控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五25.1穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。這些因素總是存在的，如果系統(tǒng)設(shè)計時不考慮這些因素，設(shè)計出來的系統(tǒng)不穩(wěn)定，那這樣的系統(tǒng)是不成功的，需要重新設(shè)計，或調(diào)整某些參數(shù)或結(jié)構(gòu)。

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件，控制系統(tǒng)在實際應用中應用的首要前提就是系統(tǒng)必須穩(wěn)定，對系統(tǒng)進行各類品質(zhì)指標的分析也必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行。第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五3

如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務之一。穩(wěn)定的基本概念：

系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五4在外界干擾的作用下，擺由原來的平衡點M偏到新的位置b。當外力去掉后，顯然擺在重力的作用下，將圍繞點M反復震蕩，經(jīng)過一定時間，當擺因受空氣阻尼使其能量耗盡后，擺又停留在平衡點M。象這樣的平衡點M就成為穩(wěn)定的平衡點。對于一個倒擺，一旦離開了平衡點d，即使外力消失，無論經(jīng)過多少時間，擺也不會回到平衡點d上來，對于這樣的平衡點d，成為不穩(wěn)定平衡點。第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五5

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)。有關(guān)穩(wěn)定性的定義和理論較多。設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：式中：x(t)—輸入，y(t)—輸出為常系數(shù)。將上式求拉氏變換，得(初始值不全為零）5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五6+系數(shù)取決于初始條件的多項式

第二項為零輸入解，對應于由初始狀態(tài)引起的響應過程。這項相當于系統(tǒng)齊次微分方程的解。

上式右邊第一項為零狀態(tài)解，對應與由輸入引起的響應過程。第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五7

前面討論的當外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)可看作第二項經(jīng)過足夠長的時間變?yōu)榱?。令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有個實數(shù)極點和對復數(shù)極點，則上式可改寫為:第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五8

系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復根?；蛘哒f，特征方程的根應全部位于s平面的左半部。

如果特征方程中有一對實部為正的共軛復根，它的對應項是發(fā)散的周期振蕩；如果特征方程中有一個正實根，它所對應的指數(shù)項將隨時間單調(diào)增長；上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五9

如果特征方程中有一個零根，它所對應于一個常數(shù)項，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)；如果特征方程中有一對共軛虛根，對應于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。從控制工程的角度認為隨遇平衡狀態(tài)和臨界穩(wěn)定狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。

穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點有關(guān)，與零點無關(guān)。

注意：

穩(wěn)定系統(tǒng)的極點分布圖：第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五10穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面S平面的左半部是穩(wěn)定區(qū)第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五11對于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)，

只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定（負實根或?qū)嵅繛樨摚?/p>

對于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。

各階系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五125.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)5.3.1勞斯穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的各項系數(shù)都不等于零；特征方程的各項系數(shù)的符號都相同；

此兩項為必要條件。由特征方程系數(shù)組成的勞斯陣的第一列的所有項均為正。第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五13勞斯陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，…項系數(shù)組成，第二行為2，4，6，…項系數(shù)組成。勞斯陣的組成第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五14這樣可求得n+1行系數(shù)第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五15

這種過程需一直進行到第n行被算完為止，系數(shù)的完整陣列呈現(xiàn)一個倒三角形。

為簡化計算，可用一個正整數(shù)去除或乘某一整個行，并不改變穩(wěn)定性結(jié)論。注意：第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五16勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號的變化，去判別特征方程式根在S平面上的具體分布，過程如下：如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯穩(wěn)定判據(jù)第16頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五17【例5-1】：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為：

均大于零且第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五18

已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為【例5-2】試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五19勞斯判據(jù)特殊情況之一

勞斯陣某一行第一項系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零

[處理辦法]：用很小的正數(shù)代替零的那一項，然后據(jù)此計算出勞斯陣列中的其他項。若第一次零（即）與其上項或下項的符號相反，計作一次符號變化。第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五20【例5-3】：令則故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。列勞斯表

已知一系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五21勞斯判據(jù)特殊情況之二勞斯表中出現(xiàn)全零行

則表示相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。例如，一個控制系統(tǒng)的特征方程為：第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五22列勞斯表由上表可知，第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。令F(s)=0，求得兩對大小相等、符號相反的根顯然這個系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)?！纠?-4】：第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五235.3.2勞斯判據(jù)的應用

穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。也即也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動態(tài)性能。換句話說，勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對于虛軸的距離。但能判斷是否所有特征根都落在虛軸的左半平面.若用S=Z-1帶入特征方程中,求出的根的實部即為特征根距S=-1垂線的距離.可判斷穩(wěn)定程度.用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。例5-5第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五24解：列勞斯表第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程：式中有負號，顯然有根在的右方。列勞斯表：第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五255.3.3赫爾維茨（Hurwitz)穩(wěn)定性判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用赫爾維茨判據(jù)赫爾維茨行列式為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要必要條件是：主行列式及其對角線上的各子行列式均有正值。即：第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五26有時稱為赫爾維茨行列式。由于這個行列式直接由系數(shù)排列而成，規(guī)律簡單而明確，使用也比較方便。但對六階以上的系統(tǒng)，由于行列式計算麻煩，較少應用?！纠?-6】：設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程為：，試用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：首先，由方程系數(shù)均為正可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。各系數(shù)排列成如下的行列式：第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五27由于：故系統(tǒng)穩(wěn)定。

勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)都是利用特征根與系數(shù)的關(guān)系來判別穩(wěn)定性的，它們之間有一致性，所以有時侯，稱為勞斯-赫爾維茨判據(jù)。又由于它們的判別式均為代數(shù)式，故又稱這些判據(jù)為代數(shù)判據(jù)。勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)對于帶延遲環(huán)節(jié)等系統(tǒng)形成的超越方程式無能為力，這是代數(shù)判據(jù)的局限性，而下面介紹的乃魁斯特穩(wěn)定性判據(jù)能夠判別帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應用更為廣泛。第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五285.3.4勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應用

判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例5-7]系統(tǒng)的特征方程為：，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：排列勞斯陣如下：因為，，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五29[例5-8]系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個極點并畫出極點分布圖。[解]：勞斯陣如下

行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得其導數(shù)為：將4,48或1,12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：

因為行全為零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：

由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五30設(shè)剩余的一個根為-p。則：，整理得：比較系數(shù)得：-p=-2極點分布如下：注意：勞斯判據(jù)實際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半閉平面還是在右半開平面。對于虛軸上的根要用輔助方程求出。若代數(shù)方程有對稱于虛軸的實根或共軛復根，則一定在勞斯表的第一列有變號，并可由輔助方程求出。第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五31

主要內(nèi)容幅角定理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)的應用在伯德圖或尼柯爾斯圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。它從代數(shù)判據(jù)脫穎而出，故可以說是一種幾何判據(jù)。

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是(H.Nyquist)于1932年提出，于1940年后得到廣泛應用。5.4奈魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定性判據(jù)第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五32

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)無需求取閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，而是利用曲線，進而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在工程上獲得了廣泛的應用：

1）系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)無法用分析法列寫時，可用實驗方法獲得這些環(huán)節(jié)的頻率特性；整個系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性也可用實驗獲得，這樣就可分析閉環(huán)后的穩(wěn)定性。

2）奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備，即系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性以及進一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能指標的途徑。第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五33奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(NyquistStabilityCriterion)原理圖5-4-1閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)傳遞函數(shù)為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。雖然開環(huán)傳遞函數(shù)的極點或零點可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五34奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應與閉環(huán)特征方程在右半s平面內(nèi)極點數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)，這種方法無須求出閉環(huán)極點，從而得到廣泛應用。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復變函數(shù)理論中的圖形映射基礎(chǔ)上的。第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五355.4.1預備知識可以證明，對于S平面上給定的一條不通過任何一個奇點的連續(xù)封閉曲線，在平面上必存在一條封閉曲線與之對應。平面上的原點被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍原點的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。例如：考慮下列開環(huán)傳遞函數(shù)：第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五36其特征方程為：函數(shù)在s平面內(nèi)除了奇點外處處解析。對于s平面上的每一個解析點，平面上必有一點與之對應，則為：這樣，對于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過任何奇點，在平面上就必有一個封閉曲線與之對應。例如第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五37圖5-4-2s平面上的圖形在平面上的映射上半s平面內(nèi)的直線和在平面上的變換

第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五38001）當s平面上的圖形包圍兩個的極點時，-1和-2的軌跡將反時針方向包圍平面上原點兩次第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五39002）s平面上的圖形包圍包圍一個零點，相應的的軌跡將順時針包圍原點一次，

3）封閉曲線既不包圍零點又不包圍極點，的軌跡將永遠不會包圍平面上的原點

第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五40ABFEDCA1B1F1E1D1C14）當s平面上的圖形包圍的兩個極點和兩個零點，的軌跡將不包圍原點。

相應的第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五415）如果在s平面上曲線包圍k個零點和k個極點相應的封閉曲線不包圍

上述討論是映射定理的圖解說明，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是建立在映射定理的基礎(chǔ)上。(k=0,1,2…)，即包圍的零點數(shù)與極點數(shù)相同，則在平面上，平面上，的原點。第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五425.4.2映射定理設(shè)為兩個s的多項式之比，并設(shè)P為

的極點數(shù)，的零點數(shù)，它們位于s平面上的某一封閉曲線內(nèi)，的任何極點和零點。于是，s平面上的這一平面上，也是一條封閉曲線。平面上，相應的軌跡順時針包圍原點的總次數(shù)R等于Z-P。且有多重極點和多重零點的情況。設(shè)上述封閉曲線不在Z為封閉曲線映射到通過當變量s順時針通過封閉曲線時第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五43若R為正數(shù)，表示的零點數(shù)超過了極點數(shù)；的極點數(shù)超過了零點數(shù)。若R為負數(shù)，表示開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系：開環(huán)傳遞函數(shù)的含義：第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五44很容易確定的極點數(shù)（P）。因此，如果，的軌跡圖中確定了R，則s平面上封閉曲線內(nèi)的零點數(shù)在控制系統(tǒng)應用中，由很容易確定。而

零點正是閉環(huán)系統(tǒng)的極點。閉環(huán)傳遞函數(shù)第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五455.4.3影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應用

為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個右半s平面。這時的封閉曲線由整個軸到

該封閉曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向為順時針方向)。因為奈奎斯特軌跡包圍了整個右半s平面，所以它包圍了)和右半s平面上半徑為無窮大的的所有正實部的極點和零點。(從半圓軌跡構(gòu)成。第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五46對原點的包圍情況可用

對-1+j0包圍情況同樣說明。說明：則在右半s平面不存在閉環(huán)極點，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果在右半s平面不存在零點，第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五47圖5-4-3s平面內(nèi)的封閉曲線曲線對原點的包圍，恰等于軌跡對-1+j0點的包圍第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五48這一判據(jù)可表示為：函數(shù)在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)對-1+j0點順時針包圍的次數(shù)函數(shù)如果P不等于零，對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須或，這意味著必須反時針方向包圍-1+j0點P次。5.4.4關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點說明式中在右半s平面內(nèi)的極點數(shù)如果函數(shù)在右半s平面內(nèi)無任何極點，則因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，的軌跡必須不包圍-1+j0點。第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五495.4.5含有位于原點上極點和/或零點的特殊情況變量沿著軸從運動到，從到，變量沿著半徑為）的半圓運動，再沿著正軸從運動到（運動時，最后順時針沿無窮大半圓運動。第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五50對于包含因子的開環(huán)傳遞函數(shù)，當變量s沿半徑為()的半圓運動時，的圖形中將有個半徑為無窮大的順時針方向的半圓環(huán)繞原點。當s平面上的時，的相角例如，考慮開環(huán)傳遞函數(shù)：第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五51例5-3設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的軌跡如圖5-41所示。在右半s平面內(nèi)沒有任何極點，即P=0，并且的軌跡不包圍，所以對于任何的K值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。Z=R+P=0+0=0，即R=0第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五52例5-3中的極坐標圖

第52頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五53例5-4設(shè)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定以下兩種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大。小K值時系統(tǒng)是穩(wěn)定的

大K值時是不穩(wěn)定的

第53頁，共60頁，2023年，2月20日，星期五54例5-5設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于和相對大小。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

的軌跡不包圍系統(tǒng)是穩(wěn)定