南通市如皋市2020屆高三下學(xué)期三模考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省南通市如皋市2020屆高三下學(xué)期三模考試數(shù)學(xué)試題含解析江蘇省如皋市2019—2020學(xué)年高三年級(jí)第二學(xué)期語數(shù)英學(xué)科模擬（三)數(shù)學(xué)試題一?填空題（本大題共14小題,每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.)1。復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位）,則的虛部為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯壤脧?fù)數(shù)的除法,將復(fù)數(shù)化為的形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)?，所?所以的虛部為。故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，且，則_______.【答案】【解析】【分析】由題意知，對(duì)A集合中元素進(jìn)行分類討論求出m，然后根據(jù)集合交集的概念計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，若，此時(shí),滿足條件；若，則，，不符合題意,舍去。所以，。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合交集的結(jié)果求參數(shù)、集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3。某黨員連續(xù)七天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上獲得的學(xué)習(xí)積分如圖所示，則該黨員這七天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上獲得的學(xué)習(xí)積分的方差為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯扔?jì)算七個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),再根據(jù)方差的計(jì)算公式求解即可?！驹斀狻坑汕o葉圖可知,該黨員七天的學(xué)習(xí)積分平均數(shù),故方差.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4.由于新冠肺炎疫情，江蘇緊急抽調(diào)甲?乙?丙?丁四名醫(yī)生支援武漢和黃岡兩市，每市分配2名醫(yī)生，則甲?乙兩人恰好分配在同一個(gè)城市的概率為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥壳蟪雒渴蟹峙鋬擅t(yī)生的方法數(shù)，再求出甲?乙兩人恰好分配在同一個(gè)城市的方法數(shù)后可得概率．【詳解】四名醫(yī)生平均分配到兩市的方法為，甲?乙兩人恰好分配在同一個(gè)城市的方法數(shù)是2,所求概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù)．平均分組時(shí)要注意組間有無區(qū)別．5.如圖是某算法的偽代碼，輸出的結(jié)果的值為_______。【答案】18【解析】【分析】模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件可得結(jié)論．【詳解】程序運(yùn)行時(shí)變量值：,滿足，開始循環(huán)，；滿足,；滿足，；滿足，；不滿足，輸出．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查偽代碼，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化,判斷循環(huán)條件，從而得出結(jié)論．6。已知直線與雙曲線的一條漸近線垂直,且右焦點(diǎn)到直線l的距離為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑芍本€與一條漸近線垂直得，由右焦點(diǎn)到直線的距離可求得，從而得到．得雙曲線方程．【詳解】直線與一條漸近線垂直,則這條漸近線的斜率為，∴①，右焦點(diǎn)為,則，②,又③，①②③聯(lián)立可解得，雙曲線方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的漸近線．解題方法是直接法，根據(jù)已知條件求出，得雙曲線方程．7。已知函數(shù)，則不等式的解集為_______.【答案】【解析】【分析】由,求導(dǎo)得到,分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性的定義求解。【詳解】因，所以,而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).,所以，所以在R上是增函數(shù)，因?yàn)?所以，解得或。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及單調(diào)性定義的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。8。如圖，在直三棱柱中，,則四棱錐的體積為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知四棱錐的體積可由求出，將邊長代入公式即可．【詳解】解：依題意可得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的體積公式，是基礎(chǔ)題．9.已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列，且,則_______.【答案】1或【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得到,再由等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求得或，代入即可求解。【詳解】設(shè)由構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及，可得,又由成等比數(shù)列，可得，即，整理得,解得或,當(dāng)時(shí),可得，解得;當(dāng)時(shí),可得，解得.故答案為:1或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式,以及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求得公差的值是解答的關(guān)鍵,著重考查運(yùn)算與求解能力。10.已知中,,且，則的值為_______.【答案】2【解析】【分析】在中,設(shè)分別是角所對(duì)邊長，由數(shù)量積公式及余弦定理可知,,，化簡(jiǎn)計(jì)算即可解得,進(jìn)而解得所求。【詳解】在中，設(shè)分別是角所對(duì)邊長,，且,即,由余弦定理可知:，即,代入，解得：或（舍）.所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的定義,考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力,難度一般。11。已知正數(shù)滿足,則的最小值為_______?！敬鸢浮?【解析】【分析】由可得,然后，展開利用基本不等式即可求解。【詳解】由可得當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查的是利用基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題。12.若函數(shù)()與函數(shù)有相同的最小正周期,存在,且，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，并根據(jù)與的最小正周期相同,求出,再結(jié)合題意，可得的范圍，分類討論法，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍?！驹斀狻浚ㄆ渲校?，周期，周期，與有相同的最小正周期,，，,解得，存在，，使，有最值,又，，，即，為偶數(shù)時(shí),，即，解得，為奇數(shù)時(shí)，，即，無解,綜上，。故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式、三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的值域及由三角函數(shù)的值域求參數(shù)，考查了分類討論的思想，屬于中檔題。13.已知函數(shù)，均為周期為2的函數(shù),，,若函數(shù)在區(qū)間有10個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】作出的圖象以及在上的圖象，通過分析圖象，可知與在有2個(gè)交點(diǎn)，在有1個(gè)交點(diǎn)，通過換元法,即可求得結(jié)果?！驹斀狻孔鞒龅膱D象，如圖，作出在上的圖象，在和上，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，與在共10個(gè)交點(diǎn)，與在,,共有8個(gè)交點(diǎn),又與的周期為2，與在有2個(gè)交點(diǎn)，在有1個(gè)交點(diǎn),①在有2個(gè)交點(diǎn)，由①知，，令，則，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)有兩解,②在有1個(gè)交點(diǎn),由②知，令，則，，令，則，令,解得，當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，所以,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以,或，綜上，。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題,其中涉及到基本不等式的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn),考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，難度較大.14。已知是圓:的一條弦，其長度，是的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)?,使得四邊形為平行四邊形，則實(shí)數(shù)的最大值為_______。【答案】【解析】【分析】由弦心距可求得，即點(diǎn)軌跡,四邊形為平行四邊形可知,根據(jù)向量相等坐標(biāo)的關(guān)系化簡(jiǎn)可得，要求出的最大值,取構(gòu)造不等式即可得解。【詳解】是中點(diǎn)∴，∴，點(diǎn)軌跡方程為：為平行四邊形，令，∴∴，∴，,，要求出的最大值，取∴.故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓心距，考查軌跡法求圓的方程，考查了基本不等式拓展公式前兩個(gè)的關(guān)系在求最值中的應(yīng)用，難度較難。二?解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.)15.如圖所示，在正方體中，分別為?的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1)證明見解析。(2）證明見解析【解析】【分析】（1）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，即可證得,根據(jù)線面平行的判定定理即可得出結(jié)論;(2）在正方體中易證得平面，則，由可證得平面，即可得出,同理可證得，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論?！驹斀狻浚?）連接∵正方體∴四邊形為正方形∵為中點(diǎn)∴也為中點(diǎn)又∵在中,為中點(diǎn)∴∵平面，平面∴平面(2）連接，∵為正方體∴四邊形為正方形∴∵平面∴平面∵平面∴∵四邊形為正方形且為正方形的對(duì)角線∴∵且平面∴平面∵平面∴∵正方體∴平面∵平面∴∵為正方體∴四邊形為正方形又∵為正方形的對(duì)角線∴∵平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.16.已知，，,且.(1）求的值；（2）求的值。【答案】（1).（2）【解析】【分析】（1)由已知根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，根據(jù)代入即可求得求得結(jié)果。（2）由（1)利用二倍角公式,可求得，進(jìn)而可得的值,根據(jù)角的范圍，即可確定結(jié)果。【詳解】（1)∵,且∴∴又∵∴（2）∴∴或∵∴又∵∴∵，且∴又∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角公式,兩角和與差的三角函數(shù)，考查已知三角函數(shù)值求角,屬于基礎(chǔ)題。17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓：(）的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且.若橢圓的內(nèi)接四邊形的邊的延長線交于橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，記直線的斜率分別為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的值。【答案】（1)。（2）【解析】【分析】(1）求橢圓定義可知,點(diǎn)代入即可得出結(jié)果；(2）設(shè)，,因?yàn)榈难娱L線交于橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，于是有，將直線與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式可求得,，根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果?！驹斀狻浚?），∴點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，代入方程：,∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2)設(shè)，的延長線交于橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,于是有①②于是：代入②可得同理又,可得：∴法二：(1）由為橢圓的左右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，∴,∴，∴橢圓將代入可得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè),由斜率分別為則直線的方程分別為將與聯(lián)立,設(shè)由韋達(dá)定理,∴同理可證則由，得從而即∴,∴又為的內(nèi)接四邊形，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和橢圓位置關(guān)系中定點(diǎn)定值問題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于難題。18.杭州西溪國家濕地公園是以水為主題的公園,以濕地良好生態(tài)環(huán)境和多樣化濕地景觀資源為基礎(chǔ)的生態(tài)型主題公園。欲在該公園內(nèi)搭建一個(gè)平面凸四邊形的休閑?觀光及科普宣教的平臺(tái)，如圖所示，其中百米，百米，為正三角形。建成后將作為人們旅游觀光?休閑娛樂的區(qū)域,將作為科普宣教濕地功能利用?弘揚(yáng)濕地文化的區(qū)域.（1）當(dāng)時(shí),求旅游觀光?休閑娛樂的區(qū)域的面積；(2）求旅游觀光?休閑娛樂的區(qū)域的面積的最大值?！敬鸢浮浚?).（2）【解析】【分析】（1）通過余弦定理可求得,進(jìn)而得到,，,根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得結(jié)果。(2)方法一：設(shè)，由余弦定理可求得,設(shè)，進(jìn)而由余弦定理可得，則可求的值,進(jìn)而可得的值，根據(jù)面積公式化簡(jiǎn)可得，令，則面積可化簡(jiǎn)為，令,平方后化簡(jiǎn)為由的存在性可知即可求得，進(jìn)而得出結(jié)果。方法二:不妨設(shè)，，由正余弦定理可得,，利用面積公式及輔助角公式化簡(jiǎn)根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.方法三：設(shè)，，由余弦定理可知,為正三角形及由正弦定理得可得，由代入化簡(jiǎn)可得根據(jù)面積公式及輔助角公式化簡(jiǎn)可得，由三角函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果?！驹斀狻糠ㄒ唬海?）∵,∴∴，∴，∵為正，∴，∴,∴（2）設(shè)，∴∴，∴設(shè)，∴，，∴∴∴令，∴上式令，∴∴，∴法二:（1）,∴又，∴，∴（2）不妨設(shè),于是①②③∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，∴面積最大為法三:（1)由中，，，則由余弦定理c,∴又為正三角形，∴∴（2)在中，設(shè)∠,由余弦定理得∵為正三角形,∴由正弦定理得，即∴，∴(＊)∵又由，∴，∴為銳角，∴（**）∴（由＊和**)∴當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值?！嗝娣e最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形面積最值問題,考查解決最值問題的方法，構(gòu)造函數(shù)借助判別式求最值,借助輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題，難度較難.19。已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。（1）求不等式的解集；（2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）(若是函數(shù)的極大值或極小值,則m為函數(shù)的極值點(diǎn)，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn))。①求a的取值范圍;②證明：。【答案】(1）。（2）①;②證明見解析【解析】【分析】(1）不等式變形為，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,結(jié)合,可得不等式的解集;（2）①求出導(dǎo)函數(shù)，再由的導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,得的正負(fù)，從而得的單調(diào)性，由的極小值小于0及零點(diǎn)存在定理可得的范圍，②由極值點(diǎn)定義知是的極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，從而有,設(shè)，則為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性得,從而可證題設(shè)結(jié)論．【詳解】（1)由得令，∴，令當(dāng)時(shí)，,遞減;當(dāng)時(shí),,遞增∴注意到,結(jié)合單調(diào)性知不等式的解集為（2），由題意知有上有兩個(gè)不等的實(shí)根令,令當(dāng)時(shí)，,遞減；當(dāng)時(shí),，遞增，∴要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則,此時(shí)注意到，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，故的取值范圍為②由為的2個(gè)極值點(diǎn)，且∴滿足且由①知∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增則是的極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn)∴設(shè),則為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增由時(shí)，,∴在上單調(diào)遞增∴,又為偶函數(shù)，∴，，∴從而．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值，證明與極值點(diǎn)有關(guān)的不等式．解題中涉及到多次求導(dǎo),目的是確定單調(diào)性、最值、函數(shù)值的正負(fù)．本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力,引入新函數(shù)把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題．20。若正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為，且當(dāng)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列時(shí),則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,證明：數(shù)列為“數(shù)列";(2）若數(shù)列為“數(shù)列”,且對(duì)任意，、、成等差數(shù)列，公差為。①求與間的關(guān)系；②若數(shù)列為遞增數(shù)列，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】【分析】（1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式得出，,結(jié)合題中定義可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)數(shù)列為“數(shù)列”，可求得，再由、、成等差數(shù)列可得出，由此計(jì)算出，即可得解;②推導(dǎo)出，利用累加法可分別求出和的表達(dá)式,根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列可得出對(duì)恒成立,由此可求得的取值范圍。【詳解】（1），且，，，所以，數(shù)列的首項(xiàng)為且是公比為的等比數(shù)列，故為“數(shù)列"；（2）①數(shù)列為“數(shù)列"，,，而、、成等差數(shù)列，，；②由①知，,，,，所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別遞增，，，，，，因?yàn)?，?shù)列單調(diào)遞增，對(duì)恒成立,，故的取值范圍為。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義，考查利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)，解答的關(guān)鍵就是利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于難題。21。已知矩陣，圓經(jīng)過矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到圓：，求圓的方程。【答案】【解析】【分析】設(shè)圓上任取一點(diǎn),經(jīng)過矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，變?yōu)椋俑鶕?jù)矩陣的運(yùn)算求出與的等量關(guān)系，再代入化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】在圓上任取一點(diǎn)，經(jīng)過矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下,變?yōu)?∴在上，∴，∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣變換的求解以及軌跡方程的求解,屬于基礎(chǔ)題.22.在極坐標(biāo)系中，曲線:,曲線:，曲線相交于兩點(diǎn)。（1)求曲線?的直角坐標(biāo)方程;（2)求弦長?！敬鸢浮浚?）：，：;(2）【解析】【分析】(1）將和兩角差的正弦公式即可得?的直角坐標(biāo)方程；(2)求出圓心到直線距離，結(jié)合垂徑定理即可得結(jié)果。【詳解】(1）,即，即即，即(2）圓心到直線距離，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線截圓所得的弦長，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題。23.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離為3，過