悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題

悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題第1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四章節(jié)目錄§1悖論的定義和起源§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)§3策莫洛對(duì)悖論的解決方案§4羅素對(duì)悖論的解決方案§5塔斯基及其語(yǔ)義學(xué)§6哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ砼c悖論§7悖論的成因與研究悖論的重要意義第2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源第3頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

悖論分為三種主要形式1．一種論斷看起來(lái)好像肯定錯(cuò)了，但實(shí)際上卻是對(duì)的（佯謬）。2．一種論斷看起來(lái)好像肯定是對(duì)的，但實(shí)際上卻錯(cuò)了（似是而非的理論）。3．一系列推理看起來(lái)好像無(wú)法打破，可是卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾。悖論的類(lèi)型邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計(jì)悖論和時(shí)間悖論等§1悖論的定義和起源第4頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源一、關(guān)于悖論的定義當(dāng)前流行的說(shuō)法

悖論是一種導(dǎo)致邏輯矛盾的命題。這種命題，如果承認(rèn)它是真的，那么它又是假的，如果承認(rèn)它是假的，那么它又是真的。

悖論是是指這樣一個(gè)命題A，由A出發(fā)，可以找到一語(yǔ)句B，若假定B真，就可推得?B真，即B假。反之亦然。一個(gè)命題構(gòu)成一個(gè)悖論，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假可以推出它的真。第5頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源當(dāng)前流行的說(shuō)法的缺陷：孤立地用肯定等價(jià)于否定來(lái)作為悖論的定義不夠合理全面。1、任何一個(gè)悖論在實(shí)質(zhì)上都相對(duì)地被包含在某個(gè)理論體系中。2、并非每個(gè)悖論都要陳述為一個(gè)命題或某一語(yǔ)句的形式，有的悖論往往要由一個(gè)推演過(guò)程來(lái)呈現(xiàn)。3、從一些著名悖論的呈現(xiàn)形式來(lái)看，人們并不習(xí)慣于要求把每個(gè)悖論都劃歸為肯定等價(jià)于否定的形式，也可用某一系統(tǒng)中

并存的兩個(gè)互相矛盾的命題來(lái)表示一個(gè)悖論。第6頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那么我們就說(shuō)這個(gè)理論包含了一個(gè)悖論。因此，我們主張采用A.A.Fraenkel與Y.Bar-Hillel的說(shuō)法：這樣看來(lái)，當(dāng)前流行的那種定義，就只是抽取了Fraenkel陳述中的后半段作為悖論的定義，這顯然是不夠合理而全面的。第7頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源二、關(guān)于悖論的起源1、關(guān)于悖論的起源，可以追溯到古希臘和我國(guó)先秦哲學(xué)時(shí)代，但在那時(shí)及其往后的一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期中，悖論往往指那些推理過(guò)程看上去合理的，但推理的結(jié)果卻又違背客觀實(shí)際，例如著名的芝諾悖論便屬于這一類(lèi)悖論。芝諾是希臘愛(ài)利亞學(xué)派的一個(gè)代表人物，可以說(shuō)是第一個(gè)提出悖論的人。如：阿喀流斯和烏龜：假設(shè)阿喀流斯和烏龜賽跑，烏龜在阿的前面一段距離開(kāi)始起跑，所以阿必須先跑到烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)，而這時(shí)烏龜又向前進(jìn)了一段距離，如此，雖然阿的速度快于烏龜，阿越追越近，但總也追不上烏龜。第8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源2、在歷史上，還有另一種與之相反的情形而稱之為悖論的，那就是由于新概念的引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，這也一時(shí)稱為悖論的發(fā)現(xiàn)。例如，歷史上的Galilei悖論便屬于這一類(lèi)悖論。Galilei對(duì)平方數(shù)與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)的發(fā)現(xiàn)矛盾于全體大于部分的原則，這就不是Galilie的發(fā)現(xiàn)在推理上的問(wèn)題，而是由于全體大于部分的直觀原則是從有限數(shù)量的事物關(guān)系中抽象出來(lái)的，自然就不適用于無(wú)限集合的情形了。第9頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源3、在歷史上，與今天所講悖論的含義較為接近并可看作悖論之直接起源的是這樣一件事，公元前六世紀(jì)，哲學(xué)家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides)：“所有克利特人都說(shuō)謊。”這就是撒謊者悖論的來(lái)源。第10頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源

后來(lái)，人們順著Epimenides的原始命題，終于構(gòu)造出了等價(jià)于上述命題的強(qiáng)化了的撒謊者悖論，即“永恒性撒謊者悖論”，陳訴如下：<在本頁(yè)本行里所寫(xiě)的那句話是謊話>強(qiáng)化了的撒謊者悖論

癥結(jié)：作論斷的話與被論斷的話混而為一，既當(dāng)否定者自身被包括在被否定的對(duì)象中時(shí)，則否定者必然走向它的反面。所以這個(gè)悖論的排除在于語(yǔ)義的分層，這正是近代語(yǔ)義學(xué)產(chǎn)生發(fā)展的原因，也正是語(yǔ)義學(xué)所研究的重要內(nèi)容。一個(gè)克里特人說(shuō)：“我現(xiàn)在說(shuō)的是一句假話，所有的克里特人都說(shuō)謊?！钡?1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)第12頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)第一次危機(jī)公元前五世紀(jì)，一個(gè)希臘人，Pythagoras學(xué)派的希帕索斯，發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，從而導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)。背景：從自然數(shù)概念脫胎而形成有理數(shù)概念的早期階段。影響：促使人們從依靠自覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，導(dǎo)致了公理幾何學(xué)與邏輯學(xué)的誕生。第13頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)第二次危機(jī)數(shù)學(xué)史上把18世紀(jì)微積分誕生以來(lái)在數(shù)學(xué)界出現(xiàn)的混亂局面稱為數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)。背景：微積分的廣泛應(yīng)用與理論基礎(chǔ)不牢固的矛盾

Berkeley大主教對(duì)牛頓微積分理論的攻擊，史上稱為“Berkeley悖論”。影響：柯西、Dedekind、康托與外爾斯特拉斯都加入了為微積分理論尋找牢固基礎(chǔ)的工作，發(fā)展了極限理論。第14頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)第三次危機(jī)在今天，人們恰當(dāng)?shù)匕鸭香Ｕ摰某霈F(xiàn)及其引起的爭(zhēng)論局面稱之為數(shù)學(xué)的第三次危機(jī)。背景：建立嚴(yán)格的分析理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而建立的實(shí)數(shù)理論又必須以集合論為基礎(chǔ)，而集合論的誕生與發(fā)展卻又偏偏出現(xiàn)一系列的悖論，從而構(gòu)成了更大的危機(jī)。影響：極大地刺激了當(dāng)時(shí)的集合不矛盾性的“樂(lè)觀局面”，對(duì)集合論的進(jìn)步具有重大的意義。第15頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)第三次危機(jī)舉例?Burali-Forti（布拉里福蒂）悖論——在超窮序數(shù)理論中發(fā)現(xiàn)了第一悖論“最大序數(shù)悖論”?康托悖論

——其來(lái)源康托定理是集合論最早也是最重要的定理之一?羅素悖論——在古典集合論里可劃歸為最基本邏輯概念的形式，而且能用日常語(yǔ)言來(lái)表述其基本原則，如著名的“理發(fā)師悖論”第16頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)Burali-Forti（布拉里福蒂）悖論第三次危機(jī)舉例一定理1任何一個(gè)良序集A不能與A的任何截段相似。定理2凡由序數(shù)所組成的集，按其大小為序排列時(shí)，必為一良序集。定理3一切小于序數(shù)a的序數(shù)所組成良序集的序數(shù)就是序數(shù)a，即。如所知，在超限數(shù)論中有如下的一些定理：現(xiàn)將一切序數(shù)匯集在一起組成一集，可推出其并不同時(shí)滿足于以上三條定理，這就是Burali-Forti悖論。第17頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)在古典集合論中有所謂的康托定理第三次危機(jī)舉例二任何集合M的基數(shù)小于冪集P(M)的基數(shù)。其中所謂冪集，就是任給一集M，由M的一切子集所組成的集合稱為M的冪集，并記為P(M)。現(xiàn)假設(shè)存在一切集合所組成的集合u，由康托定理推出矛盾，這就是康托悖論。第18頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)包含在古典集合論中的羅素悖論第三次危機(jī)舉例三集合可分為兩種：本身分子集，如：一切集合所組成的集合是它自身的一個(gè)元素；非本身分子集，如：自然數(shù)集合N絕不是某個(gè)自然數(shù)n。

這樣，任給一集M，它不是本身分子集就是非本身分子集，不應(yīng)有其它例外?，F(xiàn)考慮一切非本身分子集的集，試問(wèn)是哪一種集合？羅素悖論改寫(xiě)——著名的“理發(fā)師悖論”

理發(fā)師：“給而且只給村子里自己不給自己刮胡子的人刮胡子?！钡?9頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)隨著悖論的出現(xiàn)和研究，推動(dòng)了人們從邏輯和哲學(xué)的角度深入研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的問(wèn)題，并取得了積極的成果。集合論的矛盾，曾一度引起人們摒棄集合論的想法，但終究不切實(shí)際。所以大家開(kāi)始致力于集合論的改造。改造的方案主要有二：一、羅素的類(lèi)型論；二、策莫洛（E.Zermelo）的公理集合論。第20頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對(duì)悖論的解決方案第21頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對(duì)悖論的解決方案

思想來(lái)源羅素認(rèn)為，集合可以用兩種方式予以定義：外延性定義（枚舉式的定義）與內(nèi)涵式定義（指明性質(zhì)的定義）?；谶@一準(zhǔn)則，尋找解決集合悖論的辦法有兩條道路可走：量性限制理論（外延理論）和曲折理論（內(nèi)涵理論）。策莫洛和其他人所發(fā)展起來(lái)的公理集合論在涉及集合時(shí)可以看成是對(duì)量性限制理論這一思想的闡發(fā)，其最主要的特點(diǎn)是對(duì)于全集或無(wú)限制的關(guān)于某種現(xiàn)象的概念的存在性加以限制。第22頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對(duì)悖論的解決方案自從羅素悖論出現(xiàn)以后，策莫洛想借助于他所說(shuō)的劃分公理（或稱分出公理）來(lái)排除它。劃分公理設(shè)L為任一集合，是與L的變?cè)嘘P(guān)的一句話，則L中一切能使成真話的元素可組成一集合。顯然，，即為L(zhǎng)的一個(gè)子集。

根據(jù)劃分公理，可證下述定理為真。

定理任意一集L必有一子集不是L的元素。有了這條定理，即可證明羅素悖論陳述中的“一切非本身分子集的集”不是一個(gè)集合，但并不能承認(rèn)劃分公理可排除羅素悖論這一孤立的說(shuō)法，劃分公理的公理系統(tǒng)不容忽視。第23頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對(duì)悖論的解決方案產(chǎn)生羅素悖論的原因：概括原則造集的任意性與生成集合的客觀原則的非任意性之間的矛盾。后來(lái)，經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析，人們歸結(jié)到如下四件事不能同時(shí)成立，這就是：（1）是一個(gè)條件（含x的語(yǔ)句）。（2）任給一條件決定一集，即。（3）集合為個(gè)體之一，因而x處均可代以A。（4）為一矛盾。各家對(duì)悖論的排除：羅素從否定（1）出發(fā)，展開(kāi)他的類(lèi)型論。Zermelo-Fraenkel基于否定（2），構(gòu)造ZFC集合論公理系統(tǒng)。Bernays-G?del基于否定（3），形成BG集合論公理系統(tǒng)。?o?вар以否定（4）為起點(diǎn)發(fā)展他的多值邏輯。第24頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對(duì)悖論的解決方案

策莫洛首先構(gòu)造公理系統(tǒng)，在保留概括原則中之合理原則的前提下，對(duì)造集的任意性加以適當(dāng)?shù)南拗?，形成了一個(gè)包括劃分公理在內(nèi)的集合論公理系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)，只承認(rèn)按系統(tǒng)中公理所允許的限度內(nèi)構(gòu)造出來(lái)的集才是集合，凡是超出系統(tǒng)中公理所允許的限度而構(gòu)造出來(lái)的集是概不承認(rèn)的。在這個(gè)系統(tǒng)中能把康托悖論、Burali-Forti悖論以及羅素悖論等已出現(xiàn)的邏輯、數(shù)學(xué)悖論予以排除。這樣在策莫洛于1908年建立了他的集合論公理系統(tǒng)后，F(xiàn)raenkel與Skolem在1921~1923年間給了一個(gè)嚴(yán)格的解釋?zhuān)?duì)策莫洛公理系統(tǒng)作了改進(jìn)，形成了今天著名的ZF系統(tǒng)，加上選擇公理，便是熟知的ZFC系統(tǒng)。第25頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對(duì)悖論的解決方案ZFC集合論公理系統(tǒng)外延公理空集公理配對(duì)公理并集公理冪集公理子集公理無(wú)窮公理選擇公理代換公理正則公理第26頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案第27頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案

思想來(lái)源關(guān)于悖論的成因，龐卡萊曾在1905年、1906年、1908年多次指出，所有的悖論都與非直謂定義有關(guān)。所謂非直謂定義，就是被定義的對(duì)象被包括在借以定義它的各個(gè)對(duì)象中。例如：李家莊村上年紀(jì)最大的人H.定義總體的對(duì)象~李家莊村上的人.....H.....Df李家莊村上所有的人組成的總體GDf總體G中年紀(jì)最大的人H“被定義的對(duì)象H包括在借以定義H的總體G中”第28頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案（1）廣義非直謂凡是非直謂定義中的被定義對(duì)象，可用直謂定義法重新定義者，叫做廣義非直謂。例：李家莊村上年紀(jì)最大的人——李大娘的老伴（2）狹義非直謂

凡是非直謂定義中的被定義對(duì)象非借助于總體不可，亦即被定義的對(duì)象只能借助于這一總體才能定義。例：李家莊村上年紀(jì)最大的人——村外人尋此人（3）等價(jià)式的非直謂

凡是非直謂定義中的被定義對(duì)象僅借助于“總體本身就是什么”這樣的等價(jià)式刻畫(huà)來(lái)確定的，則稱為等價(jià)式的非直謂。例：一切集合的集合就是一個(gè)集合按非直謂定義構(gòu)成的具體過(guò)程，可作如下分類(lèi)：第29頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案鑒于對(duì)非直謂定義的分析，羅素進(jìn)一步明確了龐卡萊關(guān)于悖論成因的想法，即構(gòu)成悖論的深刻原因卻與非直謂定義法有關(guān)。為此，羅素明確提出如下的原則。惡性循環(huán)原則：沒(méi)有一個(gè)整體能包含一個(gè)只能借助于這個(gè)整體來(lái)定義的元素?；诘葍r(jià)式非直謂是俠義非直謂的一種特殊情況的考慮，羅素的惡性循環(huán)原則從集合的觀點(diǎn)出發(fā)隱含了下述一種思想規(guī)定：類(lèi)型混淆原則：任何一個(gè)集合絕不是它自身的一個(gè)元素。第30頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案作為類(lèi)的劃分的一個(gè)基本原則是，每一謂詞（性質(zhì)）都必須從屬于一個(gè)確定的類(lèi)。而且每一類(lèi)的性質(zhì)只有當(dāng)其使用于直次于它的那個(gè)類(lèi)的對(duì)象才是有意義的。屬于O類(lèi)中的對(duì)象的名稱第一類(lèi)：對(duì)象的性質(zhì)，如：a,b,c,...第二類(lèi)：性質(zhì)的性質(zhì)，如：f(a),g(b),...中的f,g,...第三類(lèi)：性質(zhì)的性質(zhì)的性質(zhì)，如：F(f),G(f),...中的F,G,...基于類(lèi)的劃分的基本原則，如f(a),G(f)...是有意義的，但F(a),f(f),a(b),...就是無(wú)意義的。第31頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案

羅素認(rèn)為，除掉對(duì)于性質(zhì)要作出類(lèi)的劃分之外，還要對(duì)于性質(zhì)的定義方法，再把同一類(lèi)中的性質(zhì)作出級(jí)的劃分，那些在定義方法中沒(méi)有涉及“所有的性質(zhì)”的性質(zhì)是第1級(jí)的，而那些在下定義時(shí)涉及第n級(jí)的“所有的性質(zhì)”的性質(zhì)是第n+1級(jí)的，...，如此，當(dāng)不具體指明所考慮的級(jí)，則凡涉及“所有的性質(zhì)”的表達(dá)式是無(wú)意義的。這樣，所有的性質(zhì)（謂詞）首先按對(duì)象的性質(zhì)，性質(zhì)的性質(zhì)，…加以分類(lèi)，再按類(lèi)中性質(zhì)的定義方法加以分級(jí)，因之，每一性質(zhì)都?xì)w屬于一定的類(lèi)和級(jí)，由于級(jí)是在類(lèi)內(nèi)劃分的，因此，羅素的這一理論就叫做分支類(lèi)型論。第32頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案類(lèi)與級(jí)的劃分的區(qū)分：類(lèi)的劃分：對(duì)集合對(duì)象的性質(zhì)而言的；級(jí)的劃分：對(duì)性質(zhì)的定義方法而言。惡性循環(huán)原則狹義非直謂定義法沖突類(lèi)型混淆原則等價(jià)式非直謂定義法沖突實(shí)際上，那些不涉及類(lèi)型混淆的非直謂定義法常常是不可缺少的。如果堅(jiān)持貫徹惡性循環(huán)原則，勢(shì)必要將許多數(shù)學(xué)概念拋棄，雖然排除了悖論，卻也同時(shí)失去了很多合理的東西。第33頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4羅素對(duì)悖論的解決方案羅素的分支類(lèi)型論雖然解決了悖論，但并沒(méi)有讓邏輯學(xué)家們和數(shù)學(xué)家們感到滿意，其原因歸結(jié)起來(lái)主要有三：可劃歸性公理無(wú)法自明或“必然真”；惡性循環(huán)原則的不合理性；類(lèi)型論展開(kāi)的繁雜和累贅。有人評(píng)價(jià)說(shuō)“它是為阻止悖論的發(fā)生，任意地臨時(shí)湊合而成的設(shè)計(jì)”。后來(lái)，有羅素的學(xué)生蘭姆賽（Ramsey）把分支類(lèi)型論加以簡(jiǎn)化，在廢除分支類(lèi)型論中關(guān)于級(jí)的劃分而保留類(lèi)的劃分的基礎(chǔ)上建立了簡(jiǎn)單類(lèi)型論，并為大多數(shù)數(shù)學(xué)家所歡迎。悖論語(yǔ)義學(xué)悖論邏輯數(shù)學(xué)悖論只需堅(jiān)持類(lèi)型混淆原則從邏輯數(shù)學(xué)出發(fā)，不需考慮第34頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5

塔斯基及其語(yǔ)義學(xué)第35頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語(yǔ)義學(xué)

邏輯哲學(xué)的基本問(wèn)題是邏輯與客觀現(xiàn)實(shí)的關(guān)系問(wèn)題，即邏輯真理是否反映客觀現(xiàn)實(shí)?

邏輯學(xué)的始祖亞里士多德提出了著名的真理符合論，認(rèn)為邏輯規(guī)律是客觀現(xiàn)實(shí)的反映。

萊布尼茨首先對(duì)亞里士多德的真理符合論提出了挑戰(zhàn)，提出了二元真理論，他認(rèn)為，有兩種真理，一種是推理的真理．一種是事實(shí)的真理。

正是在真理符合論和真理二元論長(zhǎng)期爭(zhēng)議的背景下，塔斯基另辟蹊徑，第一次提出了語(yǔ)義真理論，并由此創(chuàng)建了邏輯語(yǔ)義學(xué)，在世界哲學(xué)界產(chǎn)生了極其廣泛而深遠(yuǎn)的影響。第36頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語(yǔ)義學(xué)實(shí)質(zhì)適當(dāng)性：能成功地把握被下定義詞項(xiàng)的日?；蛑庇^意義，即能抓住古典符合論真理定義所蘊(yùn)藏的內(nèi)涵。形式正確性：能把清晰明確的定義詞項(xiàng)無(wú)歧義地運(yùn)用于被定義詞項(xiàng)的外延?！氨疚膸缀跞渴谦I(xiàn)給一個(gè)問(wèn)題—一真理的定義的。它的任務(wù)是，針對(duì)一種給定的語(yǔ)言，建立一個(gè)實(shí)質(zhì)上適當(dāng)?shù)?、形式上正確的關(guān)于‘真句子’這個(gè)訶的定義。”

——1991.03《形式化語(yǔ)言中的真理概念》第37頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語(yǔ)義學(xué)T型等值式（T）：X是真的，當(dāng)且僅當(dāng)P。撒謊者悖論剖析：我們現(xiàn)在用符號(hào)S作為下列句子的縮寫(xiě)：S不是真句子這樣，憑經(jīng)驗(yàn)，我們可以建立（1）“S不是真句子”等同于S現(xiàn)在對(duì)S和它的引號(hào)名稱“S”建立T等式，可以得到：（2）“S不是真句子”，當(dāng)且僅當(dāng)S不是真句子將（1）和（2）結(jié)合可以得到：S是真句子，當(dāng)且僅當(dāng)，S不是真句子第38頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語(yǔ)義學(xué)解悖方法：對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行分層處理對(duì)象語(yǔ)言：語(yǔ)言表達(dá)式本身

元語(yǔ)言：屬于更高層次，用來(lái)談?wù)撉耙环N語(yǔ)言的語(yǔ)言前提：元語(yǔ)言需具備此對(duì)象語(yǔ)言中所有的變量都更高邏輯類(lèi)型的變量。（也即每個(gè)出現(xiàn)在對(duì)象語(yǔ)言中的語(yǔ)句也必須在元語(yǔ)言中出現(xiàn)，換言之，元語(yǔ)言必須將對(duì)象語(yǔ)言作為部分包括在內(nèi)）塔斯基關(guān)于真理的定義：X是真的，當(dāng)且僅當(dāng)X是一語(yǔ)句并且類(lèi)中每一無(wú)窮序列都滿足X。第39頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§6

哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ砼c悖論第40頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§6

哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ砼c悖論如所知，著名的哥德?tīng)枺℅?del）不完備性定理是數(shù)理邏輯發(fā)展史上的重大研究成果，曾被譽(yù)為邏輯在現(xiàn)代所取得的最重要的進(jìn)展之一，是數(shù)學(xué)與邏輯發(fā)展史中的一個(gè)里程碑。定理如果形式算術(shù)系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，則存在著這樣一個(gè)命題，該命題及其否定在該系統(tǒng)中都不能證明，亦即它是不完備的。后來(lái)，又經(jīng)羅塞爾（Rosser）改進(jìn)為下述形式：

定理如果形式算術(shù)系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，則它是不完備的。詳言之，亦即定理如果一個(gè)含有自然數(shù)論的形式系統(tǒng)S是無(wú)矛盾的，則S中存在一個(gè)邏輯公式A，使得在S中，A是不能證明