孫會元固體物理基礎(chǔ)第四章晶格振動和晶體的熱性質(zhì)47非簡諧效應(yīng)課件

4.7非簡諧效應(yīng)一、晶體的熱傳導(dǎo)本節(jié)主要內(nèi)容:二、晶體的熱膨脹4.7非簡諧效應(yīng)

在簡諧近似的情況下，晶格原子振動可描述為3N個線性獨立的諧振子的迭加，各振子間不發(fā)生作用，也不交換能量；晶體中某種聲子一旦產(chǎn)生，其數(shù)目就一直保持不變，既不能把能量傳遞給其他聲子，也不能使自己處于熱平衡狀態(tài)。也就是說,在簡諧晶體中,聲子態(tài)是定態(tài),攜帶熱流的聲子分布一旦建立,將不隨時間變化(表明弛豫時間為無窮大),這意味著無限大的熱導(dǎo)率.所以，用簡諧近似理論不能解釋晶體的熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。實際上，原子間的相互作用力(恢復(fù)力)并非嚴(yán)格地與原子的位移成正比。當(dāng)在晶體的勢能展開式中，考慮3次方及其以上的高次項時，則晶格振動就不能描述為一系列嚴(yán)格線性獨立的諧振子.通常把3次方及其以上的高次項稱為非簡諧項。如果原子的位移相當(dāng)小，則非簡諧項和簡諧項(2次方項)相比為一小量，則可把非簡諧項看成微擾項。一、

晶體的熱傳導(dǎo)1.

N過程和U過程把聲子看成準(zhǔn)粒子后，非簡諧項的微擾作用，可導(dǎo)致聲子態(tài)之間的躍遷。這種聲子態(tài)之間的躍遷常稱為聲子-聲子相互作用，或聲子之間的碰撞或散射。聲子間的相互作用遵循能量守恒和準(zhǔn)動量守恒。非簡諧作用中的勢能三次方項對應(yīng)于三聲子過程，如兩個聲子碰撞產(chǎn)生另一個聲子或一個聲子劈裂成兩個聲子；非簡諧作用中的勢能四次方項對應(yīng)于四聲子過程。三聲子過程(勢能展開取到3次方項)

四聲子過程

(勢能展開取到4次方項)

兩個聲子通過非簡諧項的作用,產(chǎn)生了第三個聲子,這可以看成是兩個聲子碰撞之后變成了第三個聲子.聲子的這種相互作用可以理解為:一個聲子的存在將在晶體中引起周期性的彈性應(yīng)變,由于非簡諧項的影響,晶體的彈性模量不是常數(shù),而受到彈性應(yīng)變的調(diào)制.由于彈性模量的變化，將使第二個聲子受到散射而產(chǎn)生第三個聲子。該過程遵循能量守恒和準(zhǔn)動量守恒。設(shè)兩個相互碰撞的聲子的頻率和波矢分別為1、q1和2、q2；而第三個聲子的頻率和波矢為3、q3，對于該三聲子過程，則有:兩個聲子的碰撞過程也可以滿足稱為倒逆過程(Umldappprocess)或U過程，也叫反轉(zhuǎn)過程。顯然對于三聲子碰撞過程來說，N過程意味著波矢q1+q2=q3始終在第一布里淵區(qū)內(nèi)，且方向大致相同，因而不改變熱流的基本方向.而U過程則要求波矢q1+q2在第一布里淵區(qū)以外，導(dǎo)致q3幾乎與q1+q2方向相反.

N過程U過程反常過程可以認(rèn)為是碰撞的同時發(fā)生了布拉格反射的結(jié)果，它是產(chǎn)生熱阻的一個重要機制。2.晶格的熱傳導(dǎo)和熱導(dǎo)率我們在第一章已經(jīng)討論過金屬的熱傳導(dǎo)，金屬主要是自由電子氣體對熱能的輸運。對于晶格而言，我們可以認(rèn)為晶格中存在大量的聲子氣體，聲子是熱能的攜帶者。聲子屬于波色子，滿足波色統(tǒng)計，即顯然溫度高的地方，聲子數(shù)目就多；溫度低的地方，聲子數(shù)目就少。從而由于溫度梯度的存在，將導(dǎo)致聲子從高溫向低溫的擴散，形成熱流。這是熱傳導(dǎo)的準(zhǔn)經(jīng)典解釋。

類似于第一章，晶格的熱導(dǎo)率滿足聲子數(shù)目可由波色統(tǒng)計給出。高溫時，聲子數(shù)目滿足

:所以,高溫時,聲子數(shù)目與溫度成正比,從而導(dǎo)致聲子的平均自由程隨溫度升高而變小,即

T-1。我們知道在高溫時,也就是溫度遠高于德拜溫度時,晶格比熱容CV是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)。

因此T>>ΘD時，晶格的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而變小，滿足

T-1。

所以，聲子數(shù)目隨溫度的升高成指數(shù)規(guī)律變小，從而導(dǎo)致聲子的平均自由程隨溫度升高而成指數(shù)規(guī)律變大，即

eA/T。低溫下，T<<ΘD時，聲子數(shù)目滿足此外，T<<ΘD時，晶格比熱容CV滿足德拜三次方定律，即CVT3。所以，T<<ΘD時，晶格熱導(dǎo)率滿足

T3eA/T。顯然T→0時，聲子的平均自由程→∞，從而導(dǎo)致晶格熱導(dǎo)率→∞。

對于完整的晶體，即不存在雜質(zhì)和缺陷的晶體，則聲子的平均自由程等于晶體的線度D，是一個常數(shù)。實際上熱導(dǎo)系數(shù)并不會趨向無窮大，因為在實際晶體中存在雜質(zhì)和缺陷，聲子的平均自由程不會非常大。

所以T<<ΘD時，對于線度為D的完整晶體，其熱導(dǎo)率主要依賴于晶格的比熱容，亦即，熱導(dǎo)率

T3。熱膨脹：在不施加壓力的情況下，晶體體積隨溫度變化的現(xiàn)象稱為熱膨脹。假設(shè)有兩個原子，一個在原點固定不動，另一個在平衡位置R0附近作振動，離開平衡位置的位移用表示，勢能在平衡位置附近展開：01.物理圖象R0R0二、晶體的熱膨脹（1）簡諧近似

RU(r)R0簡諧近似下，溫度升高，導(dǎo)致振幅變大，但位移的平均值為零，所以兩原子間距不變，無熱膨脹現(xiàn)象。展開式中取前兩項：（2）非簡諧效應(yīng)展開式中取前三項：非簡諧近似下，溫度升高，導(dǎo)致振幅變大，位移的平均值不再為零，兩原子間距增大，有熱膨脹現(xiàn)象。晶格自由能F1=Uequ(V),F2由統(tǒng)計物理知道：Z是晶格振動的配分函數(shù)。頻率為s的格波，配分函數(shù)為：由晶格振動決定的內(nèi)能T=0時晶格的內(nèi)能若能求出晶格振動的配分函數(shù),即可求得熱振動自由能。按照自由能的定義,晶格自由能可表示如下：忽略晶格之間的相互作用能,總配分函數(shù)為：對于簡諧晶體,與體積無關(guān);對于非簡諧晶體,由于非線性振動,格波頻率s也是宏觀量V的函數(shù).采用準(zhǔn)簡諧近似,亦即體系能量仍由簡諧近似給出,但隨體積變化,代表非簡諧效應(yīng),所以:為晶格振動總能量。對于大多數(shù)固體,體積的變化不大,因此可將在晶體的平