復(fù)變函數(shù)試題庫(kù)

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梅一A111

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）

dz1、

?|z?z0|?1(z?zn?__________.（n為自然數(shù)）

0)sin2z?cos22.z?_________.

3.函數(shù)sinz的周期為_(kāi)__________.

f(z)?14.設(shè)

z2?1，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有__________.

?5.冪級(jí)數(shù)?nzn的收斂半徑為_(kāi)_________.

n?06.若函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上四處解析，則稱它是__________.

limz1?z2?...?zn7.若limn??zn??，則

n??n?______________.

ezRes(zn,0)?8.

________，其中n為自然數(shù).

9.

sinzz的孤立奇點(diǎn)為_(kāi)_______.

10.若z0是

f(z)limf(z)?___的極點(diǎn)，則z?z0.

三.計(jì)算題（40分）：

f(z)?11.設(shè)

(z?1)(z?2)，求f(z)在

D?{z:0?|z|?1}內(nèi)的羅朗展式.2.

?1|z|?2coszdz.

23.設(shè)

f(z)??3??7??1dC??z?，其中C?{z:|z|?3}，試求f'(1?i).

w?z?14.求復(fù)數(shù)

z?1的實(shí)部與虛部.

四.證明題.(20分)

1.函數(shù)

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：假使|f(z)|在D內(nèi)為常數(shù)，

那么它在D內(nèi)為常數(shù).

2.試證:f(z)?z(1?z)在割去線段0?Rez?1的z平面內(nèi)能分出兩

個(gè)單值解析分支,并求出支割線0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

1

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）

二.填空題.(20分)1.設(shè)z??i，則|z|?__,argz?__,z?__

2.

設(shè)

f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，

zlim?1?if(z)?________.

3.

?dz|z?z?0|?1(z?zn_________.（n為自然數(shù)）

0)?4.冪級(jí)數(shù)?nzn的收斂半徑為_(kāi)_________.

n?05.若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0，則z0是f'(z)的_____零點(diǎn).6.函數(shù)ez

的周期為_(kāi)_________.

7.方程2z5?z3?3z?8?0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.8.設(shè)f(z)?11?z2，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有_________.

9.函數(shù)f(z)?|z|的不解析點(diǎn)之集為_(kāi)_______.

10.

Res(z?1z4,1)?____.

三.計(jì)算題.(40分)

31.求函數(shù)sin(2z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.

則

2.在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)

z在正

實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)

z?i處的值.

3.計(jì)算積分：I??i?i|z|dz，積分路徑為（1）單位圓（|z|?1）

的右半圓.

?sinzz?2dz24.求

(z??2).

四.證明題.(20分)

1.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f(z)在D內(nèi)解析.

2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）

二.填空題.(20分)1.設(shè)f(z)?1z2?1，則f(z)的定義域?yàn)開(kāi)__________.

2.函數(shù)ez的周期為_(kāi)________.

2

3.若zn?2nn?1?n?i(1?1n)，則lim??zn?__________.

n4.sin2z?cos2z?___________.

5.

?dz|z?z(z?zn?0|?1_________.（n為自然數(shù)）

0)?6.冪級(jí)數(shù)?nxn的收斂半徑為_(kāi)_________.

n?07.設(shè)

f(z)?1z2?1，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有__________.

8.設(shè)ez??1，則z?___.

9.若z0是

f(z)的極點(diǎn)，則limf(z)?___.

z?z0z10.Res(ezn,0)?____.

三.計(jì)算題.(40分)

11.將函數(shù)f(z)?z2ez在圓環(huán)域0?z??內(nèi)展為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).

??2.試求冪級(jí)數(shù)

?n!nnz的收斂半徑.

n?nz3.算以下積分：

?edz|z|?1.

Cz2(z2，其中?9)C是4.求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|

1)u2?v2?0,則f(z)?0為常數(shù).2)

若?0,由方程(1)(2)及C.?R.方程有ux?0,uy?0,

1(n?1)!三.計(jì)算題..

vy?0.

所以u(píng)?c1,v?c2.(c1,c2為常數(shù)).所以f(z)?c1?ic2為常數(shù).

2.證明取r?R,則對(duì)一切正整數(shù)k?nf(k)(0)?k!f(z)k!Mrn2??.z?rzk?1dz?rk于是由r的任意性知對(duì)一切k?n均有f(k)(0)?0.

n故f(z)??cnzn,即f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù).

k?0

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）參考答案

.

二.填空題.

1.12,12;2.?;3.2k?i(k?z);??(?1)nz2n(z?1);5.整函數(shù);

n?06.亞純函數(shù);7.0;8.z?0;9.?;1.

解:z3??1?z?cos2k???2k???3?isin3k?0,1,2z?131?cos3?isin?3?2?2iz2?cos??isin???1,

z??13?cos53?isin53?2?32i

z2.解Resf(z)?ee,Resf(z)?eze?1z?1z?1?z??1z?12z?1?z??1?2.

故原式?2?i(Resf(z)?Resf(z))??i(e?e?1).

z?1z??13.解原式?2?iResf(z)?2z??i?iz9?z2??z??i5.

1z?ez?1?14.解ez?1zz=z(e?1)，令z(ez?1)?0，得z?0,z?2k?i，

k??1,?2,?4.

lim(11z?ez?1而z?0ez?1?z)?lim(e?1)z?lim1?ezz?0zz?0ez?1?zez

?ez10.

?limz?0ez?ez?zez??12?z?0為可去奇點(diǎn)

11

時(shí)當(dāng)z?2k?i時(shí)，(k?0),z?ez?1?0

?(ez?1)z???ez?1?zez而

z?2k?iz?2k?i?0?z?2k?i為

一階極點(diǎn).四.證明題.

1.證明設(shè)F(z)?f(z),在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn)z0,z是下半平面內(nèi)異于z0的點(diǎn),考慮limF(z)?F(z0)f(z)?f(z0)z?z?limf(z)?f(z0).

z?z00z?z0z?z?lim0z?z0z?z0而z0,z在上半平面內(nèi),已知f(z)在上半平面解析,因此

F?(z0)?f?(z0),從而F(z)?f(z)在下半平面內(nèi)解析.

2.證明令f(z)??6z?3,?(z)?z4,則f(z)與?(z)在全平面解析,且在C1:z?2上,f(z)?15??(z)?16,故在z?2內(nèi)N(f??,C1)?N(?,C1)?4.在C2:z?1上,f(z)?3??(z)?1,故在z?1內(nèi)N(f??,C2)?N(f,C2)?1.

所以f??在1?z?2內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn),即原方程在1?z?2內(nèi)僅有三個(gè)根.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）參考答案

一.判斷題.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√10．√.二.填空題.

1.2,??3,1?3i;2.a?2k?i(k?z,a為任意實(shí)數(shù));3.(2k?1)?i,(k?z);4.2k?i,(k?z);5.0;6.0;

?7.亞純函數(shù);8.

?(?1)nz2n(z?1);9.0;10.

n?0?2?in?1??0n?1.

三.計(jì)算題.

1.解令z?a?bi,則w?z?12z?1?1?2a(?1?z?1?1?bi)(a?12)?b2?1?2a(?1)(a?21)?b2?b2a(?21)?.b2故Re(z?1)?1?2(a?1),Im(z?12bz?1(a?1)2?b2z?1)?(a?1)2?b2.2.解連接原點(diǎn)及1?i的直線段的參數(shù)方程為z?(1?i)t0?t?1,

故?11cRezdz??0?Re[(1?i)t]?(1?i)dt?(1?i)?tdt?1?i02.

3.令z?ei?,則d??dziz.當(dāng)a?0時(shí)

12

1?2acos??a?1?a(z?z)?a?2?12(z?a)(1?az)z,

1(z?a)(1?az)

只以《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）參考答案

二、填空題：1.?1?ei2.z??13.2?4.15.故I?1i?dzz?1(z?a)(1?az),且在圓z?1內(nèi)f(z)?z?a為一級(jí)極

點(diǎn),在z?1上無(wú)奇點(diǎn),

故

Resf(z)?1?1z?a1?az2,(0?a?1),由殘數(shù)定理有

z?a1?aI?1i2?iResf(z)?2?2,(0?a?1).

z?a1?a4.解令f(z)??z,則f(z),?(z)在z?1內(nèi)解析,且在C:z?1上,

?(z)?1?f(z),

所以在z?1內(nèi),N(f??,C)?N(f,C)?1,即原方程在z?1內(nèi)只有一個(gè)根.四.證明題.1.證明

因

為

u(x,y)?x2?y2,v(x,y)?0,故ux?2x,uy?2y,?vy?0.

這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在z平面上四處連續(xù),但只在z?0處滿足C.?R.條件,故f(z)只在除了z?0外四處不可微.2.證明取r?R,則對(duì)一切正整數(shù)k?n時(shí),

f(k)(0)?k!(z)n2??fz?rzk?1dz?k!Mrrk.

于是由r的任意性知對(duì)一切k?n均有f(k)(0)?0.

n故f(z)??cnzn,即f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù).

k?01

6.m?1階7.整函數(shù)10.歐拉公式三、計(jì)算題：1.解：由于

2?i6?1159?36?6?1,

故lim(2?i)n6?0.

n??2.解：?1?i?2?3,

?f(z)?1f(?)2?i?C??zd?

2??3??7??1C??zd?.

因此f(?)??2i(?32??7?1)故f(z)?2?i(3z2?7z?1)

f?(1?i)??2i(6z?17?i)??2i8.?(?13i?6?)9.?2?(.6i03)113

ezz13.解：z2?1?e2?(1z?i?z?i)

i?Res(f(z),i)?e2.

?(?1)n(z34.解：sinz3??)2n?1,

n?0(2n?1)!3??sinz(?1)nn?3z6??(2n?1)!z6.n?0225．解：設(shè)z?x?iy,則w?z?1iy?y?1)?2yiz?1?x?1?z?1?iy?(x(x?1)2?y2.