2022-2023學年蘇教版（2019）必修第一冊 5.3函數(shù)的單調(diào)性 課件（38張）

第5章5.3函數(shù)的單調(diào)性學習目標1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最值及其幾何意義，能判斷或證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性.2.掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.3.學會應用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性.核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算

新知學習

2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性.增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.【解讀】（1）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在一個單調(diào)區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，具有任意性，不能用特殊值代替.（2）有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的；有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)；有些函數(shù)是非單調(diào)函數(shù)（常數(shù)函數(shù)）.（3）函數(shù)的單調(diào)性只能在定義域內(nèi)討論，因此求單調(diào)區(qū)間必須先求定義域.（4）如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開.示例

（1）下列說法正確的是（）A.定義在（a，b）上的函數(shù)f（x），若存在x1，x2∈（a，b），且x1<x2，滿足f（x1）<f（x2），則f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增 B.定義在（a，b）上的函數(shù)f（x），若有無窮多對x1，x2∈（a，b），使得x1<x2時，有f（x1）<f（x2），則f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增C.若f（x）在區(qū)間I1上單調(diào)遞增，在區(qū)間I2上也單調(diào)遞增，那么f（x）在I1∪I2上也一定單調(diào)遞增D.若f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增且f（x1）<f（x2）（x1，x2∈I），則x1<x2（2）如圖是定義在區(qū)間［-5，5］上的函數(shù)y＝f（x）的圖象，函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

.（3）函數(shù)f（x）＝|x-2|x的單調(diào)減區(qū)間是

.D［-2，1），［3，5］［1，2］

二、函數(shù)的最大（?。┲?.函數(shù)的最大（?。┲翟O(shè)y＝f（x）的定義域為A.如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f（x）≤f（x0），那么稱f（x0）為y＝f（x）的最大值，

記為ymax＝f（x0）；如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x0），那么稱f（x0）為y＝f（x）的最小值，

記為ymin＝f（x0）.【解讀】（1）最大（?。┲当仨毷且粋€函數(shù)值，是值域中的一個元素，如函數(shù)y＝x2（x∈R）的最小值是0，有f（0）＝0.（2）最大（?。┲刀x中的“任意”是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內(nèi)的全部元素，都有f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0））成立，也就是說，函數(shù)y＝f（x）的圖象不能位于直線y＝f（x0）的上（下）方.（3）最大（?。┲刀x中的“存在”是說定義域中至少有一個實數(shù)使等號成立，也就是說y＝f（x）的圖象與直線y＝f（x0）至少有一個交點.

DB2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值初探二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值和最小值，通常借助于二次函數(shù)在該區(qū)間上的簡圖，根據(jù)二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，求出其最大值和最小值.【解】（1）當a<0時，由圖可知，f（x）在區(qū)間［0，2］上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（0）＝-1，f（x）max＝f（2）＝3-4a.示例

求f（x）＝x2-2ax-1在區(qū)間［0，2］上的最大值f（x）max和最小值f（x）min.（2）當0≤a≤1時，由圖可知，對稱軸在區(qū)間［0，1］內(nèi)，f（x）在［0，a］上單調(diào)遞減，在［a，2］上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（2）＝3-4a.（3）當1<a≤2時，由圖可知，對稱軸在區(qū)間（1，2］內(nèi)，f（x）在［0，a］上單調(diào)遞減，在［a，2］上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.（4）當a>2時，由圖可知，f（x）在［0，2］上單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.

f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減（6）當f（x），g（x）都是增（減）函數(shù)時，若兩者都恒大于零，則f（x）g（x）也是增（減）函數(shù)；若兩者都恒小于零，則f（x）g（x）是減（增）函數(shù).（5）在f（x），g（x）的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：

［1，+∞）

典例剖析

【方法總結(jié)】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2.（2）作差變形：作差f（x1）-f（x2），并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負的式子.（3）定號：確定f（x1）-f（x2）的符號.（4）結(jié)論：根據(jù)f（x1）-f（x2）的符號及定義判斷單調(diào)性.

【方法總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性的定義，按照“取值——作差（商）——變形——定號——結(jié)論”的步驟探究函數(shù)的單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間，這是一種常用的方法，需要熟練掌握，在解題過程中一定要注意所給函數(shù)的定義域，如果題目中沒有給出，那么要先求出函數(shù)的定義域.例?3

函數(shù)y＝f（x）對于任意x，y∈R，有f（x+y）＝f（x）+f（y）-1，當x>0時，f（x）>1，且f（3）＝4，則（）A.f（x）在R上是減函數(shù)，且f（1）＝3

B.f（x）在R上是增函數(shù)，且f（1）＝3C.f（x）在R上是減函數(shù)，且f（1）＝2

D.f（x）在R上是增函數(shù)，且f（1）＝2

D

例?4畫出函數(shù)y＝-x2+2|x|+1的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【方法總結(jié)】先化簡函數(shù)解析式，然后畫出它的草圖，最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置、狀態(tài)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注意：當單調(diào)性相同的區(qū)間多于一個時，用“和”字或“逗號”連接，不能用“∪”連接.

u＝y(tǒng)＝（u-1）2y＝x∈（-∞，0），減u∈（-∞，0），減x∈（-∞，0），增x∈（0，1］，減u∈［1，+∞），增x∈（0，1］，減x∈［1，+∞），減u∈（0，1］，減x∈［1，+∞），增【方法總結(jié)】求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先搞清楚復合的內(nèi)外兩層函數(shù)，并求出定義域，再考慮內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性，利用相應區(qū)間上“同增異減”的法則，寫出定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間.

【方法總結(jié)】運用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法，特別是當函數(shù)圖象不易作出時，單調(diào)性幾乎成為首選方法.先求出函數(shù)的定義域，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求出最值.

例7

用min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的最小值.設(shè)f（x）＝min{x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為

.6【方法總結(jié)】利用圖象求函數(shù)最值的步驟（1）畫出函數(shù)y＝f（x）的圖象；（2）觀察圖象，找出圖象的最高點和最低點；（3）寫出最值，最高點的縱坐標是函數(shù)的最大值，最低點的縱坐標是函數(shù)的最小值.

BCD

三、函數(shù)單調(diào)性的應用例9

設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+（x-1）|x-a|+3（a∈R）.（1）當a＝0時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.【方法總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩種思路1.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).2.借助常見函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等）的單調(diào)性求解.【解析】

函數(shù)f（x）的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝-1，函數(shù)在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增.由于x1<x2，x1+x2＝0，即x1<0<x2，且|x1|＝|x2|，故x2到對稱軸的距離比x1到對稱軸的距離要遠，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可知f（x1）<f（x2）.例10

已知函數(shù)f（x）＝ax2+2ax+4（0<a<3），若x1<x2，x1+x2＝0，則（

）A.f（x1）<f（x2）

B.f（x1）>f（x2）C.f（x1）＝f（x2）

D.f（x1）與f（x2）大小關(guān)系不確定A【方法總結(jié)】利用單調(diào)性比較大小的方法或解不等式的方法（1）利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決比較函數(shù)值大小的問題時，要注意將對應的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上.（2）相關(guān)結(jié)論.①正向結(jié)論：若y＝f（x）在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當x1<x2時，f（x1）<f（x2）；當x1>x2時，

f（x1）>f（x2）.②逆向結(jié)論：若y＝f（x）在給定區(qū)間上