。因?yàn)橹挥须x散化方程的個(gè)數(shù)與待求節(jié)點(diǎn)變量的數(shù)目相等時(shí)，代數(shù)方程組才能封閉。2.網(wǎng)格劃分的兩種方法先定節(jié)點(diǎn)位置，后定控制容積A類網(wǎng)格

BiIeEx這種網(wǎng)格劃分方法，在邊界上將出現(xiàn)半控制容積。當(dāng)網(wǎng)格劃分不均勻時(shí)，節(jié)點(diǎn)位置并不落在控制容積的幾何中心位置。第26頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五先定控制容積，后定節(jié)點(diǎn)位置B類網(wǎng)格*

這種方法是在邊界上附上一層厚度為零的控制容積，代表這個(gè)控制容積的邊界節(jié)點(diǎn)恰好落在邊界上。無論網(wǎng)格如何劃分都不會出現(xiàn)半控制容積，并且所有節(jié)點(diǎn)都位于控制容積的幾何中心。iIjJB由于在邊界上將出現(xiàn)不同的控制容積，所以將根據(jù)不同的方法來離散邊界條件。三類不同的邊界條件第27頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.構(gòu)建邊界節(jié)點(diǎn)的附加方程A類網(wǎng)格BiIeEx(x)i①.第一類邊界條件TB已知不必額外增加邊界節(jié)點(diǎn)方程，把TB代入鄰近節(jié)點(diǎn)的代數(shù)方程即可。②.第二類邊界條件qB已知可在邊界半控制容積內(nèi)對微分方程積分建立附加方程，熱平衡式為：qB注：規(guī)定以進(jìn)入計(jì)算區(qū)域的熱量為正。交界面i處的熱流為：第28頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五將qi

代入上式得：qB已知時(shí)，方程可整理成：式中：③.第三類邊界條件已知h、tf將邊界熱流代入上式的B點(diǎn)方程，形式同上：式中：第29頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.構(gòu)建邊界節(jié)點(diǎn)的附加方程B類網(wǎng)格*

①.第一類邊界條件TB已知不需要附加方程②.第二類邊界條件qB已知iIjJB(x)bB點(diǎn)方程為：式中：也可以看作是第一種情況，在離散區(qū)域x0時(shí)的極限。BiIeEx(x)i第30頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五③.第三類邊界條件已知h、tfB點(diǎn)方程形式同上式中：至此，已構(gòu)成對所有未知溫度的足夠數(shù)量的方程第31頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-7線性代數(shù)方程的求解1.求解方法線性代數(shù)方程組的解法通常有迭代法和直接解法兩種。由于一維導(dǎo)熱數(shù)值求解的離散方程中，待求溫度僅與左右兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度有關(guān)，這樣形成的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣將是三對角矩陣，采用追趕法（TDMA）.2.TDMA算法要點(diǎn)

TDMA是一種簡單、方便、高效率的計(jì)算方法，求解過程包括消去變量求系數(shù)的正過程和回代求溫度場的逆過程。第32頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五正過程：消元的目的是將每個(gè)包含三個(gè)待求變量的方程，消去一個(gè)變量，使之成為兩個(gè)待求變量的方程，繼而把所有這些兩個(gè)變量的方程新系數(shù)值計(jì)算出來，直到邊界上原來只有兩個(gè)待求變量的方程，經(jīng)消元后變成了單變量方程，并能直接求出邊界變量值為止?；卮^程：由已知的邊界變量值逐一按次序回代到已求出系數(shù)的二變量方程中便可求出全部待求變量。經(jīng)過消元與回代便完成TDMA的全過程。第33頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五TDMA算法的數(shù)學(xué)表述21Nii+1i-13i節(jié)點(diǎn)的離散方程可寫為：考慮到邊界節(jié)點(diǎn)的特殊形式：如果T1已知，則有：這些條件意味著T1是T2的函數(shù)，而T2與T1、T3，

T2T3。這一代入過程可一直繼續(xù)到TNTN+1的關(guān)系式。由于TN+1并不存在，所以到此實(shí)際上也就得到了TN的值。由此可以回代了，由TNTN-1TN-2…T2T1。第34頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.TDMA的數(shù)學(xué)推演

假設(shè)在代入過程得到：①

試圖找到一個(gè)關(guān)系：②將①代入離散方程的一般表達(dá)式中，將Ti-1用Ti代即可③第35頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五

對比③與②即可得到Pi、Qi的遞推公式：特例：求得TN后，可以回代了?。、冖鄣?6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五4.TDMA的計(jì)算機(jī)程序說明①.由P1、Q1的表達(dá)式計(jì)算出P1、Q1的值；②.由P、Q的遞推式計(jì)算得出P2、Q2；Pi、Qi….QN③.令TN=QN④.對N-1,N-2,……3，2，1應(yīng)用回代式

可求得TN-1、TN-2

……T3、T2

、T1

。只要代數(shù)方程可以表達(dá)成的形式，三對角矩陣的算法就是一個(gè)非常有效而又方便的求解方法。TDMA法需要的計(jì)算機(jī)貯存量及計(jì)算時(shí)間與N成正比，而非N2或N3。它是一種直接解法。第37頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.3非穩(wěn)態(tài)一維熱傳導(dǎo)

通用控制方程中的擴(kuò)散項(xiàng)和源項(xiàng)的數(shù)值處理已經(jīng)解決，下面討論非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的處理(暫不考慮源項(xiàng))。1.一維非穩(wěn)態(tài)無源項(xiàng)的熱傳導(dǎo)方程

任務(wù)：因?yàn)闀r(shí)間是一個(gè)單向坐標(biāo)，即由一已知的初始溫度開始，沿時(shí)間坐標(biāo)逐步向前求解。故計(jì)算任務(wù)是已知時(shí)刻T

在網(wǎng)格上的值，求得+時(shí)刻T

在相應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)上的值。§4.3-1通用的離散化方程第38頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五2.對整個(gè)控制容積積分上述微分方程WwPeExx(x)w(x)e

需要給出一個(gè)關(guān)于TP、TE和TW如何隨時(shí)間變化的關(guān)系的假設(shè)，可以采取的假設(shè)有好幾種。第39頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五

一些假設(shè)可歸納為一般化的式子：

由此原積分整理為：第40頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)整理得：（將上標(biāo)1去掉）式中：第41頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.3-2顯式、克蘭克-尼科爾森模式以及全隱式模式上節(jié)離散方程中，對應(yīng)特定的f值，可得到不同的格式。f=0顯式；f=0.5克蘭克-尼克爾森模式(C-N)；f=1全隱式。1.顯式格式f=0方程變?yōu)椋旱?2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五+顯式格式全隱格式C-N格式TPTP~的變化曲線見右圖，實(shí)質(zhì)上是假設(shè)上一時(shí)刻代表除了時(shí)刻+之外的整個(gè)時(shí)間間隔上的值。

TP與其它未知量(TE、TW)無關(guān)，而直接可由上一時(shí)刻已知溫度求得“顯式”第43頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五顯式格式：前的系數(shù)有可能變?yōu)樨?fù)值(可看成是在時(shí)間方向上的一個(gè)相鄰點(diǎn))，從而違背正系數(shù)法則。實(shí)際上，要使系數(shù)為正，時(shí)間步長必須足夠小，以使對于k

均勻分布，且即的選取受上述條件的限制。第44頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五2.全隱式格式f=1方程變?yōu)椋?顯式格式全隱格式C-N格式TP方程中各項(xiàng)系數(shù)恒大于零，無條件穩(wěn)定。TP~的變化曲線見右圖，在時(shí)刻，TP的值突然由降到，而在隨后的整個(gè)時(shí)間間隔上保持。于是在整個(gè)時(shí)步內(nèi)溫度由新值所確定。與其它未知量(TE、TW)有關(guān)，必須解一組聯(lián)立方程“隱式”第45頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.克蘭克-尼克爾森模式(C-N)

f=0.5這種格式也稱半隱格式,

方程變?yōu)椋罕硎厩蠼釺P可以用上一時(shí)刻和當(dāng)?shù)貢r(shí)刻(+)的值，TP與TE、TW有關(guān)，同樣需要聯(lián)立方程組求解。但前的系數(shù)有可能出現(xiàn)負(fù)值，所以也是條件穩(wěn)定的，其條件是：第46頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五兩點(diǎn)說明：①.數(shù)學(xué)上的“穩(wěn)定性”只能確保解的振蕩最終將會消失，它并不能確保一定會給出物理上似乎合理的解。②.對于小的時(shí)間步，全隱格式不如C-N格式的解精確。因?yàn)閷τ谛〉臅r(shí)間間隔，溫度~時(shí)間曲線是接近于線性的。探索一種結(jié)合兩種模式優(yōu)點(diǎn)而不分擔(dān)它們各自缺點(diǎn)的模式是誘人的“指數(shù)格式”。③.全隱格式，表達(dá)形式簡單而且物理上又能達(dá)到滿意要求，因此在后面的介紹中將采用全隱格式。第47頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.3-3全隱式離散化方程1.全隱格式的優(yōu)點(diǎn)

f=1離散化方程無條件穩(wěn)定。2.源項(xiàng)引入后的離散化方程形式可見，當(dāng)∞時(shí)，此方程簡化為穩(wěn)態(tài)的離散方程。時(shí)間上的相鄰點(diǎn)第48頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.全隱格式的主要原則:TP的新值代表整個(gè)時(shí)間步上的值。因此如果導(dǎo)熱系數(shù)kP是溫度的函數(shù)，就應(yīng)當(dāng)反復(fù)由TP的迭代算得新的kP。穩(wěn)態(tài)程序中的邊界條件、源項(xiàng)的線性化處理以及TDMA求解方程組的算法全部適合非穩(wěn)態(tài)問題。第49頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.4二維與三維問題§4.4-1二維問題的離散化方程1.二維控制容積及標(biāo)號說明yyxWENSnwsex控制容積圖4-6對于二維情況的控制容積控制容積面相對于網(wǎng)格點(diǎn)的實(shí)際位置是自由的，但把控制容積面布置在兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的中點(diǎn)是一種很自然的做法第50頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五P、E兩點(diǎn)間e控制面上的熱流密度整個(gè)e控制面上的熱流量2.二維非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的控制方程其它控制面上熱流的計(jì)算與之類同。相應(yīng)離散方程的一般形式：第51頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五式中各系數(shù)為：第52頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.4-2三維問題的離散化方程與二維問題的推導(dǎo)類似，再加一個(gè)頂部、底部方向的相鄰點(diǎn)T點(diǎn)及B點(diǎn)。系數(shù)的意義：aE、aW….代表P點(diǎn)與相鄰點(diǎn)之間的熱導(dǎo)表示時(shí)刻控制容積內(nèi)部所包含的內(nèi)能（除以）表示內(nèi)能項(xiàng)與SC所造成的在控制容積內(nèi)的發(fā)熱率之和。表示相鄰空間與時(shí)間系數(shù)之和，并包含一項(xiàng)線性的源項(xiàng)所做的貢獻(xiàn)。第53頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.4-3代數(shù)方程的求解可以采用任何一種合適的求解方法，選擇方法時(shí)兩者無相互影響；在計(jì)算機(jī)程序中，可以很方便地把兩個(gè)步驟分成兩個(gè)獨(dú)立的階段，其中任何一段都可以單獨(dú)進(jìn)行修改。1.方程的離散化與求解方法分成兩個(gè)步驟的好處2.求解方法直接解法—無需迭代的方法。但需要大量的計(jì)算機(jī)貯存量及計(jì)算時(shí)間。對于一個(gè)只需一次求解的線性問題，直接解法是可以接受的。第54頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五迭代法：對于非線性問題，方程必須用最新的系數(shù)來重復(fù)求解，采用直接解法是很不經(jīng)濟(jì)的。3.迭代解法的基本原理給定一個(gè)因變量T的初場，然后利用某種形式的代數(shù)方程求得一個(gè)改進(jìn)的場，重復(fù)進(jìn)行這一算法過程，直到求得一個(gè)充分接近代數(shù)方程精確解的解為止。在迭代計(jì)算的過程中，要注意計(jì)算系數(shù)所付的代價(jià)與求解方程所需花費(fèi)的時(shí)間的某種平衡。在一組固定的系數(shù)值下，把代數(shù)方程的求解過程一直進(jìn)行到最終收斂是不必要、也是不明智的。在新的一組系數(shù)值給定之前應(yīng)用已經(jīng)給定的系數(shù)值迭代幾次就已足夠了。第55頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五4.迭代求解的兩種方法:

高斯-賽德爾逐點(diǎn)計(jì)算法和逐行法高斯-賽德爾逐點(diǎn)迭代法（G-S）：迭代原理：按一定順序逐個(gè)訪問每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，以計(jì)算那里的變量值。在計(jì)算機(jī)內(nèi)只需要儲存一組T值，且存貯器中相應(yīng)的T值交替改變?nèi)缦拢弘x散化方程為：第56頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五計(jì)算機(jī)存貯器中所存在相鄰點(diǎn)的溫度值。本次迭代過程中已經(jīng)被訪問過的相鄰點(diǎn)，是新值，而對于那些尚待訪問的相鄰點(diǎn)是上次迭代得到的值。

都是相鄰溫度的最新值。當(dāng)所有網(wǎng)格點(diǎn)都訪問過一次后，算是完成了一次高斯—賽德爾迭代。迭代計(jì)算收斂的準(zhǔn)則—斯卡巴勒準(zhǔn)則高斯—賽德爾迭代收斂的充分條件是：系數(shù)滿足第57頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五這個(gè)準(zhǔn)則是充分條件，并非必要條件。即有時(shí)雖然違背了這個(gè)條件，但迭代仍可能收斂。對于滿足正系數(shù)法則的方程，如非穩(wěn)態(tài)全隱格式

,由于各系數(shù)均大于零，且?guī)c(diǎn)說明：對于穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的問題，只要保證即可使得成立（當(dāng)SP=0時(shí)，不等號由邊界節(jié)點(diǎn)獲得）。第58頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五④.對于穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的問題，對內(nèi)節(jié)點(diǎn)只有然而可以從邊界鄰點(diǎn)的離散方程中找出使得不等號成立的條件。WEPSN如：假設(shè)邊界有一溫度已知，如二維網(wǎng)格中的W邊界，則對P點(diǎn)的方程為：已知，轉(zhuǎn)入到常數(shù)項(xiàng)中，這時(shí)，計(jì)算時(shí)，只對那些未知的相鄰系數(shù)求和，而計(jì)算aP時(shí)則是包含邊界點(diǎn)系數(shù)在內(nèi)的系數(shù)之和，所以。對第三類BCs也成立第59頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五高斯—賽德爾點(diǎn)迭代計(jì)算的缺點(diǎn)收斂速度慢，特別對于網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)多的情況尤為明顯。因?yàn)樗且砸淮蔚鷤鬟f一個(gè)網(wǎng)格間距的速率來傳遞邊界所給予的信息的(僅將掃描起始邊的影響傳到整個(gè)區(qū)域)。高斯-賽德爾逐行迭代法迭代原理：因點(diǎn)迭代不能很快地把邊界信息傳播到區(qū)域內(nèi)部，因此就產(chǎn)生了一種試圖充分利用直接消元法和迭代法優(yōu)點(diǎn)的塊迭代法，即按照行或列劃分成塊，在塊內(nèi)用TDMA，塊之間采用G-S法，這就形成了一種高效的求解方法。因同一塊內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的值是以隱含的方式相互聯(lián)系的，故又叫隱式迭代法。第60頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五迭代方法簡介：設(shè)二維導(dǎo)熱的離散化方程為××××××××××××WPENSi

選線選塊yx采用逐線迭代時(shí)，將每線（行或列）作為一塊，線內(nèi)采用TDMA求解，線間采用G-S法求解。如圖所示，進(jìn)行逐線迭代時(shí)，i

列中P點(diǎn)的左右鄰點(diǎn)TW、TE都取已知的當(dāng)前值，只有TP、TN、TS是未知值，這樣同一維導(dǎo)熱問題，可以用TDMA法求解線內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度，而線兩端的邊界信息很快傳給線內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)。x方向的迭代用G-S法，從左向右掃描時(shí)，TW是剛剛得到的當(dāng)前值。第61頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五實(shí)際上，采用逐線迭代時(shí)，二維導(dǎo)熱的離散化方程可改寫為：逐線迭代法能加速收斂由于同一線上的所有節(jié)點(diǎn)都能在一次TDMA求解中獲得邊界信息，而掃描方向兩端的邊界信息，雖然還要依靠點(diǎn)迭代來傳播，但由于線數(shù)畢竟要比節(jié)點(diǎn)數(shù)少得多；再加上采用了逐點(diǎn)更新的G-S法，所以計(jì)算速度將會明顯加快。交替改變應(yīng)用逐行迭代的方向第62頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五逐線迭代方向選擇的原則（掃描方向）

收斂速度的快慢關(guān)鍵在于邊界信息的傳播速度。因此掃描的起始線上應(yīng)該有確定的信息。這樣，絕熱或梯度為零的邊界不應(yīng)作為掃描的起始邊。T1T2T3??當(dāng)有對流存在時(shí)，掃描方向尤為重要。由上游向下游掃描的速度比相反方向掃描的收斂速度快得多。求解狹長條區(qū)域的導(dǎo)熱問題，應(yīng)以長邊的掃描為主。（熱阻大的方向）當(dāng)y方向的系數(shù)遠(yuǎn)大于x方向的系數(shù)時(shí)，對y方向應(yīng)用TDMA，沿x方向進(jìn)行線迭代收斂速度快。（熱阻大的方向信息多）第63頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.5超松弛與欠松弛1.定義：在代數(shù)方程迭代求解的過程中，往往希望加快或是減慢前后兩次迭代間因變量的變化。加快變化為超松弛，減慢變化為欠松弛。超松弛常用于和G-S法相結(jié)合，這種組合起來的模式是所謂的持續(xù)超松弛。超松弛很少與逐行或逐列迭代法結(jié)合使用。在強(qiáng)烈的非線性方程組的迭代求解過程中，采用欠松弛避免發(fā)散。第64頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五2.方程式的寫法本次迭代所產(chǎn)生的TP變化為松弛因子。>1為逐次超松弛(SOR)，

<1為逐次亞松弛(SUR)。顯然，當(dāng)相鄰兩輪的迭代值之差永遠(yuǎn)具有相同的正負(fù)號時(shí)，采用超松弛迭代可以加速收斂過程。對于一個(gè)很小的值，TP的變化變得很慢。第65頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.值的選取不存在什么選取最佳值的一般法則，一般需要通過計(jì)算實(shí)踐來確定。通常根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)以及對所給定的問題作試探性的計(jì)算求得一個(gè)合適的值。在整個(gè)計(jì)算期間都保持相同的值是沒有必要的。4.通過慣量進(jìn)行松弛相應(yīng)的迭代方程i

為慣量，i>0欠松弛，i<0超松弛。對i取值與相應(yīng)松弛的理解第66頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五對TP產(chǎn)生的變化加以修正>1,超松弛。左側(cè)系數(shù)比原來小了，右側(cè)多了一個(gè)負(fù)值項(xiàng)；在慣性松弛中，i<0

的結(jié)果與上述相對應(yīng)，故也為超松弛。<1，亞松弛。左側(cè)系數(shù)比原來大了，右側(cè)增加了