結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法

結(jié)構(gòu)力學(xué)現(xiàn)在是1頁\一共有49頁\編輯于星期四學(xué)習(xí)內(nèi)容

有限單元法的基本概念，結(jié)構(gòu)離散化。

平面桿系結(jié)構(gòu)的單元分析：局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣和整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣。

平面桿系結(jié)構(gòu)的整體分析：結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和結(jié)構(gòu)整體剛度方程。

邊界條件的處理，單元內(nèi)力計算。

利用對稱性簡化位移法計算。

矩陣位移法的計算步驟和應(yīng)用舉例。2現(xiàn)在是2頁\一共有49頁\編輯于星期四學(xué)習(xí)目的和要求

目的：矩陣位移法是以計算機(jī)為計算工具的現(xiàn)代化結(jié)構(gòu)分析方法?；谠摲ǖ慕Y(jié)構(gòu)分析程序在結(jié)構(gòu)設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。因此，以計算機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析是本章的學(xué)習(xí)目的。

矩陣位移法是以位移法為理論基礎(chǔ)，以矩陣為表現(xiàn)形式，以計算機(jī)為運(yùn)算工具的綜合分析方法。引入矩陣運(yùn)算的目的是使計算過程程序化，便于計算機(jī)自動化處理。盡管矩陣位移法運(yùn)算模式呆板，過程繁雜，但這些正是計算機(jī)所需要的和十分容易解決的。矩陣位移法的特點(diǎn)是用“機(jī)算”代替“手算”。因此，學(xué)習(xí)本章是既要了解它與位移法的共同點(diǎn)，更要了解它的一些新手法和新思想。3現(xiàn)在是3頁\一共有49頁\編輯于星期四學(xué)習(xí)目的和要求

要求：矩陣位移法包含兩個基本環(huán)節(jié)：單元分析和整體分析。

在單元分析中，熟練掌握單元剛度矩陣和單元等效荷載的概念和形成。熟練掌握已知結(jié)點(diǎn)位移求單元桿端力的計算方法。

在整體分析中，熟練掌握結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣元素的物理意義和集成過程，熟練掌握結(jié)構(gòu)綜合結(jié)點(diǎn)荷載的集成過程。掌握單元定位向量的建立，支撐條件的處理。

自由式單元的單元剛度矩陣不要求背記，但要領(lǐng)會其物理意義，并會有它推出特殊單元的單元剛度矩陣。4現(xiàn)在是4頁\一共有49頁\編輯于星期四矩陣位移法以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ);

以矩陣作為數(shù)學(xué)表達(dá)形式;

以電子計算機(jī)作為計算手段三位一體的解決各種桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等計算的方法。第一節(jié)矩陣位移法概述采用矩陣進(jìn)行運(yùn)算，不僅公式緊湊，而且形式統(tǒng)一，便于使計算過程規(guī)格化和程序化。這些正是適應(yīng)了電子計算機(jī)進(jìn)行自動化計算的要求。5現(xiàn)在是5頁\一共有49頁\編輯于星期四第一節(jié)矩陣位移法概述結(jié)構(gòu)力學(xué)傳統(tǒng)方法與結(jié)構(gòu)矩陣分析方法，二者同源而有別：

在原理上同源，在作法上有別前者在“手算”的年代形成，后者則著眼于“電算”，計算手段的不同，引起計算方法的差異。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應(yīng)，在結(jié)構(gòu)矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或稱柔度法與剛度法。矩陣位移法由于具有易于實現(xiàn)計算過程程序化的優(yōu)點(diǎn)而廣為流傳。

矩陣位移法是有限元法的雛形，因此結(jié)構(gòu)矩陣分析有時也稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法。在本章中將使用有限元法中的一些術(shù)語和提法。6現(xiàn)在是6頁\一共有49頁\編輯于星期四1、矩陣位移法的基本思路第一節(jié)矩陣位移法概述力法

需要選擇基本體系和多余約束。所以較多地依賴于結(jié)構(gòu)的具體情況，不宜實現(xiàn)計算機(jī)計算的自動化，但其優(yōu)點(diǎn)是計算出的結(jié)果就是力。位移法

是先求結(jié)點(diǎn)位移，再換算成力，該法的計算自動化和通用性強(qiáng)，目前廣為采用。結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力桿件桿端力桿件端點(diǎn)位移結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移位移法力法位移法與力法之由于選取的基本未知量不同，因此計算次序不同a、方法的選擇7現(xiàn)在是7頁\一共有49頁\編輯于星期四1、矩陣位移法的基本思路第一節(jié)矩陣位移法概述b、基本假設(shè)和基本原理線彈性、小變形。滿足疊加原理、功能原理c、正負(fù)號規(guī)定（采用右手法則）桿端內(nèi)力規(guī)定當(dāng)與坐標(biāo)軸正方向一致時為正；桿端位移和結(jié)點(diǎn)位移規(guī)定當(dāng)與坐標(biāo)軸正方向一致時為正。結(jié)點(diǎn)外力規(guī)定當(dāng)與坐標(biāo)軸正方向一致時為正；8現(xiàn)在是8頁\一共有49頁\編輯于星期四1、矩陣位移法的基本思路第一節(jié)矩陣位移法概述化整為零

（離散化、單元分析）集零為整

（結(jié)點(diǎn)力平衡、位移協(xié)調(diào)）

先把結(jié)構(gòu)拆開，分解成若干個單元（在桿件結(jié)構(gòu)中，一般把每個桿件取作一個單元），這個過程稱作離散化。然后按單元力學(xué)性質(zhì)對每個單元分析建立單元剛度方程，在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體求解。在一分一合，先拆后搭的過程中，把復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為簡單單元分析和集合問題。矩陣位移法的要點(diǎn)：9現(xiàn)在是9頁\一共有49頁\編輯于星期四2、單元劃分第一節(jié)矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續(xù)結(jié)構(gòu)剖分成若干個各自獨(dú)立的單元，原結(jié)構(gòu)可以看成是由各單元在連接點(diǎn)（稱結(jié)點(diǎn)）連接而成的體系——化整為零在桿件結(jié)構(gòu)矩陣分析中，一般是把桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、邊界點(diǎn)、突變點(diǎn)或集中荷載作用點(diǎn)等列為結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的桿件部分作為單元。10現(xiàn)在是10頁\一共有49頁\編輯于星期四2、單元劃分第一節(jié)矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續(xù)結(jié)構(gòu)剖分成若干個各自獨(dú)立的單元，原結(jié)構(gòu)可以看成是由各單元在連接點(diǎn)（稱結(jié)點(diǎn)）連接而成的體系——化整為零為了減少基本未知量的數(shù)目，跨間集中荷載作用點(diǎn)可不作為結(jié)點(diǎn)，但要計算跨間荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載；跨間結(jié)點(diǎn)也可不作為結(jié)點(diǎn)，但要推導(dǎo)相應(yīng)的單元剛度矩陣，編程序麻煩。11現(xiàn)在是11頁\一共有49頁\編輯于星期四第二節(jié)單元分析（局部坐標(biāo)系下的單元分析）1、坐標(biāo)系的選擇:

在矩陣位移法中采用兩種坐標(biāo)系：

局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系。單元分析的目的是以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，分析每個單元的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移及荷載之間的關(guān)系，即建立單元剛度方程，并用矩陣形式表示。整體坐標(biāo)局部坐標(biāo)FPxy12現(xiàn)在是12頁\一共有49頁\編輯于星期四第二節(jié)單元分析（局部坐標(biāo)系下的單元分析）2、局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣采用局部坐標(biāo)系（以桿的軸線作為x軸）時，桿端力及桿端位移的正方向以坐標(biāo)軸正方向為正。桿端位移：桿端內(nèi)力：桿件方向：

l13現(xiàn)在是13頁\一共有49頁\編輯于星期四第二節(jié)單元分析（局部坐標(biāo)系下的單元分析）2、局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣局部坐標(biāo)系下的單剛方程14現(xiàn)在是14頁\一共有49頁\編輯于星期四第二節(jié)單元分析（局部坐標(biāo)系下的單元分析）2、局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣剛度系數(shù)的物理意義：單元剛度矩陣是桿端力與桿端位移之物理關(guān)系；矩陣的階數(shù)與桿端位移分量數(shù)相等；表示引起的桿端力的大小。15現(xiàn)在是15頁\一共有49頁\編輯于星期四第二節(jié)單元分析（局部坐標(biāo)系下的單元分析）3、局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣性質(zhì)單剛一般具有奇異性：單剛具有對稱性：由反力互等定理可知受力角度：存在剛體位移，桿端位移無法唯一確定數(shù)學(xué)角度：向量相關(guān)，矩陣不可逆，行列式為零。16現(xiàn)在是16頁\一共有49頁\編輯于星期四第二節(jié)單元分析（局部坐標(biāo)系下的單元分析）3、局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣性質(zhì)與單元剛度方程相應(yīng)的正、反兩類問題

為不平衡力系時，無解；為平衡力系時，有無窮多組解。

為任何值時，都有對應(yīng)的唯一解，且總是平衡力系。將單元視為兩端自由的桿件，直接加在自由端作為指定的桿端力。將單元視為兩端有人為約束控制的桿件。控制附加約束加以指定。解的性質(zhì)力學(xué)模型反問題正問題17現(xiàn)在是17頁\一共有49頁\編輯于星期四第三節(jié)單元分析（整體坐標(biāo)系下的單元分析）1、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

同類單元在局部坐標(biāo)系中具有相同的簡潔形式。但不同單元在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中方位不盡相同，在整體分析中，為使分量疊加方便，需選擇一個統(tǒng)一公共坐標(biāo)系——整體坐標(biāo)系。按整體坐標(biāo)系來建立各單元的剛度矩陣。局部坐標(biāo)系整體坐標(biāo)系變換18現(xiàn)在是18頁\一共有49頁\編輯于星期四第三節(jié)單元分析（整體坐標(biāo)系下的單元分析）1、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣整體坐標(biāo)系下的分量局部坐標(biāo)系下的分量xy兩種坐標(biāo)系中單元的桿端位移轉(zhuǎn)換關(guān)系為：用整體量表示局部量？19現(xiàn)在是19頁\一共有49頁\編輯于星期四第三節(jié)單元分析（整體坐標(biāo)系下的單元分析）整體坐標(biāo)系下的分量局部坐標(biāo)系下的分量xy兩種坐標(biāo)系中單元的桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系為：1、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣用局部量表示整體量？20現(xiàn)在是20頁\一共有49頁\編輯于星期四第三節(jié)單元分析（整體坐標(biāo)系下的單元分析）整體坐標(biāo)系下的單剛與局部坐標(biāo)系下的單剛性質(zhì)相同2、整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣

21現(xiàn)在是21頁\一共有49頁\編輯于星期四第三節(jié)單元分析（整體坐標(biāo)系下的單元分析）3、整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣的特性

整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣與局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣有類似的特性（對稱、奇異）。另外，局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣只與單元的幾何形狀、物理常數(shù)有關(guān)；整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣不僅與單元的幾何形狀、物理常數(shù)有關(guān)，還與單元的位置和方位有關(guān)。

22現(xiàn)在是22頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析整體剛度方程是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式，是通過考慮結(jié)構(gòu)的變形連續(xù)條件和平衡條件建立起來的。無論何種結(jié)構(gòu)，其整體剛度方程都具有統(tǒng)一的形式：[K]是整體剛度矩陣；{Δ}結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量；{P}結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力列向量。利用結(jié)點(diǎn)位移協(xié)調(diào)和結(jié)點(diǎn)力平衡條件將各單元整合到一起,得到一個關(guān)于結(jié)點(diǎn)位移的線性代數(shù)方程——集零為整1、整體剛度矩陣的集成23現(xiàn)在是23頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析1、整體剛度矩陣的集成

由變形連續(xù)條件知，結(jié)點(diǎn)發(fā)生單位位移，交于該結(jié)點(diǎn)的各單元的桿端也發(fā)生單位位移，由此產(chǎn)生的單元桿端力應(yīng)是單元剛度矩陣中的元素。結(jié)點(diǎn)單位位移產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力是整體剛度矩陣中的元素。由平衡條件知交于某結(jié)點(diǎn)的各單元桿端力之和等于該結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)力。故整體剛度矩陣中的元素應(yīng)是由對應(yīng)的單元剛度矩陣中的元素疊加而成。綜上所述，整體剛度矩陣可以根據(jù)單元的結(jié)點(diǎn)位移分量的局部碼和總碼之間的對應(yīng)關(guān)系，由單元剛度矩陣集成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。24現(xiàn)在是24頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析FPxyFR1FR2FR3FR41(1,2)2(3,4)213(5,6)FPFR1FR2FR3FR41、整體剛度矩陣的集成離散25現(xiàn)在是25頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析分別寫出整體坐標(biāo)系下單元剛度方程1、整體剛度矩陣的集成26現(xiàn)在是26頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析將離散單元集合時應(yīng)滿足位移協(xié)調(diào)和平衡條件位移協(xié)調(diào)121(1,2)2(3,4)3(5,6)FP1、整體剛度矩陣的集成27現(xiàn)在是27頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析將離散單元集合時應(yīng)滿足位移協(xié)調(diào)和平衡條件結(jié)點(diǎn)平衡121(1,2)2(3,4)3(5,6)FPFR1FR2FR3FR41、整體剛度矩陣的集成28現(xiàn)在是28頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析1、整體剛度矩陣的集成集成整體剛度矩陣的關(guān)鍵，是確定單元剛度矩陣中的元素在整體剛度矩陣中的位置。首先要知道單元的結(jié)點(diǎn)位移分量的局部碼和總碼之間的對應(yīng)關(guān)系，即單元定位向量。它是單元結(jié)點(diǎn)位移總碼按局部碼順序排列而成的向量記為{λ}。單元結(jié)點(diǎn)分量按單元定位向量向整體剛度矩陣安裝12(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy29現(xiàn)在是29頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析1、整體剛度矩陣的集成將單元剛度矩陣按單元定位向量擴(kuò)展為單元貢獻(xiàn)矩陣（換碼擴(kuò)陣）30現(xiàn)在是30頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度矩陣31現(xiàn)在是31頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度矩陣32現(xiàn)在是32頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析根據(jù)集成法原理，計算過程分步進(jìn)行：1、整體剛度矩陣的集成33現(xiàn)在是33頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析1、整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣集成的兩步可以合成一步完成：邊換碼，邊疊加，對號入座(1)將[k]e

中元素重新在[K]e中定位

結(jié)點(diǎn)量值的兩種編碼：總碼、局碼；

量值分量在兩種編碼中的對應(yīng)關(guān)系，由單元定位向量來表示；(2)將所有

[k]e

疊加生成

[K]

單剛元素在單元剛陣中按局碼順序排列；而在單元貢獻(xiàn)陣中按總碼順序排列，即需要“換碼重排座”34現(xiàn)在是34頁\一共有49頁\編輯于星期四第四節(jié)整體分析2、整體剛度矩陣系數(shù)的物理意義1.對稱性3.稀疏性整體剛度矩陣是結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的物理關(guān)系；矩陣的階數(shù)與結(jié)點(diǎn)位移分量數(shù)相等；Kij表示第j個結(jié)點(diǎn)位移分量為1時，第i個結(jié)點(diǎn)力分量的大小。3、整體剛度矩陣的性質(zhì)2.奇異性35現(xiàn)在是35頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算由前面的分析得到整體剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)荷載列陣，形成關(guān)于結(jié)點(diǎn)位移的線性代數(shù)方程組；求解線性方程組可以得到結(jié)點(diǎn)位移列陣；利用結(jié)點(diǎn)位移列陣計算桿端內(nèi)力。計算結(jié)點(diǎn)位移由定位向量e

提取單元桿端位移36現(xiàn)在是36頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2EA=750l1

=4l2

=3FP

=40解:1.離散化局碼12總碼位移碼單元編碼(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。37現(xiàn)在是37頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。2.計算局部單剛3.求變換矩陣解:1.離散化38現(xiàn)在是38頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。2.計算局部單剛3.求變換矩陣解:1.離散化125612561234561234564.求單剛擴(kuò)展矩陣39現(xiàn)在是39頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。2.計算局部單剛3.求變換矩陣解:1.離散化345634561234561234564.求單剛擴(kuò)展矩陣40現(xiàn)在是40頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。5.疊加求整體剛陣41現(xiàn)在是41頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。5.疊加求整體剛陣42現(xiàn)在是42頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。5.疊加求整體剛陣6.求結(jié)點(diǎn)荷載列陣43現(xiàn)在是43頁\一共有49頁\編輯于星期四第五節(jié)內(nèi)力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結(jié)構(gòu)內(nèi)力。5.疊加