數(shù)值模擬第四講平面問題一基本知識與離散化

數(shù)值模擬第四講平面問題一基本知識與離散化第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)為什么要作基本假設(shè)基本假設(shè)？對實(shí)際研究對象根據(jù)所研究的層次和范圍，進(jìn)行科學(xué)抽象和假設(shè)，突出主要矛盾，以建立可用的模型。連續(xù)性假設(shè)均勻性假設(shè)3）各向同性假設(shè)假設(shè)物體所占的空間被組成該物體的介質(zhì)所充滿，不留任何空隙。不考慮介質(zhì)的微觀物質(zhì)結(jié)構(gòu)。物體內(nèi)的物理量就能用空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來描述。認(rèn)為物體由同一種材料組成，內(nèi)部的物理性質(zhì)處處完全相同。假設(shè)物體內(nèi)每一點(diǎn)沿各不同方向的物理性質(zhì)相同，如彈性常數(shù)，導(dǎo)熱系數(shù)等。第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4)完全彈性假設(shè)假設(shè)物體在外加因素去除后能完全恢復(fù)原來形狀，沒有剩余變形。同時認(rèn)為應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，即服從虎克定律。5）微小變形假設(shè)假設(shè)物體在載荷作用下產(chǎn)生的位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的特征尺寸，應(yīng)變分量和轉(zhuǎn)角均遠(yuǎn)小于1。上述5項(xiàng)假設(shè)中，前四個屬于物理假設(shè)，符合前四個基本假設(shè)的稱為理想彈性體。第五個假設(shè)屬于幾何假設(shè)，符合該假設(shè)的理想彈性體的問題稱為線性彈性力學(xué)。第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.1.3

彈性力學(xué)的研究方法(1)與材料力學(xué)研究方法的比較材料力學(xué)：除了引入“基本假設(shè)”，還根據(jù)不同對象引入補(bǔ)充假設(shè)，如：直梁彎曲的“平面假設(shè)”，“縱向纖維無擠壓”假設(shè)；扭轉(zhuǎn)理論中的“剛性平面”假設(shè)等。彈性力學(xué)：除了必要的基本假設(shè)外，不再引入補(bǔ)充假設(shè)，而是嚴(yán)格按照靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面的條件建立基本方程和邊界條件，求得精確結(jié)果。因而可以對材料力學(xué)的理論和解答進(jìn)行驗(yàn)證考核。第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五(2)彈性力學(xué)研究方法概述1）研究彈性體內(nèi)微分單元體的平衡，寫出一組平衡微分方程；2）由于平衡方程數(shù)少于未知應(yīng)力數(shù)，必須考慮幾何方面的關(guān)系：應(yīng)變分量和位移分量之間的微分方程。3）再引入應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理關(guān)系——廣義虎克定律。4）邊界上單元體的內(nèi)部應(yīng)力和外部載荷之間的平衡，得到應(yīng)力邊界條件；考慮邊界位移約束得到位移邊界條件。

由上述基本方程和邊界條件可以確定彈性體中的應(yīng)力、應(yīng)變、位移場。第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五(3)

彈性力學(xué)問題的求解策略1）解析法—精確解

a.應(yīng)力解法b.位移解法2）能量法（變分法）—近似解3）數(shù)值法—近似解

a.有限差分法

b.有限元法

c.邊界元法第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.1.4彈性力學(xué)中的基本量彈性力學(xué)中用以描述研究對象狀態(tài)的基本力學(xué)量包括：外力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移。外力體積力（體力）：物體內(nèi)部單位體積上所受外力稱為體力（矢量）。如：重力、慣性力等。表面力（面力）：物體表面單位面積上所受外力稱為面力（矢量）。如：靜水壓力、接觸力等。

在彈性力學(xué)中體力、面力均為空間坐標(biāo)的函數(shù)。第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五應(yīng)力彈性體中某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用9個應(yīng)力分量表示：其中由于剪應(yīng)力互等，只有6個獨(dú)立分量。應(yīng)變空間問題的一點(diǎn)應(yīng)變分量包括3個正應(yīng)變：3個剪應(yīng)變：第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五

彈性體受力變形后任意一點(diǎn)都產(chǎn)生位置的變化，形成一個位移矢量，其在坐標(biāo)軸上的投影（位移分量）用u，v，w表示。位移

一般情況下，各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量是其空間坐標(biāo)的函數(shù)。第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.2彈性力學(xué)平面問題基礎(chǔ)任何實(shí)際變形體的力學(xué)問題都是空間問題（三維問題），所受的外力一般都是空間力系。在某些特殊情況下，比如物體具有特殊形狀，受特殊的外力，特殊的位移約束時，空間問題就可以簡化成平面問題。此時，問題的幾何和力學(xué)量僅僅是二維坐標(biāo)的函數(shù)。所求未知力學(xué)量只是二維空間內(nèi)的分量。這種平面問題模型下，所得到的結(jié)果能滿足工程上的精度要求，而分析計(jì)算工作量大大減少。大量的固體力學(xué)問題都可以簡化為平面問題。平面問題包括：平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.2.1平面應(yīng)力問題___高速旋轉(zhuǎn)的薄圓盤、土建中的剪力墻(1)平面應(yīng)力問題的基本特征平面應(yīng)力問題模型1）幾何特征2）受力特征薄板的兩個側(cè)面上無載荷作用；邊緣上受到平行于板面且沿板厚均勻分布的面力作用；體力平行于板面且不沿板厚變化（x,y的函數(shù)）。物體在一個方向（z)的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它兩個方向（x,y)的尺寸。幾何為均勻薄板。第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五應(yīng)力分量：——x,y的函數(shù)應(yīng)變分量：——x,y的函數(shù)位移分量：（非獨(dú)立）(2)平面應(yīng)力問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量平面應(yīng)力問題的例子由基本特征推出：第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.2.2平面應(yīng)變問題——水壩，火炮身管

平面應(yīng)變問題的例子(1)平面應(yīng)變問題的基本特征1）幾何特征一個方向（z)尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它兩個方向（x,y)的尺寸,呈現(xiàn)為無限長等截面柱體，或任何橫截面可以看作對稱面：z方向無位移；2）受力特征外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿縱向不變化。第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五(2)平面應(yīng)變問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量（非獨(dú)立）應(yīng)變分量：——x,y的函數(shù)——x,y的函數(shù)應(yīng)力分量：位移分量：平面應(yīng)變問題的例子由基本特征推出：第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.2.3平面問題基本方程和邊界條件平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題都?xì)w結(jié)為求解平面內(nèi)的3個應(yīng)力分量、3個應(yīng)變分量、2個位移分量。要求解這些未知力學(xué)量，需要通過研究彈性體的平衡、幾何、物理關(guān)系得到足夠的方程。(1)平面問題幾何方程——應(yīng)變~位移關(guān)系算子矩陣幾何方程對于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題相同第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五(2)平面問題的物理方程——應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系對于平面應(yīng)力問題，應(yīng)用虎克定律可導(dǎo)出應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。平面應(yīng)變問題彈性矩陣按如下辦法得到平面應(yīng)力彈性矩陣，對稱方陣。因此，對于平面問題的推導(dǎo)和編程，只按平面應(yīng)力問題處理。將平面應(yīng)力彈性矩陣中的彈性常數(shù)作如下變換(參見P23)第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五(3)平面問題的平衡方程通過研究微分單元體平衡，得到下列平衡微分方程：第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五(4)平面問題邊界條件平面彈性體的邊界分為位移邊界和應(yīng)力邊界用前面的基本方程求解彈性力學(xué)問題時，必須考慮上述邊界上位移的協(xié)調(diào)和力的平衡。邊界條件描述如下：在上2）應(yīng)力邊界條件1）位移邊界條件第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.3.1結(jié)構(gòu)離散化的基本任務(wù)4.3平面問題離散化連續(xù)體結(jié)構(gòu)平面問題用x-y坐標(biāo)系下的一個二維區(qū)域表示有限大小單元的結(jié)合體（單元+節(jié)點(diǎn)）可用不同形狀的單元，單元只在節(jié)點(diǎn)處相互連接（鉸接）代替原連續(xù)體網(wǎng)格剖分4.3.2結(jié)構(gòu)離散化過程

將無限個質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)體轉(zhuǎn)化為有限個單元集合體的處理方法就稱為結(jié)構(gòu)離散化。

離散化的基本任務(wù)就是建立一個用僅靠節(jié)點(diǎn)鉸接并傳遞力的有限個單元組成的集合體從力學(xué)意義上替代原有結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算模型。第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五實(shí)體模型離散化為有限元模型離散化幾何實(shí)體模型有限元模型第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.3.3離散化系統(tǒng)的描述連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散化以后，就轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢迋€小單元組成的離散結(jié)構(gòu)——“有限單元”概念的由來；離散化系統(tǒng)中的載荷只有節(jié)點(diǎn)載荷（集中力），原來的分布載荷和非節(jié)點(diǎn)位置上的集中力都要近似等效到節(jié)點(diǎn)上。離散結(jié)構(gòu)某節(jié)點(diǎn)i的載荷表示為：離散化系統(tǒng)的位移邊界條件只施加在節(jié)點(diǎn)上。問題的基本未知量從未知場函數(shù)（位移）轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散節(jié)點(diǎn)上的未知位移分量。平面問題離散結(jié)構(gòu)中某節(jié)點(diǎn)i有2個位移分量，表示為：上述包括結(jié)構(gòu)、未知量、邊界條件的離散化過程稱為問題的離散化。這里采用了直觀的、按物理觀點(diǎn)的理解，也稱為物理（模型）離散化。第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五4.3.4邊界條件離散化的原則

當(dāng)結(jié)構(gòu)離散化后，原先連續(xù)的邊界被多個單元的邊界所形成的折線所代替，這時邊界位移和邊界外載荷等邊界條件也需作相應(yīng)的離散化處理，并規(guī)定如下：（1）原結(jié)構(gòu)某段邊界在某個方向上受到約束或可認(rèn)為某個方向上的位移忽略不計(jì)，則離散此段邊界后需在相關(guān)邊界節(jié)點(diǎn)的該方向上加上一個連桿支座約束，即單向約束。（2）原結(jié)構(gòu)某段邊界的位移為零，則離散此段邊界后需在相關(guān)邊界節(jié)點(diǎn)上加上一個固定鉸鏈支座約束，即雙向約束。（3）所有作用在結(jié)構(gòu)上的外載荷，包括集中力、面力和體力(或重力)，都要按靜力等效或虛功等效的原則移到有關(guān)單元的就近節(jié)點(diǎn)上而成為節(jié)點(diǎn)等效載荷第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五載荷離散化第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（1）單元分類

在彈性力學(xué)平面問題中用以進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散化的單元形式有許多種，這樣就構(gòu)成了多種單元的形式。

1）從單元的幾何形態(tài)來分三角形、矩形、任意四邊形等；

2）從單元的邊界形狀來分直邊和曲邊等；

3）從單元的節(jié)點(diǎn)選來分頂點(diǎn)、邊上點(diǎn)和形內(nèi)點(diǎn)等。4.3.5

單元劃分的原則第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（2）單元舉例（二維）

其中最簡單的單元是僅取頂點(diǎn)作節(jié)點(diǎn)的三節(jié)點(diǎn)直邊三角形單元，這種單元又稱為簡單三角形單元。第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（3）單元大小的確定

由有限元誤差分析可知，在收斂的前提下，應(yīng)力誤差與單元的尺寸成正比，位移的誤差與單元的尺寸平方成正比。單元劃分愈大，位移的誤差愈顯著。從有限元本身來看，單元劃分得越細(xì)，節(jié)點(diǎn)布置得越多，計(jì)算結(jié)果越精確，但隨之而來的是計(jì)算量越多，計(jì)算時間越長，計(jì)算費(fèi)用越高，對計(jì)算機(jī)存貯量的要求也越大，而且輸入輸出的數(shù)據(jù)越多，數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果整理的工作量也就越大。大量有限元計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)單元網(wǎng)格劃分細(xì)密程度超過了一定的限度，不但不能提高計(jì)算結(jié)果的精度，有時反而會使精度有所下降。因?yàn)檫^分加密網(wǎng)格，會使計(jì)算量激增從而導(dǎo)致累積計(jì)算誤差增大。合理地布置單元的大小——對于應(yīng)力和位移狀態(tài)需要詳細(xì)了解的重要部位，以及如結(jié)構(gòu)上的凹槽、裂紋等應(yīng)力和位移變化比較劇烈的部位，單元應(yīng)分得細(xì)一些，網(wǎng)格加密一些。

對于次要部位，或應(yīng)力和位移變化平緩的部位，以及邊界比較平滑的部位，單元可放大一些，網(wǎng)格可稀疏一些。但單元由小到大應(yīng)逐漸過渡，相鄰單元的尺寸不宜相差懸殊，否則會引起較大的計(jì)算誤差。

第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五兩端受彎矩的板梁離散化例子第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五帶凹槽結(jié)構(gòu)的單元劃分例子（4）單元形狀的確定根據(jù)誤差分析，應(yīng)力和位移的誤差都和單元最小內(nèi)角的正弦成反比。例如，采用等邊三角形單元與采用等腰直角三角形單元，其誤差之比為sin45/sin60=1/1.22。顯然，等邊三角形單元的精度要好些。但通常情況下，為了適應(yīng)結(jié)構(gòu)邊界以及單元由大到小的逐漸過度，是不大可能使所有的單元都接近于等腰三角形，而常采用直角三角形單元，這種單元使坐標(biāo)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備和計(jì)算結(jié)果的整理與分析變得方便些。對于三角形單元，三條邊長應(yīng)盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)鈍角，以免計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)大的偏差。對于矩形單元，其長度與寬度越接近越好。第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（5）單元的過渡在單元由大到小過渡時，必須特別注意任一單元的節(jié)點(diǎn)必須同時也是相鄰單元的節(jié)點(diǎn)，而不能是相鄰單元邊上的內(nèi)點(diǎn)。第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期五（6）曲邊的單元劃分與單元的大小過渡

需要指出的是：矩形單元不僅不大適合邊界曲折的結(jié)構(gòu)，也不便在不同