中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓的綜合的經(jīng)典綜合題及詳細答案

一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.如圖，AB為。O的直徑，AC為。O的弦，AD平分NBAC,交。O于點D,口￡，八0交AC的延長線于點E.(1)判斷直線DE與。O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AE=8,OO的半徑為5,求DE的長.【答案】（1）直線DE與OO相切（2）4【解析】試題分析：（1）連接OD,丁AD平分nBAC, ZEAD=ZOAD,?.?OA=OD,/ODA=/OAD, /ODA=/EAD, eaiiOD,?DE±EA,aDE^OD,又二.點D在OO上，「.直線DE與OO相切aa如圖1,作DF^AB,垂足為F,aZDFA=ZDEA=90o,ZEAD=ZFAD,AD=AD,a△EADM△FAD,aAF=AE=8,DF=DE,0A=OD=5,aOF=3，在RtADOF中，DF=JOD2_OF2=4,aAF=AE=8考點：切線的證明，弦心距和半徑、弦長的關(guān)系點評：本題難度不大，第一小題通過內(nèi)錯角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推出同旁內(nèi)角相等.第二小題通過求出兩個三角形全等，從而推出對應(yīng)邊相等，接著用弦心距和弦長、半徑的計算公式，求出半弦長.2.在OO中，點C是AB上的一個動點(不與點A,B重合)，NACB=120°,點I是NABC的內(nèi)心，CI的延長線交OO于點D,連結(jié)AD,BD.?Q（1）求證:AD=BD.（2）猜想線段AB與DI的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）若。O的半徑為2,點E,F是AB的三等分點，當點C從點E運動到點F時，求點I隨之運動形成的路徑長.【答案】（1）證明見解析；（2）AB=DI，理由見解析（3）空9【解析】分析：（1）根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分NACB，可得出角相等，再根據(jù)圓周角定理，可證得結(jié)論；（2）根據(jù)NACB=120°，NACD=NBCD，可求出NBAD的度數(shù)，再根據(jù)AD=BD，可證得△ABD是等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質(zhì)，證明NBID=NIBD，得出ID=BD，再根據(jù)AB=BD，即可證得結(jié)論；（3）連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心，DI1為半徑的弧，根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形，可求出AD的長，再根據(jù)點E，F(xiàn)是弧AB^的三等分點，△ABD是等邊三角形，可證得NDAI『NA^D，然后利用弧長的公式可求出點I隨之運動形成的路徑長.詳解：（1）證明：???點I是NABC的內(nèi)心」.CI平分NACB「.NACD=NBCD??弧AD=>BD「.AD=BD（2）AB=DI理由：:NACB=120°，NACD=NBCD「.NBCD=vx120°=60°;弧BD=>BD.NDAB=NBCD=60°,AD=BD?.△ABD是等邊三角形，，AB=BD,NABD=NC?「I是4ABC的內(nèi)心」.BI平分NABC「.NCBI=NABI丁NBID=NC+NCBI,NIBD=NABI+NABD「.NBID=NIBD「.ID=BD;AB=BD「.AB=DI(3)解：如圖，連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心，DI1為半徑的弧「NACB=120°，弧AD=>BD「.NAED=NACB=x120°=60°「圓的半徑為2,DE是直徑「.DE=4，NEAD=90°「.AD=sinNAEDxDE=±Lx4=29二?點E，F(xiàn)是弧AB斗勺三等分點，△ABD是等邊三角形，「.NADB=60°「?弧AB的度數(shù)為120°，???弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40°「.NADM=20°=NFAB「?Ndai『NFAB+NDAB=80°?二Nai1D=180°-NADM-NDAI1=180°-20°-80°=80°??Ndai『Nai1d

「.AD=I1D=2y3.己爪i? 垃426n一弧"的長為：點睛：此題是一道圓的綜合題，有一定的難度，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)與定理，并對圓中的弦、弧、圓心角、圓周角等進行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透3.如圖，在直角坐標系中，已知點4—8,0),B(0,6),點M在線段AB上。(1)如圖1,如果點M是線段AB的中點，且。M的半徑等于4,試判斷直線OB與。M的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2,OM與x軸，y軸都相切，切點分別為E,F,試求出點M的坐標；(3)(3)如圖3,OM與x軸，y軸坐標(直接寫出答案)線段AB都相切試求出點M的【答案】(1)OB【答案】(1)OB與OM相切;/、 / 24(2)M( ,724、 /、 /—)；(3)M(—2,72)【解析】分析：(1)設(shè)線段OB的中點為D，連結(jié)MD，根據(jù)三角形的中位線求出MD，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可；3(2)求出過點A、B的一次函數(shù)關(guān)系式是y=4x+6,設(shè)M(a，-a)，把x=a,y=-a代3入y=4x+6得出關(guān)于a的方程，求出即可.(3)連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,設(shè)ME=MF=MG=r，根據(jù)S△ABC=-AO*ME+-BO?MF+-AB?MG=-AO*BO求得r=2,據(jù)此可得答案.△ABC2 2 2 2詳解：(1)直線OB與OM相切.理由如下：設(shè)線段OB的中點為D,如圖1,連結(jié)MD,二.點M是線段AB的中點，所以MDIIAO,MD=4,「.NAOB=NMDB=90°,，MD±OB,點D在。M上.又丁又丁點D在直線OB上，(2)如圖2,連接ME,「?直線OB與OM相切;丁A(-丁A(-8,0),B(0,6),「?設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,「.，解3 3得：k=4,b=6,即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是片4x+6.:。M與x軸、y軸都相切，.??點M到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF,設(shè)M3 3(a，-a)(-8<a<0),把x=a,y=-a代入y=4x+6,得：-a=4a+6,得：a=-24 一2424~7~?二點M的坐標為(——，-7-).(3)如圖3,連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,丁。M與x軸，y軸，線段AB都相切，，ME±AO、MF±BO、MG±AB,設(shè)1111ME=MF=MG=r，貝US△ABC=-AO*ME+—BO?MF+-AB?MG=—AO*BO.乙 乙 乙 乙丁A(-8,0),B(0,6),?AO=8、BO=6,AB=xAOO2+BO2=10,1111?-r?8+-r?6+-r?10=萬*6*8,解得：r=2,即ME=MF=2,?點M的坐標為(-2,乙 乙 乙 乙2).點睛：本題考查了圓的綜合問題，掌握直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解答此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：已知0O的半徑為r，圓心O到直線l的距離是d，當d=r時，直線l和OO相切.4.如圖，在^ABC中，/BAC=90。，AB=AC=<2,AD±BC,垂足為D，過A,D的OO分別與AB,AC交于點E,F，連接EF,DE,DF.(1)求證：AADE合ACDF；(2)當BC與OO相切時，求OO的面積.【答案】(1)見解析;⑵吧.4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CD、N1=NC=45°,由NEAF=90°^EF是。O的直徑，據(jù)此知N2+N4=N3+N4=90°,得N2=N3,利用“ASA”證明即可得;(2)當BC與。O相切時，AD是直徑，根據(jù)NC=45°、AC晨5可得AD=1，利用圓的面積公式可得答案.詳解：(1)如圖，:AB=AC,NBAC=90°,:.NC=45°.1又;AD±BC,AB=AC,「.N1=—NBAC=45,BD=CD,NADC=90.2又：NBAC=90°,BD=CD,「.AD=CD.又：NEAF=90°,AEF是。O的直徑，「.NEDF=90°,，N2+N4=90°.又：N3+N4=90°,AN2=N3.在△ADE和4CDF中.Z1=ZC?.?<AD=CD,a△ADE合△CDF(ASA).Z2=Z3(2)當BC與。O相切時，AD是直徑.在RSADC中，NC=45°,AC=；2,AD 1 九2asinNC= ,aAD=ACsinNC=1,AOO的半徑為:7,A。O的面積為一.AC 2 4點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識點.15.如圖1,延長OO的直徑AB至點C,使得BC=-AB,^P是OO上半部分的一個動點(點P不與A、B重合)，連結(jié)OP,CP.(1)NC的最大度數(shù)為一；(2)當OO的半徑為3時，△OPC的面積有沒有最大值？若有，說明原因并求出最大值;若沒有，請說明理由；(3)如圖2,延長PO交OO于點D,連結(jié)DB,當CP=DB時，求證：CP是OO的切線.【答案】（1）30°；（2）有最大值為9,理由見解析；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）當PC與。O相切時，NOCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；（2）由4OPC的邊OC是定值，得到當OC邊上的高為最大值時，△OPC的面積最大，當PO±OC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NC，得到CO=OB+OB=AB，推出△APBM△CPO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NCPO=NAPB，根據(jù)圓周角定理得到NAPB=90°,即可得到結(jié)論.試題解析：（1）當PC與。O相切時，NOCP最大.如圖1,所示：OP21?sinN0cp=——==-,「.nOCP=30°OC42??.NOCP的最大度數(shù)為30°,故答案為：30°；（2）有最大值，理由：?△OPC的邊OC是定值，,當OC邊上的高為最大值時，△OPC的面積最大，而點P在。O上半圓上運動，當PO±OC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大，1 1也就是高為半徑長，?最大值'△opc=-OC*OP=-x6x3=9；（3）連結(jié)AP,BP,如圖2,'OA=OD在^OAP與^OBD中，｛/AOP=/BOD，:.△OAPM△OBD,?AP=DB,OP=OBPC=DB,?AP=PC,;PA=PC,?NA=NC,BC=1AB=OB,?CO=OB+OB=AB,21Ap二CP在^APB和^CPO中，j/A=ZC,:.△APB^△CPO,?NCPO=NAPB,AB=COAB為直徑，,NAPB=90°,,NCPO=90°,,PC切。0于點P,即CP是。0的切線.卻

6.如圖，△ABC是。O的內(nèi)接三角形，點D,E在。O上，連接AE,DE,CD,BE,CE,NEAC+ZBAE=180°,AB=CD.(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;(2)求證：△ABEM△DCE；【答案】(1)BE=CE,理由見解析;(3)若ZEAC=60°,BC=8,【答案】(1)BE=CE,理由見解析;(2)證明見解析；(3)里.3【解析】分析：(1)由A、B、C、E四點共圓的性質(zhì)得：ZBCE+ZBAE=180°,則ZBCE=ZEAC,所以BE=CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明△ABEM△DCE；(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明RSGBOMR3HBO(HL),則ZOBH=30°,設(shè)OH=x，則OB=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長.本題解析：(1)解:BE=CE,理由：:ZEAC+ZBAE=180°,ZBCE+ZBAE=180°,「.ZBCE=ZEAC,一BE=CE，「.BE=CE；(2)證明：:AB=CD,?;AB=CD,-BE=CE，AE=ED，?二AE=ED,由(1)得：BE=CE,在^ABE和^DCE中，'AE=DE-<AB=CD，BE=CE△ABE^△DCE(SSS)；(3)解：如圖，-過O作OG^BE于G,OH±BC于H,.1 -1一bh=-BC=-x8=4,BG=-BE,2 2 2-BE=CE,ZEBC=ZEAC=60°,：.△BEC是等邊三角形，，BE=BC，「.BH=BG,-OB=OB,「.Rt△GBO^Rt△HBO(HL),

- …1 ……「.NOBH=NGBO=-NEBC=30°,2設(shè)OH=x，貝UOB=2x,由勾股定理得:(2x)2=X2+42,x=4"3,

3由勾股定理得:??.OB=2x=81!,OO的半徑為遲3.3 3點睛：本題是圓的綜合題，考查了四點共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、直角三角形30°的性質(zhì)，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應(yīng)邊相等的結(jié)論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵.7.如圖，△ABC內(nèi)接于OO,NBAC的平分線交OO于點D,交BC于點E(BE>EC),且BD=2<3.過點D作DFIIBC,交AB的延長線于點F.(1)求證：DF為OO的切線；(2)若NBAC=60°,DE=v7，求圖中陰影部分的面積.OF D【答案】(1)詳見解析；(2)9%/-2n.【解析】【分析】(1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到ODLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODLDF,根據(jù)切線的判定定理證明；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BH±DF于H,證明△OBD為等邊三角形，得到NODB=60°,OB=BD=2%.：3，根據(jù)勾股定理求出PE,證明△ABE-△AFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積=△BDF的面積-弓形BD的面積計算.【詳解】證明：(1)連結(jié)OD,丁AD平分NBAC交OO于D,「.NBAD=NCAD,一BD=CD，「.OD±BC,「BCIIDF,「.OD±DF,「?DF為。O的切線;(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于「，作BH±DF于H,丁NBAC=60°,AD平分NBAC,「.NBAD=30°,「.NBOD=2NBAD=60°,?.△OBD為等邊三角形，:?NODB=60°,OB=BD=2、3,「.NBDF=30°,「BCIIDF,NDBP=30°,在RtADBP中，PD=1BD=J3,PB=33PD=3,在RtADEP中，:PD=、3,DE=<7,,PE=\RM-(v3)2=2,;OP±BC,BP=CP=3,CE=3-2=1,丁NDBE=NCAE,NBED=NAEC,△BDE-△ACE,AE：BE=CE：DE,即AE：5=1：/,AE=577「BEIIDF,△ABE-△AFD,5<7BEAE5’二，即=，,DFAD1DF 12*5解得DF=12,在RtABDH中，BH=1BD=<3,「?陰影部分的面積=4BDF的面積-弓形BD的面積=△BDF的面積-(扇形BOD的面積-△BOD的面積)=1義12x<3—60"義(2'’3)2—亙義(243)2=9右-2n.2 360 4【點睛】考查的是切線的判定，扇形面積計算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.8.如圖所示，AB是半圓O的直徑，AC是弦，點P沿BA方向，從點B運動到點A,速度為1cm/s,若AB=10cm，點O到AC的距離為4cm.(1)求弦AC的長；(2)問經(jīng)過多長時間后，△APC是等腰三角形.14【答案】(1)AC=6；(2)t=4或5或ys時，△APC是等腰三角形；【解析】【分析】(1)過O作ODLAC于D,根據(jù)勾股定理求得AD的長，再利用垂徑定理即可求得AC的長；(2)分AC=PC、AP=AC、AP=CP三種情況求t值即可.【詳解】(1)如圖1,過O作ODLAC于D,易知AO=5,OD=4,從而AD=....■,=3,「.AC=2AD=6；(2)設(shè)經(jīng)過t秒4APC是等腰三角形，則AP=10-t①如圖2,若AC=PC,過點C作CH±AB于H,圖2;NA=NA,NAHC=NODA=90°,「.△AHC-△ADO,_ _ rr_ 1ri-t.」.AC：AH=OA：AD,即AC：' =5：3,2解得t=1s,??經(jīng)過-.s后4APC是等腰三角形；②如圖3,若AP=AC,CA DPR圖3由PB=x,AB=10,得到AP=10-x,又「AC=6,則10-t=6,解得t=4s,??經(jīng)過4s后4APC是等腰三角形;③如圖4,若AP=CP,P與O重合，則AP=BP=5,??經(jīng)過5s后4APC是等腰三角形.，一一，，一_141 -—綜上可知當t=4或5或s時，△APC是等腰三角形.【點睛】本題是圓的綜合題，解決問題利用了垂徑定理，勾股定理等知識點，解題時要注意當△BPC是等腰三角形時，點P的位置有三種情況.9.已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的。O與邊AC、BC分別交于點D、E,過點D作DFLBC,垂足為F.(1)求證：DF為。O的切線；(2)若等邊三角形ABC的邊長為4,求圖中陰影部分的面積.【答案】（1）見解析（2）九3—生2 3【解析】試題分析：（1）連接DO,要證明DF為OO的切線只要證明NFDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；再連接OE,求得CF,EF的長，從而利用S直角梯形fdoe-S扇形oed求得陰影部分的面積?試題解析：（1）證明：連接DO.「△ABC是等邊三角形，「.NA=NC=60°.;OA=OD,??.△OAD是等邊三角形.「.NADO=60°,;DF±BC,「.NCDF=90°-NC=30°,「.NFDO=180°-NADO-NCDF=90°,「?DF為OO的切線；(2):△OAD是等邊三角形，AD=AO=—AB=2.2「.CD=AC-AD=2.RtACDF中，丁NCDF=30°，CF」CD=1.2?二DF=.I-，--連接OE，則CE=2.「.CF=1，「.EF=1.?a 1,c、用一S直角梯形FDOE=...(EF+OD)-DF=..，

「?S扇形oed360「?S扇形oed3602”=:'S陰影=S直角梯形FDOES扇形OED【點睛】此題考查學(xué)生對切線的判定及扇形的面積等知識點的掌握情況，當已知條件中明確指出直線與圓有