概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提綱

第一章隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.樣本空間、隨機(jī)事件①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用表示；②樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.③隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用A,B,C,…表示；()是不④必然事件就等于樣本空間；不可能事件包含任何樣本點(diǎn)的空集；⑤基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。2.事件的四種關(guān)系①包含關(guān)系：AB，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生；A與事件B一定不②等價(jià)關(guān)系：③互不AB，事件相容（互斥）：AB，事件會(huì)同時(shí)發(fā)生。AA④對(duì)立關(guān)系（互逆）：A必不發(fā)生，反之也成立；A，事件A發(fā)生事件互逆滿足AA注：互不相容和對(duì)立的關(guān)系（對(duì)立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對(duì)立事件。）3.事件的三大運(yùn)算AB，則ABAB；AB，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。若①事件的并：或ABAB，事件②事件的交：A與事件B都發(fā)生；③事件的差：B不發(fā)生。A-B，事件A發(fā)生且事件4.事件的運(yùn)算規(guī)律ABBA,ABBA①交換律：(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)律：A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)②結(jié)合③分配律：nAA,nABAB,ii④德摩根（DeMorgan）定律：對(duì)于n個(gè)事件，有i1i1ABABnAnAiii1i1二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)1．公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，對(duì)于任一隨機(jī)事件A(A),都有確定的實(shí)值P(A)，滿足下列性質(zhì)：(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：P(A)0;P()1;kk(3)有限可加性(概率加法公式)：對(duì)于k個(gè)互不相容事件，有.P(A)iA,A,AP(A)12kii1i1則稱P(A)為隨機(jī)事件A的概率.2．概率的性質(zhì)①P()1,P()0②P(A)1P(A)③若AB，則P(A)P(B),且P(BA)P(B)P(A)1④P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如若P(A)P(B),ABA則。（×）若，則。（×）P(A)0三、古典概型的概率計(jì)算古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個(gè)條件：①只有有限個(gè)樣本點(diǎn),k稱該概率模型為古典概型,P(A)。②每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則n典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A）的概率為1P(A)CmMm(NM)nm.n1Nn放回抽樣的(2)在不方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A）的概率為2CmAmAnmCmCnmNM.PA()NMnMM2AnNCnN四、條件概率及其三大公式P(AB)P(AB),P(A|B)P(A)P(B)1.條件概率：P(B|A)P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B)2.乘法公式：P(AAA)P(A)P(A|A)P(A|AA)P(A|AA)12n121312n1n1B,B,,B滿足nB,BB,ij，則P(A)n3.全概率公式：若P(B)P(A|B)。12niijiiii1P(B)P(A|B)i4.貝葉斯公式：若事件B,B,,B和A如全概率公式所述，且P(A)0，則P(B|A).i12ninP(B)P(A|B)iii1義：若P(AB)P(A)P(B),則稱A,B獨(dú)立A,A,,A相互獨(dú)立，P(AA)P(A)P(A)五、事件的獨(dú)立1.定.推廣：若12n1n1n2.在A,B,A,B,A,B,A,B四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，則其余三對(duì)也獨(dú)立。P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)P(AC)P(A)P(C)3.三個(gè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立：注：n個(gè)事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。（相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立，反之不成立。）P(k)Ckpq,k0,1,2,,n,q1p.knk4.伯努利概型：nn21.事件的對(duì)立與互不相容是等價(jià)的。（X）2.若P(A)0,則A。（X）3.若P(A)0.1,P(B)0.5,則P(AB)0.05。(X)4.A,B,C三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生可表示為ABCABCABC。(∨)5.n個(gè)事件若滿足i,j,P(AA)P(A)P(A)，則n個(gè)事件相互獨(dú)立。(X)ijijAB時(shí)，有6.當(dāng)P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義：設(shè)樣本空間為，變量XX()為定義在上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱為隨機(jī)變量，通X常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)X，對(duì)于任意實(shí)數(shù)xR，函數(shù)F(x)P{Xx}稱為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，簡稱X1.定義：設(shè)隨機(jī)變量分布函數(shù)。注：當(dāng)時(shí)，()F(x)()xxPxXxFx121221pxi1,2,,(1)X是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)(),px().則有()Fxiixxi()()xf(t)dt.f(x)，則FxPXx(2)X連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度2.分布函數(shù)性質(zhì)：（1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)于任意x<x，有()();；FxFx1212（20F(x)1；且()limF(x)0，()limF(x)1；FFxx（3離散隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)是右連續(xù)函數(shù),即()(0)；連續(xù)隨機(jī)變量-∞，+∞）上處處連續(xù)。X，F(xiàn)(x)在（FxFx注：一個(gè)函數(shù)若滿足上述3個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。三、離散隨機(jī)變量及其分布,,,，或可列無窮多個(gè)數(shù)值,,,,,且xxxx1.定義.設(shè)隨機(jī)變量X只能取得有限個(gè)數(shù)值xnxn1212或概率函數(shù)(分布律).P(Xx)p(i1,2,)，則稱X為離散隨機(jī)變量,p(i=1,2,…)為X的概率分布，iii注：概率函數(shù)p的性質(zhì):(1)0,i1,2,;(2)p1piiii2.幾種常見的離散隨機(jī)變量的分布：P{Xk}CkCnkNMk0,1,2,,nk0,1,,n（1）超幾何分布，X~H(N,M,n)，MCnNP(Xk)Ckpk(1p)項(xiàng)分布，X~B(n.,p)，（2）二當(dāng)n=1時(shí)稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（若Xi(i=1,2,…,n)服從同一nkn或0－1分布）。nX服從二項(xiàng)分布。i兩點(diǎn)分布且獨(dú)立，則Xi13keP{Xk}X~P()，（3）泊松(Poisson)分布，(0),k0,1,2,...k!四、連續(xù)隨機(jī)變量及其分布.若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I，且存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意區(qū)間I1.定義(,]，有abP(aXb)f(x)dx,b則稱為連續(xù)隨機(jī)變量X;函數(shù)稱為連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。f(x)Xa注1：連續(xù)隨機(jī)變量X任取某一確定值的0x概率等于0,即P(Xx)0;0注2：()()()()PxXxPxXxPxXxPxXxxf(x)dx212121212x12.概率密度f(x)的性質(zhì)：性質(zhì)1：f(x)0;性質(zhì)2：f(x)dx1.注1：一個(gè)函數(shù)若滿足上述2個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。注2：當(dāng)時(shí)，xxPxXx()F(x)F(x)xf(x)dx2121221x1且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處，有()().Fxfx3.幾種常見的連續(xù)隨機(jī)變量的分布：0,xa;axb;xb.X~U(a,b)，f(x)1xa,，axb(1)均勻分布F(x)baba0，其它1,1ex,x0,ex，x0F(x)X~e(),0f(x)(2)指數(shù)分布0，x0x0.0,(x)2(t)22dt,11(3)正態(tài)分布X~N(,2)，0f(x)x，F(xiàn)(x)ex2e22221.概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個(gè)概念。（X）2.當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.設(shè)X是隨機(jī)變量，有P(aXb)P(aXb)。(X)f(x)=cosx,x[0,]，則P(0X)costdt.(X)4.若X的密度函數(shù)為20第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、期望（或均值）xp,離散型EX,EX1．定義：kkk1xf(x)dx,連續(xù)型(1)E(C)C,(C為常數(shù))(2)E(CX)=CE(X)2．期望的性質(zhì)：(3)E(XY)=E(X)E(Y)(4)若X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y),反之結(jié)論不成立.4g(x)p,X離散型3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望E[g(x)]kkk1+g(x)f(x)dx，連續(xù)型X-4.計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法(1)利用數(shù)學(xué)期望的定義；(2)利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；常見的基本方法：將一個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量X拆成有限多個(gè)比較簡單的隨機(jī)變量X之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望.i(3)利用常見分布的期望；[xE(X)]2p,離散型i1．方差D(X)E[XE(X)]2i[xE(X)]2f(x)dx,連續(xù)型注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了隨機(jī)變量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性質(zhì)(1)D(C)0,(C為常數(shù))(2)D(CX)=C2D(X)(3)若X與Y相互獨(dú)立，則D(XY)=D(X)+D(Y)(4)對(duì)于任意實(shí)數(shù)C∈R，有E(X-C)2≥D(X)當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí),E(X-C)2取得D(X).雪夫不等式):設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)存在,對(duì)于任意的最小值，正數(shù)有(5)(切比P(|X-E(X)|ε)D(X).或P(|X-E(X)|<ε)1-D(X).ε2ε23.計(jì)算(1)利用方差定義；(2)常用計(jì)算公式D(X)E(X2)[E(X)]2.(3)方差的性質(zhì)；(4)常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差1.若X～B(n,p),則E(X)=np,D(X)=npq;2.若X~P(),則()D(X);EX~(),則E(X)1,D(X)Xe12;3.若X～U(a,b),則E(X)ab,D(X)(ba)2;4.若2125.若X~N(,2),則E(X),D(X)2.三、原點(diǎn)矩與中心矩v(X)E(Xk)ku(X)E[XE(X)]kk（總體）X的k階原點(diǎn)矩：（總體）X的k階中心矩：1.只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。(X)2.期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。(√)3.方差越小，隨機(jī)變量取值越分散，方差越大越集中。(X)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。(√)4.方差的實(shí)質(zhì)5.對(duì)于任意的X,Y，都有D(XY)DXDY成立。(X)第四章正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義1.正態(tài)分布5(t)222(x1)212fx⑴X~N(,2)概率密度為()e22,x,其分布函數(shù)為F(x)xedt2注：F()1.2正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性：1（2）當(dāng)xμ時(shí)，f(x)取得最大值(1)曲線關(guān)于x對(duì)稱；；2x)2x)2((122dx2;(3)當(dāng)x時(shí)，f(x)0，以x軸為漸近線；(4)edx1e222（5）當(dāng)固定σ，改變?chǔ)痰拇笮r(shí)，f(x)的圖形不變，只是沿著y軸作平移變化.（6）當(dāng)固定μ，改變?chǔ)业拇笮r(shí)，f(x)對(duì)稱軸不變而形狀在改變，σ越小,圖形越高越瘦；σ越大,圖形越矮越胖.2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x22,t2e2dt.11當(dāng)0,1時(shí)，X~N(0,1),其密度函數(shù)為(x)x.且其分布函數(shù)為(x)xe22(x)的性質(zhì)：(1)(0)1;2(3)(x)1(x).(2)()1x22dx1x2e2dx22e3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系X~N(0,1).定理：若定理：設(shè)X~N(,2),則Yxx(1X~N(,2),則P(xXx)(22)).1二、正態(tài)分布的數(shù)字特征(x)2設(shè)X~N(,2),則1.期望E(X)E(X)1xedx222x)2dx22(12.方差D(X)2D(X)(x)2e223.標(biāo)準(zhǔn)差(X)三、正態(tài)分布的性質(zhì)1．線性性.設(shè)X~N(,則2)，(b0)；2),YabX~N(ab,b2,22),且X和Y相互獨(dú)立，則ZXY~N(x2．可加性.設(shè)X~N(,2),Y~N(,x2);yxyyyx3．線性組合性設(shè)X~N(,2),i1,2,,n，且相互獨(dú)立，則innnc22).iicX~(Nc,iiiiiii1i1i1四、中心極限定理61.獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X,X,,X,相互獨(dú)立，服從相同的分布，且E(X),D(X)iin2,1,2,,,;12ninXnμixe(t)2則對(duì)于任何實(shí)數(shù)limPnx12dtx，有i122nσX,X,,X滿足上述條件，當(dāng)n充分大時(shí)，有定理解釋：若12nnXnμiX~AN(n,n2)；（1）Y*n~AN(0,1)；(2)Yni1*nσnii121（3）XnX~AN(,)nnii12.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理Ynpn22(t)212設(shè)Y~B(n,p),則limPnxxedtnp(1-p)n定理解釋：若Y~B(n,p),當(dāng)n充分大時(shí)，有nYnp~AN(0,1)；（2）Y~AN(np,np(1p))n（1）nnp(1p)X~N(0,1),Y~N(2,1),則XY~N(2,2).（X）1.若XX~N(,2),則P(0)1（√）.2.若2X~N(,42),Y~N(,52)3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布：而pP(X4);pP(Y5),則(B).12B.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有pp12A.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有pp;12C.只對(duì)的個(gè)別值，才有pp;D.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有pp.12121ex22x14.已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)則X的數(shù)學(xué)期望為__1____;X的方差為__1/2____.第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)一、總體個(gè)體樣本把研究對(duì)象的全體稱為總體(或母體).它是一個(gè)隨機(jī)變量，記X.象稱為個(gè)體.即每一個(gè)可能的觀察值.1.總體：2.個(gè)體：總體中每個(gè)研究對(duì)3.樣本：從總體X中，隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體X,X,,X,稱為總體的容量為的樣本。nXn127注：⑴樣本是一個(gè)n中每一個(gè)與總體有相同的n的聯(lián)合分布n維的隨機(jī)變量；⑵本書中提到的樣本都是指簡單隨機(jī)樣本，其滿足2個(gè)特性：(X,X,,X)12X分布.②獨(dú)立性：2①代表性：是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.X,X,,XX,X,,X112(X,X,,X)n4.樣本12nnF(x,x2,,x)設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為(X,X,,X)nF(x);i121ni1n(1)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,x,,x)f(x);i12ni1n(2)設(shè)總體X的概率函數(shù)為(),(pxx0,1,2,)p(x,x,,x),則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為p(x);i12ni1二、統(tǒng)計(jì)量1.定義g(X,X,,X)g(x,x,,x)g(X,X,,X)是的觀測值.12n不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量,12n12ng(X,X,,X)是隨機(jī)變量；g(X,X,,X)不含總體分布中任何未知參數(shù)；注：（1）統(tǒng)計(jì)量（2）統(tǒng)計(jì)量112n2n（3）統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.2.常用統(tǒng)計(jì)量.可用于推斷：xi1n1n（1）樣本矩：①樣本均值X；其觀測值x總體均值E(X).Xnini1i11n11n1(②樣本方差S2n(XX)2inX2nX;)2ii1i11n1n1n其觀測值s2(xx)2ix2nx2.可用于推斷：總體方差D(X).n1ii1i11n1n1n③樣本標(biāo)準(zhǔn)差S其觀測值sX)2X2nX2.S2(Xn1iii1i1x2nx2.i1n1n(xx)2s2n1n1ii1i11n觀測值vkn1n其④樣本k階原點(diǎn)矩VkXk,(k1,2,)ixkini1i11n1n其(XX)k,(k1,2,)觀測值⑤樣本k階中心矩Uk(xx)kiunikni1i1注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值X和總體均值E(X)；樣本方差S2與總體方差D(X)；1k階原點(diǎn)矩VkEXXk,(k1,2,)與總體k階原點(diǎn)矩(k),(k1,2,)；樣本k階中心矩n樣本ni1i1nnU(XX)k,(k1,2,)與總體k階原點(diǎn)矩[()]k,(k1,2,).前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù).EXEXkii18(2)樣本矩的性質(zhì):EXDX2，X,S2為樣本均值、樣本方差，則X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為,設(shè)總體12;3oE(S2)n2.1oE(X);2oD(X)3.抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.三、3大抽樣分布，則X2X2X2~2(k)12k：定義.設(shè)2相互獨(dú)立，且i1.分布X,X,,X2X~N(0,1),i1,2,,k12k注：若X~N(0,1),則X2~2(1).（2）性質(zhì)（可加性）~2(k),則2~2設(shè)相互獨(dú)立，且~2(k),和2(kk).12212222211221X2.t分布：設(shè)X與Y相互獨(dú)立,且X~N(0,1),Y~2(k),則tY/k~t(k).注：t分布的密度圖像關(guān)于t=0對(duì)稱；當(dāng)n充分大時(shí)，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).X/k則2(k),Y~2(k),F1~F(k,k).2Y/k3.F分布:定義.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且X~1122(2)性質(zhì).設(shè)則.1X~F(k,k),1/X~F(k,k)212四、分位點(diǎn)1),若存在x，使得x為X分布的分位點(diǎn)。P(Xx)則稱定義：對(duì)于總體X和給定的(0注：常見分布的分位點(diǎn)表示方法（1）2(k)分布的分位點(diǎn)2(k);（2）t(k)分布的分位點(diǎn)t(k),其性質(zhì)：1t(k)t(k);1F(k,k)（3）F(k,k),分布的分位點(diǎn)F(k,k),其性質(zhì)2;F(k,k)12111221（4）N(0,1)分布的分位點(diǎn)u,有P(Xu)1P(Xu)1(u),第六章參數(shù)估計(jì)(X,X,,X)n(x,x,,x)X中的未知參數(shù)，為樣本值，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)12n一、點(diǎn)估計(jì):設(shè)1為來自總體X的樣本，為2?(X,X,,X)作為參數(shù)的估計(jì)，則稱?(X,X,,X)?為的估計(jì)值.(x,x,,x)n量為的點(diǎn)估計(jì)量，12n12n122.常用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.二、矩估計(jì)法1.基本思想:用樣本矩（原點(diǎn)矩或中心矩）代替相應(yīng)的總體矩.m個(gè)未知參數(shù)的矩估計(jì)步驟：2.求總體X的分布中包含的,,,12m①求出總體矩,即E(Xk)或E[XE(X)]k,k1,2,；②用樣本矩代替總體矩，列出矩估計(jì)方程：i1n1nXkE(Xk)或(XX)kE[XE(X)]k,k1,2,nini1i1的矩估計(jì)量為：??XX,,X),i1,2,,m(,ii12n③解上述方程（或方程組）得到,,,21m④的矩估計(jì)值為：(,