《數(shù)學(xué)思維方法》題庫(kù)

小教101班數(shù)學(xué)思維方法題庫(kù)一、選擇題：1、以下說法正確的是：（）見課本P.97~98專注與靈感是創(chuàng)造性思維的主要標(biāo)志。發(fā)散性思維與收斂性思維結(jié)合是創(chuàng)造性思維的基本圖式。積極的創(chuàng)造是創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)。創(chuàng)見性與新穎性是創(chuàng)造性思維的重要特點(diǎn)。答案：B2、下列關(guān)于數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系的說法中錯(cuò)誤的是（）A最小的質(zhì)數(shù)與最小的正偶數(shù)這兩個(gè)概念是同一關(guān)系B平行四邊形與長(zhǎng)方形這兩個(gè)概念是從屬關(guān)系C等腰梯形與直角梯形這兩個(gè)概念是矛盾關(guān)系D等腰三角形與直角三角形這兩個(gè)概念是交叉關(guān)系答案：C。（分值：3分）解釋：C選項(xiàng)的說法是錯(cuò)誤的，等腰梯形與直角梯形的外延互相排斥，盡管它們都包含于梯形的概念之中，它們是對(duì)立關(guān)系而不是矛盾關(guān)系。A選項(xiàng)正確，最小的質(zhì)數(shù)和最小的正偶數(shù)均為2，這兩個(gè)概念的外延相同，為同一關(guān)系；B選項(xiàng)正確，平行四邊形包含長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形屬于平行四邊形的一種，二者為從屬關(guān)系；D選項(xiàng)正確，等腰直角三角形就是等腰三角形和直角三角形這兩個(gè)概念的重合，二者為交叉關(guān)系。3、分析法與綜合法的區(qū)別在于A.分析法、綜合法——已知到未知B.分析法——已知到未知、綜合法——未知到已知C.分析法、綜合法——未知到已知D.分析法——未知到已知、綜合法——已知到未知答案：D4、選擇題:在△ABC中,求cosA+cosB+cosC的最大值()A.3B.2C.1.5D.1參考答案:解題思路（直覺思維）：可以從三角形內(nèi)角和與三角函數(shù)值的角度直覺的猜得，即A=B=C=60°時(shí)可取得最大值1.5。4x-4x≤15、f(x)={求與g(x)=log2X的交點(diǎn)數(shù)量（）x^2-4x+3x>1

A.1B.2C.3D.4答案是C6、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，這是一個(gè)（）邊形。（3分）A.四B.五C.六D.七答案：BC7、在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察與實(shí)驗(yàn)的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)自身的結(jié)構(gòu)，鼓勵(lì)學(xué)生的_________，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與信心，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)_________。A.大膽試錯(cuò)和歸納類比，解決實(shí)際問題B.大膽試錯(cuò)和歸納類比，解決經(jīng)典例題C.個(gè)體體驗(yàn)和個(gè)體理解，解決實(shí)際問題D.個(gè)體體驗(yàn)和個(gè)體理解，解決經(jīng)典例題8、請(qǐng)問算式7-43A.2—3B.2+3C.3—2D.4—解：A。思路：顯然根號(hào)下的式子無法直接計(jì)算，但觀察發(fā)現(xiàn)它可以分解成完全平方式。事實(shí)上，根號(hào)下只有完全平方式才能進(jìn)行下一步計(jì)算。于是有：7—43=22—223+（3）2=(2-3)9、若三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長(zhǎng)為a,b,c,則三角形的面積S=()。------3分A、r(a+b+c)B、3/2r(a+b+c)C、1/2r(a+b+c)D、r(a+b)答案：C解題思路：10、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)出現(xiàn)的標(biāo)志是（）A．無理數(shù)的出現(xiàn)B.無限問題的出現(xiàn)C.費(fèi)馬猜想D.微積分的創(chuàng)立答案：D11、以下說法正確的是（）A描述性數(shù)學(xué)模型又稱為解釋性數(shù)學(xué)模型B“哥尼斯堡七橋問題”是一個(gè)確定性數(shù)學(xué)模型C描述性數(shù)學(xué)模型是從一般到特殊D公式V=eq\f(π,3)r3h是計(jì)算圓錐體積的解釋性數(shù)學(xué)模型答案：B12、已知a，b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，求證：a+b2>ab。作為通常證明，我們可以從（A.形式化B.非形式化C.演繹化D.非演繹化答案：B非形式化答案解析：本題考察的是學(xué)生關(guān)于課本《數(shù)學(xué)思維方法》中第九章第二章節(jié)的知識(shí)，題目改編于297頁(yè)例2，排除C、D無關(guān)選項(xiàng)。書中詳細(xì)介紹了“形式化”的證明方法，而在開頭、和小結(jié)指出中小學(xué)更應(yīng)側(cè)重的知識(shí)是非形式化數(shù)學(xué)方法指導(dǎo)。所以排除再排除A選項(xiàng)，得到正確答案B。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：有且只有一個(gè)答案為B非形式化，其余答案均為錯(cuò)誤。出題目標(biāo)：雖然數(shù)學(xué)是形式化的，數(shù)學(xué)的方法也是一種形式化的方法。但是，中小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)適合學(xué)生的特點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)的要求，不過分追求數(shù)學(xué)的形式化，通過這道題，考核學(xué)生對(duì)例題的數(shù)學(xué)思維理解，加深未來小學(xué)準(zhǔn)教師對(duì)數(shù)學(xué)方法教授時(shí)形式化與非形式化區(qū)別。13、已知，平面上n條直線最多把平面分割成F（n）=（n2+n+2）/2個(gè)平面塊。請(qǐng)用類比推理的方法，猜想用n個(gè)平面分割空間所得的塊數(shù)的表達(dá)式。（）AN=（an2+bn+c）/3BN=（an3+bn2+cn+d）/2CN=（an3+bn2+cn）/3DN=（an3+bn2+cn+d）/314.直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則tan∠CBD的值是（）A． B． C． D．668CEABD第1題答案：C解析：由tan∠A=CB/CA=6/8=DE/DA=DE/5得出：DE=15/4cos∠A=CA/BA=8/10=DA/AE=5/AE得出：AE=25/4=BE，CE=AC-AE=8-25/4=7/4∴tan∠CBE=CE/CB=(7/4)÷6=7/2415、設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是A.B.8C.18D.不存在思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：∴有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。而原方程有兩個(gè)實(shí)根，∴或當(dāng)時(shí)，的最小值是8；當(dāng)時(shí)，的最小值是18。這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。此題是形式化系統(tǒng)內(nèi)的運(yùn)算操作常犯的錯(cuò)誤。只注重形式化規(guī)則而忽略它特定的討論范疇、真實(shí)狀況時(shí)就可能導(dǎo)致錯(cuò)誤。16、下列不是思維的特征的是：（C）A.方向性B.概括性C.發(fā)展性D.間接性17、按照思維的應(yīng)用，可以把數(shù)學(xué)思維分成四個(gè)方面，一下錯(cuò)誤的是：A.哲學(xué)B.特殊方法論C.數(shù)學(xué)某分支D.初等數(shù)學(xué)18、對(duì)于全體實(shí)數(shù)x,使|x-2|+|x-4|+|x-7|+|x-9|+|x-9|+|x-15|+|x-21|≥m恒成立，m的最大值為（）。A．28B.30C.32D.36解題思路：可采用主次漸進(jìn)的方法利用特殊值加以實(shí)驗(yàn)，觀察結(jié)果，排除不合適的選擇值即可求解。如取x=2,4,7,9,15,21,求不等式左邊的值，得當(dāng)x=2時(shí)，不等式左邊=46當(dāng)x=4時(shí)，不等式左邊=38當(dāng)x=7時(shí)，不等式左邊=32當(dāng)x=9時(shí)，不等式左邊=32當(dāng)x=15時(shí),不等式左邊=44當(dāng)x=21時(shí),不等式左邊=68上述不等式值最小為32，至此只要考慮是否有x的值，使不等式左邊小于3=2就可以了。重點(diǎn)要檢驗(yàn)x=7,9附近的值，但可初定確定正確答案應(yīng)是C。19.一個(gè)和尚敲2下鐘,用了兩秒,問用同樣的速度敲4下鐘需要多少秒?（）A.4秒B.5秒C.6秒D.8秒答案是C.6秒。 敲2下鐘，其間隔是（2-1）次，用時(shí)時(shí)長(zhǎng)2秒；敲4下鐘，間隔為（4-1）次，用時(shí)時(shí)長(zhǎng)（4-1）×2=6（秒）。20、根據(jù)思維的形態(tài)不同，可以將思維分為若干個(gè)表現(xiàn)形態(tài)，以下不屬于該分類形式的是（）A．動(dòng)作思維B.具象思維C.形象思維D.抽象思維答案：B（根據(jù)思維的形態(tài)不同，可以將思維分為動(dòng)作思維、形象思維和抽象思維。）21、請(qǐng)問數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式一般包括以下哪幾個(gè)主要環(huán)節(jié)且順序是什么？（1）創(chuàng)設(shè)情境（2）驗(yàn)證與數(shù)學(xué)化（3）討論與交流（4）假設(shè)與猜想（5）活動(dòng)與實(shí)驗(yàn)（6）歸納與猜想A、（4）—（1）—（5）—（3）—（2）B、（1）—（5）—（3）—（6）—（2）C、（4）—（1）—（3）—（5）—（2）D、（1）—（3）—（5）—（6）—（2）答案為B，詳見書本P334-335。22、下列哪一種是含有參數(shù)的關(guān)系映射反演方法（D）（3分）A．換元法B．坐標(biāo)法C．函數(shù)法D．待定系數(shù)法選擇題23、以下不屬于從數(shù)學(xué)化歸法利用數(shù)學(xué)工具的方式來劃分都是：（C）A.參數(shù)變換法B.分解與組合C.計(jì)算式法D.映射法24、若關(guān)于x的一元二次方程2a+2x-5=0的兩根中有且僅有一根在0與1之間（不含0和1），則a的取值范圍是（）(4分)A．a(chǎn)<3B．a(chǎn)>3C．a(chǎn)<-3D．a(chǎn)>-3解析:根據(jù)題意肯定有兩不同根,則4-4a*(-5)=4+20a>0,得a>-1/5有且僅有一根在0與1之間（不含0和1）設(shè)f（x）=ax2+2x-5，則f（0）*f（1）<0,即-5*（a-3）<0,得a>3最終取交集a>3,即選B25、（）數(shù)學(xué)中的非邏輯思維主要有___________、直覺思維、靈感思維、數(shù)學(xué)想象等。A.形象思維B.抽象思維C.數(shù)學(xué)判斷D.數(shù)學(xué)推理答案：A分?jǐn)?shù)：答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分26、中華名族真正接受西方數(shù)學(xué)是在什么時(shí)候？（第十一章第一節(jié)）（A）鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)之后B.八國(guó)聯(lián)軍侵華之后C.抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期D.改革開放時(shí)期27、設(shè)X∈R,y＝2－cos2x＋eq\f(9,4sin2x)的最大值為（D）A、eq\f(17,4)B、2C、1D、無最大值28．在數(shù)學(xué)建模時(shí)，我們常會(huì)用到測(cè)試分析法，即當(dāng)我們對(duì)研究對(duì)象機(jī)理不清楚時(shí)，就把研究對(duì)象視為黑箱系統(tǒng)，以此來分析并建立模型。在一個(gè)黑箱系統(tǒng)中，第一次輸入的為1，輸出為1，第二次輸入為2，輸出為5，第三次輸入為3，輸出為10，則我們可得出的假設(shè)模型是（）2A．a(chǎn)n=2n-1B．a(chǎn)n=nC.an=n+1D.an=2n+12答案：C29、拋硬幣，拋一次出現(xiàn)數(shù)字的幾率是1/2，那么拋第5次時(shí)，出現(xiàn)數(shù)字的幾率是多少？A1/3B1/2C1/4D1/530、已知，平面上n條直線最多把平面分割成F（n）=（n2+n+2）/2個(gè)平面塊。請(qǐng)用類比推理的方法，猜想用n個(gè)平面分割空間所得的塊數(shù)的表達(dá)式。（）AN=（an2+bn+c）/3BN=（an3+bn2+cn+d）/2CN=（an3+bn2+cn）/3DN=（an3+bn2+cn+d）/331、在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中，劉徽的割圓術(shù)運(yùn)用了（）的思想方法獲得了圓的面積。A化歸B變形C逐次漸進(jìn)D數(shù)學(xué)建模答案：C32、綜合法可用如下框圖表示：（C）A：B：C：D：二、大題目1、簡(jiǎn)答題：（8分，共四點(diǎn)，每答對(duì)一點(diǎn)2分）數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)應(yīng)注重那幾個(gè)方面的問題？見課本P.103~104答案：第一，在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，并且積極提出問題來參與數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)。第二，在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的儲(chǔ)備方面，使學(xué)生根據(jù)自己的理解主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法。第三，在數(shù)學(xué)思維方式方面，由于邏輯思維是數(shù)學(xué)知識(shí)和理論的主要表現(xiàn)形式，因此應(yīng)當(dāng)格外注重非邏輯思維的培養(yǎng)。第四，在具體創(chuàng)新思維的方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經(jīng)有很多成熟的廣泛運(yùn)用的方法，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地學(xué)習(xí)或運(yùn)用它們，使之與數(shù)學(xué)的某些具體的問題相結(jié)合。 2．簡(jiǎn)答題：求證：對(duì)任意自然數(shù)n均有2n+2>n2。答案：（分值：15分）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立。(2分)設(shè)2k+2>k2成立，只要證明2k+1+2>(k+1)2即可。（2分）∵2k+1+2－(k+1)2=2(2k+2)－k2－2k－3,（3分）代入2k+2>k2，得到2k+1+2－(k+1)2>k2－2k－3=(k－1)2－4，（4分）只要證明(k－1)2－4≥0即可， （1分）（1分）再?gòu)膎=2,3分別驗(yàn)證，當(dāng)n=2時(shí)，22+2>22，命題成立；當(dāng)n=3時(shí)，23+2>32，命題成立；因此當(dāng)n為任意自然數(shù)時(shí)均有2n+2>n2。（2分）（其他合理解法可酌情給分）3.簡(jiǎn)答題（10分）對(duì)于任意自然數(shù)n>1，+Cn2+Cn3+…解：假設(shè)結(jié)論成立，可以得到>（分析法）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分根據(jù)二項(xiàng)式定理有QUOTE2nError!Digitexpected.==1+Cn1+Cn2+…+所以Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn=QUOTE2n-1Error!Digitexpected.=1+2+QUOTE22+…+QUOTE2n-1所以>===QUOTE2n-12Error!Digitexpected.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分即>QUOTE2n-12Error!Digitexpected.與（綜合法）即Cn1+Cn2+Cn（說出分析法、綜合法各1分）4.試用數(shù)學(xué)解題的一般程序論述下題:(共10分)已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬和高,求它的對(duì)角線長(zhǎng)度。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):（合理即可給分）弄清楚問題：(共4分)未知量是這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度-------------------------------------(1分)已知數(shù)據(jù)是此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高-------------------------------------(1分)引入適當(dāng)?shù)姆?hào)ｘ表示未知量，a、b、c分別表示長(zhǎng),寬和高-------------------------(1分)聯(lián)系a、b、c和ｘ的條件是ｘ是長(zhǎng)為a，寬為b，高為c的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度----------------------------------(1分)分析和制定解題步驟：(共2分)具有相似未知量的一道已經(jīng)會(huì)解答的題：求一個(gè)直角三角形的一條邊。------------------(1分)為了能應(yīng)用這道題的解法，應(yīng)該引入某個(gè)輔助元素：引入一個(gè)直角三角形（圖中陰影強(qiáng)調(diào)）未知量是這個(gè)三角形的斜邊，可以用勾股定理把它計(jì)算出來。其中一條直角邊是給定的，就是c；另外一條直角邊又是另一個(gè)直角三角形（直角邊分別為a和b的三角形）的斜邊，設(shè)這斜邊為y。---------------(1分)完成解題計(jì)劃并檢驗(yàn)：(共2分)引入另一個(gè)未知量y后，由勾股定理可得：xy2因?yàn)閤是正數(shù)，所以x=√a2+解題后研究：任意寫出兩個(gè)方面即可(共2分)，以下四個(gè)僅供參考：題目中a，b，c是輪換對(duì)稱的，得到的對(duì)角線表達(dá)式對(duì)a，b，c來說也是輪換對(duì)稱的。假如a，b，c位置互換，表達(dá)式保持不變。這個(gè)題目和一道平面幾何題相似：求一個(gè)兩邊a，b都給定的長(zhǎng)方形的對(duì)角線。假如原題中的高c不斷縮短，直至消失，那么得到的就是長(zhǎng)方形對(duì)角線公式。如果長(zhǎng)方形的三個(gè)量a，b，c都等比例增長(zhǎng)，那么對(duì)角線也將以相同的比例增長(zhǎng)。在別的題目中運(yùn)用原題得到的結(jié)果。例如：給定長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬和高，求長(zhǎng)方體中心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離。解答：所求距離就是剛計(jì)算過的對(duì)角線的一半。5、簡(jiǎn)答題用數(shù)學(xué)歸納法證明（5分）答案：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立．（1分）（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即則當(dāng)時(shí)，（4分）即當(dāng)時(shí)，等式成立．根據(jù)（1）、（2）可知，對(duì)一切，等式成立．6、證明：圓周角是同弧所對(duì)的圓心角之半。（7分）P書7、把右圖中的花瓶剪2刀，再拼成一個(gè)正方形。并根據(jù)此說明觀察與實(shí)驗(yàn)在具體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中的作用。（得不出剪法，可結(jié)合其他具體例子進(jìn)行說明）（10分）參考答案：剪法見下圖。→→→具體說明言之成理且符合題意即可，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)答案。評(píng)分細(xì)則：1、未寫，只寫一個(gè)“解”字或“答”字，記0分；2、有答題，但答案與題目完全不符，如抄歌詞、默古詩(shī)等，看書寫情況給予適當(dāng)辛苦分，記1—3分；

3、例舉非題目例子展開答題，表述較完整合理，視情況記3—6分；

4、以題目例子展開答題且表述完整合理或結(jié)合其他例子表述且有說服力，視情況記6—9分，剪法正確可加1—2分；

5、完全依照題目答題，剪法正確且說明完整合理，有信服力，記10分。8、論述題以五年級(jí)應(yīng)用題“人民小學(xué)食堂運(yùn)來400千克大米，已經(jīng)吃了五分之二，還剩多少千克？”為例分析數(shù)學(xué)解題的一般程序。答：（一）弄清楚問題：?jiǎn)栴}為求剩余的大米千克數(shù)。（二）分析和制定解題步驟：本題可采用綜合法來解題：大米總量為400千克大米總量為400千克↘已經(jīng)吃了的大米數(shù)量已經(jīng)吃了的大米數(shù)量已經(jīng)吃了五分之二剩余的大米數(shù)量↘已經(jīng)吃了五分之二剩余的大米數(shù)量↗大米總量為400千克↗大米總量為400千克-（三）完成解題計(jì)劃并檢驗(yàn)400×2/5=160(千克)400—160=240（千克）（四）解題后的研究：題中的隱含條件是已經(jīng)吃了的大米數(shù)量，引出混合式：400－400×2/5=240(千克)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：1、只解出該應(yīng)用題，得3分；2、解出應(yīng)用題，并能簡(jiǎn)略寫出四個(gè)一般程序得6分3、解出應(yīng)用題，寫出四個(gè)一般程序，并能做出合理分析得10分。9、教學(xué)設(shè)計(jì)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)“三角形面積公式”的教學(xué)片斷并加以解釋說明，要求從數(shù)學(xué)思想方法的角度進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。——10分參考答案：師：我們已經(jīng)學(xué)過長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積計(jì)算方法，那么如何求三角形的面積呢？這就是我們本節(jié)課所要解決的數(shù)學(xué)問題。師：大家還記得平行四邊形的面積公式我們是如何求得的？生1：用剪拼的方法把平行四邊形變成一個(gè)長(zhǎng)方形。師：在剪拼的過程中，什么變了，什么沒有變？生2：圖的形狀變了，但是面積的大小沒有變。師：那么，我們能不能用同樣的方法來求三角形的面積呢？每個(gè)同學(xué)用你們事先準(zhǔn)備好的材料想辦法求出三角形的面積，如果你覺得有困難，可以和同桌商量。……通過動(dòng)手操作，有的同學(xué)用剪拼的方法把三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來求它的面積；有的同學(xué)用兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形后來求出三角形的面積。教師讓學(xué)生介紹各種不同的方法。師：你認(rèn)為三角形的面積該如何計(jì)算？根據(jù)剛才的展示，學(xué)生分別講述“底×高÷2“的理由?！?分說明：三角形的面積學(xué)生不會(huì)求，但通過拼湊的方法把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形的一半，而平行四邊形面積學(xué)生是會(huì)求的，再通過三角形和轉(zhuǎn)化成的平行四邊形一半的關(guān)系比較得到求三角形面積的一般方法。整個(gè)過程滲透的是化歸思想中的分割法。這里的化歸對(duì)象是三角形；化歸目標(biāo)是平行四邊形；化歸途徑是分割，拼湊?！?分10、簡(jiǎn)答題：簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維在培養(yǎng)時(shí)應(yīng)注意的方面。答案：1.在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設(shè)法引起學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，并且積極提出問題來參與數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)；2.在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的儲(chǔ)備方面，使學(xué)生根據(jù)自己的理解主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法；3.在數(shù)學(xué)思維方式方面，由于邏輯思維是數(shù)學(xué)知識(shí)和理論的主要表現(xiàn)形式，因此應(yīng)當(dāng)格外注重非邏輯思維的培養(yǎng)；4.在具體創(chuàng)新思維的方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經(jīng)有很多成熟的廣泛運(yùn)用的方法，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)的學(xué)習(xí)或運(yùn)用它們，使之與數(shù)學(xué)某些具體的問題相結(jié)合。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：該題總分8分，每條2分。11、簡(jiǎn)答題簡(jiǎn)述描述性數(shù)學(xué)模型和解釋性數(shù)學(xué)模型的區(qū)別（從定義來講），并分別簡(jiǎn)單舉一個(gè)例子。（12分）答案：描述性數(shù)學(xué)模型是從特殊到一般，（2分）即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述具體的客觀事物及狀態(tài)的量化關(guān)系，得到一個(gè)具體的抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（2分）例如，哥尼斯堡七橋問題、布豐的投針實(shí)驗(yàn)、y=kx(k是非零常數(shù))是具有正比例關(guān)系的事物的描述性數(shù)學(xué)模型等（2分）解釋性數(shù)學(xué)模型是從一般到特殊，（2分）即對(duì)抽象的公理化系統(tǒng)給出直觀解釋或直觀形式下的一種邏輯證明。（2分）例如，龐加萊給出的非歐幾何的數(shù)學(xué)模型，即龐加萊模型。（2分）12、簡(jiǎn)答題：從數(shù)學(xué)方法論的角度分析數(shù)學(xué)的形式化特征，不難發(fā)現(xiàn)形式化是數(shù)學(xué)方法的表現(xiàn)形式，這種表現(xiàn)形式含有哪三層意義？答案：一、數(shù)學(xué)的形式都是有特定的符號(hào)來表現(xiàn)的二、數(shù)學(xué)的形式化符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)形式三、數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)重視形式化答案解析：本題考察的是學(xué)生關(guān)于課本《數(shù)學(xué)思維方法》中第九章第二章節(jié)的知識(shí)，題目考察范圍為292頁(yè)數(shù)學(xué)的形式化方法的意義，排除C、D無關(guān)選項(xiàng)。書中詳細(xì)介紹了“形式化”的證明方法，而在開頭、和小結(jié)指出中小學(xué)更應(yīng)側(cè)重的知識(shí)是非形式化數(shù)學(xué)方法指導(dǎo)。所以排除再排除A選項(xiàng)，得到正確答案B。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：1.分別完整答出三點(diǎn)意義，給以滿分；2分別答出三句的關(guān)鍵詞句“特定符號(hào)……表現(xiàn)”、“符號(hào)語(yǔ)言……表現(xiàn)形式”、“數(shù)學(xué)教育”扣除1-2分；3.答出知識(shí)點(diǎn)不完整，按所答知識(shí)點(diǎn)與相應(yīng)所屬意義聯(lián)系性，酌情給分，不超過5分；4.學(xué)生答案與正確答案完全無關(guān)，給予0分。出題目標(biāo)：考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的形式化方法的意義的理解，結(jié)合書上的文本重點(diǎn)知識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生理論知識(shí)13、求證lg5×lg25+lg5×lg4+lg2×lg25+lg2×lg4=2解：（lg2+lg5）（lg25+lg4）=2又由于lg2+lg5=lg10=1，lg25+lg4=lg100=2，于是問題得到解決。14、解答題利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a不等于0）的根的判別問題進(jìn)行類比，求解方程x2-4xy+5y2+2x-8y+5=0的實(shí)數(shù)解x和y。解題思路：若按y整理原方程，則有5y2-4（x+2）y+（x2+2x+5）=0（3）類比ax2+bx+c=0（a不等于0），則y有實(shí)數(shù)解的充要條件是△≥0（3）整理化解后得（x-3）2≤0（2）將x=3帶入原方程可得y=2（2）15、簡(jiǎn)答題（10分）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖（1），根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2,若△ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：解：若△ABC是銳角三角形，則有a2+b2＞c2；………………2分若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2+b2＞c2；.……2分證明：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥CB，垂足為D，……………………1分設(shè)CD為x，則有DB=a-x根據(jù)勾股定理得b2-x2=c2-（a-x）2即b2-x2=c2-a2+2ax-x2∴a2+b2=c2+2ax∵a＞0，x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＞c2；………………2分證明：當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，……1分設(shè)CD為x，則有DB2=a2-x2根據(jù)勾股定理得（b+x）2+a2-x2=c2即b2+2ab+x2+a2-x2=c2∴a2+b2+2ab=c2∵b＞0，x＞0∴2bx＞0∴a2+b2＜c2.………………2分注釋：此道題目，考生若能完整寫出正確答案即可得4分，證明過程各占3分；若有其他證明方法，只要合理，即可酌情給分。16、論述題：12個(gè)球一個(gè)天平，現(xiàn)知道只有一個(gè)和其它的重量不同，問怎樣稱才能用三次就找到那個(gè)球。（注意此題并未說明那個(gè)球的重量是輕是重）

給分原則（若此題20分）：此題考查的是學(xué)生邏輯推理的嚴(yán)密性和逐次漸進(jìn)法的使用，需要學(xué)生細(xì)心面對(duì)及考慮問題具有全面性。①只答出對(duì)球編號(hào)給2分；②在①的基礎(chǔ)上，懂得分步稱量，即使不是用三步稱出來的，也給一半分。③漏掉其中一兩個(gè)步驟，則給15分④其他酌情給分。

【解答】12個(gè)時(shí)可以找出那個(gè)是重還是輕，13個(gè)時(shí)只能找出是哪個(gè)球，輕重不知。

把球編為①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（13個(gè)時(shí)編號(hào)為⒀）

第一次稱：先把①②③④與⑤⑥⑦⑧放天平兩邊，

㈠如相等，說明特別球在剩下4個(gè)球中。

把①⑨與⑩⑾作第二次稱量，

⒈如相等，說明⑿特別，把①與⑿作第三次稱量即可判斷是⑿是重還是輕

⒉如①⑨＜⑩⑾說明要么是⑩⑾中有一個(gè)重的，要么⑨是輕的。

把⑩與⑾作第三次稱量，如相等說明⑨輕，不等可找出誰是重球。

⒊如①⑨＞⑩⑾說明要么是⑩⑾中有一個(gè)輕的，要么⑨是重的。

把⑩與⑾作第三次稱量，如相等說明⑨重，不等可找出誰是輕球。

㈡如左邊＜右邊，說明左邊有輕的或右邊有重的

把①②⑤與③④⑥做第二次稱量

⒈如相等，說明⑦⑧中有一個(gè)重，把①與⑦作第三次稱量即可判斷是⑦與⑧中誰是重球⒉如①②⑤＜③④⑥說明要么是①②中有一個(gè)輕的，要么⑥是重的。把①與②作第三次稱量，如相等說明⑥重，不等可找出誰是輕球。

⒊如①②⑤＞③④⑥說明要么是⑤是重的，要么③④中有一個(gè)是輕的。把③與④作第三次稱量，如相等說明⑤重，不等可找出誰是輕球。

㈢如左邊＞右邊，參照㈡相反進(jìn)行。17、解答題：分別用恒等變形以及同解變形解方程18、簡(jiǎn)答題：運(yùn)用具體例子說明遞推法的逐次漸近的作用。解答：舉例：在數(shù)列{an}中a1=1,an+1=eq\f(1,an+1),求an………(舉例5分)a1=1a2=eq\f(1,2)a3=eq\f(1,3)...an=eq\f(1,n)將a1代入an+1=eq\f(1,an+1)中，得到an+1=eq\f(1,1+eq\f(1,n))=eq\f(1,1+n)用遞推法解數(shù)學(xué)問題時(shí)，先嘗試找到解題方法的某種規(guī)律或法則，然后利用這種規(guī)律和法則逐漸推到下去，直到得到正確答案?！?(作用3分)19.

一個(gè)郵遞員投送信件的街道如圖14-1，圖上數(shù)字表示各段街道的千米數(shù)．他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局．問走什么樣的路線最合理，全程要走多少千米？分析：最合理的路線就是選擇最短路線．圖中有很多路線，到底走哪一條路線最短呢？自然是能不重復(fù)走遍所有街道，最后回到郵局．因此這個(gè)問題就變成能否一筆畫出這個(gè)圖形，最后回到起點(diǎn)的“一筆畫”問題．所謂一筆畫，就是從圖形上的某點(diǎn)出發(fā)，筆不離開紙，而且每條線都只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)。我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，把與奇數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)．圖141中A、B、G、I都是偶點(diǎn)，其余的點(diǎn)均為奇點(diǎn)。根據(jù)一筆畫原理，可以判定出圖141不是一筆畫圖形，因?yàn)檫@個(gè)圖形奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過兩個(gè)。顯然這個(gè)圖形不能一筆畫出，但我們可以將這個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成一筆畫圖形。此題要求郵遞員從郵局出發(fā)，最后回到郵局。按一筆畫的原理，只有圖形中的點(diǎn)全部是偶點(diǎn)時(shí)，才能從起點(diǎn)出發(fā)，最后又回到起點(diǎn)。圖141中共有10個(gè)奇點(diǎn)，顯然郵遞員要不重復(fù)走遍所有的街道是不可能的。為使郵遞員從郵局出發(fā)，最后仍回到郵局，必須使10個(gè)奇點(diǎn)都變?yōu)榕键c(diǎn)，這就需要在每?jī)蓚€(gè)奇點(diǎn)之間添加一條線，使全部的奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)。在實(shí)際問題中，就是郵遞員在哪些街道上要重復(fù)走，由于各段街道的路程不同，究竟郵遞員在哪些街道重復(fù)走，能使投郵路線最合理。當(dāng)然必是重復(fù)走的路程最短，總路程才能最短。要達(dá)到這一點(diǎn)，連線時(shí)必須做到以下兩點(diǎn)：（1）連線不能出現(xiàn)重迭；（2）在每一個(gè)首尾相接的封閉圖上，連線的長(zhǎng)度總和不能超過總封閉圖的長(zhǎng)的一半。按照上面兩點(diǎn)，這個(gè)題最佳連線如圖142所示虛線．解：根據(jù)圖142，將10個(gè)奇點(diǎn)全變?yōu)榕键c(diǎn)，且相應(yīng)的投遞路線為：B（郵局）→N→A→I→H→J→F→G→H→J→K→E→F→E→D→L→K→L→M→N→M→C→D→C→B．這條路線最合理（走法不唯一），全程長(zhǎng)為：（1+0.5+2+1+0.5）×4+2×6+1×2=34（千米）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):1.解答思路清晰,有條理，答案正確，給滿分;2.只有答案，沒有分析過程，或者分析過程不完整，思路混亂，酌情給分。20、簡(jiǎn)答題：數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)應(yīng)注重哪幾個(gè)方面的問題？答案：數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)應(yīng)注重四個(gè)方面的問題：在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設(shè)法引起學(xué)生的興趣，并且積極提出問題來參與數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)。在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的儲(chǔ)備方面，使學(xué)生根據(jù)自己的理解主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法。在數(shù)學(xué)思維方式方面，由于邏輯思維是數(shù)學(xué)知識(shí)和理論的主要表現(xiàn)形式，因此應(yīng)當(dāng)格外注重非邏輯思維的培養(yǎng)。在具體創(chuàng)新思維的方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經(jīng)有很多成熟的廣泛運(yùn)用的方法，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地學(xué)習(xí)或運(yùn)用它們，使之與數(shù)學(xué)某些具體的問題相結(jié)合。21、已知集合A=為實(shí)數(shù)，B=已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若為實(shí)數(shù)，（），則=B.C.1D.2解：(1+)/3=2/4=設(shè)b>0，數(shù)列}滿足a1=b,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，2ab+122、論述題：結(jié)合具體小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例說明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)思維方法。（15分）舉例：（5分）上小學(xué)數(shù)學(xué)《分類》課程時(shí)，將一個(gè)玩具包，一個(gè)文具包、一個(gè)服裝鞋帽包和一大堆物品放在講桌上，讓學(xué)生把這些物品分成上面的三類，放在包里。學(xué)生爭(zhēng)著上臺(tái)分類，有的是先把玩具找出來，再找文具，最后找服裝鞋帽；有的是順著一個(gè)一個(gè)地分……學(xué)生在整理房間的模擬活動(dòng)中體會(huì)到了分類的含義和方法，能按給定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類和整理，學(xué)會(huì)了怎樣整理房間。（舉例非常合理且與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有關(guān)，語(yǔ)言簡(jiǎn)潔給5分，舉例較合理給3分，不合理且與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)無關(guān)不給分，其他可酌情給分）（2）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思維的關(guān)系：（5分）從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法的層面分析，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要用于：（1）發(fā)現(xiàn)和總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律；（2）驗(yàn)證和檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題；（3）應(yīng)用和解決數(shù)學(xué)建模問題。在這一過程中，前兩項(xiàng)主要是掌握數(shù)學(xué)的思想、方法和規(guī)律，最后一項(xiàng)是和數(shù)學(xué)建模問題結(jié)合到了一起。由此可以認(rèn)為，（4）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法既是一個(gè)認(rèn)識(shí)、熟悉和理解數(shù)學(xué)內(nèi)在思維方式的過程，（5）又是一個(gè)與數(shù)學(xué)建模相同的運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的過程。（答出橫線處的5個(gè)要點(diǎn)，給5分，每個(gè)要點(diǎn)1分）（3）例子與理論知識(shí)的聯(lián)系：（5分）就像前面的例子，學(xué)生在分類實(shí)驗(yàn)中通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)對(duì)于分類這一知識(shí)點(diǎn)有了更直觀的認(rèn)識(shí)，學(xué)生更好的接受了這一知識(shí)點(diǎn)，掌握了這一數(shù)學(xué)規(guī)律，同時(shí)在這一過程中也養(yǎng)成了驗(yàn)證與檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思維，有效的促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的養(yǎng)成，更好的培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)情感。（例子與理論知識(shí)有緊密聯(lián)系給5分，否則可酌情扣分。）23、簡(jiǎn)答題：用RMI方法試證三角形ABC的三條高線共點(diǎn)（要求寫出解題思路）（12分）解：解題思路：利用坐標(biāo)法將幾何問題映射為代數(shù)問題。（2分）以BC為x軸，以BC邊上的高AD為y軸建立坐標(biāo)系。（1分）不失一般性，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，a），B（b，0），C（c，0），依解析幾何知識(shí)得到三角形ABC三條邊所在直線的斜率分別為：kBC=0，kCA=—a/c，kBA=—a/b。（1分）三條高所在直線的方程分別是：AD：x=0（1分）BE：cx—ay—bc=0（1分）CF：bx—ay—bc=0（1分）解方程組，顯然三個(gè)方程有公共解：x=0，y=—bc/a。（2分）由代數(shù)結(jié)論可獲得幾何解釋，即三角形ABC三條高共點(diǎn)。（2分）24、論述題：化歸法的核心思想是什么？并舉出小學(xué)解決數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)問題加以簡(jiǎn)單說明？答：化歸法的核心思想是指對(duì)問題的轉(zhuǎn)換，一個(gè)問題的處理或者一個(gè)具體數(shù)學(xué)問題的解決都可以有不同的方法，恰到好處地運(yùn)用化歸的原理把問題給予適當(dāng)?shù)奶幚?，就是掌握了化歸法的核心思想。比如說：小學(xué)數(shù)學(xué)問題中，求圓的面積公式？直接解決是很困難的，在教學(xué)中老師可以引導(dǎo)學(xué)生，把求圓的面積公式轉(zhuǎn)化為學(xué)生已熟悉或已解決的長(zhǎng)方形的面積公式，沿著這樣的一個(gè)思維方向，就會(huì)把一個(gè)具體問題轉(zhuǎn)為了一個(gè)可以解決或容易解決的數(shù)學(xué)形式。（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：核心思想的大致意思對(duì)，且舉得例子符合該思想，并加以恰當(dāng)?shù)姆治觯涂梢詽M分了。）25、已知函數(shù)f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab,當(dāng)x∈(-3,2)時(shí),f(x)＞0,當(dāng)x∈(－∞,-3)∪(2,＋∞)時(shí),,f(x)＜0.(15分)(1)求f(x)在[0,1]上的值域(7分)(2)若ax^2+bx+c≤0的解集為R,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.(8分)解析：由題設(shè)可知：-3，2為函數(shù)f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab的兩個(gè)零點(diǎn)，即x=-3，x=2是一元二次方程：ax^2+(b-8)x-a-ab=0的兩根，所以-3+2=-(b-8)/a，-3*2=(-a-ab)/a，解得：a=-3，b=5。-----------------------------------------------------(3分)函數(shù)f(x)=-3x^2-3x+18。(1)，f(x)=-3x^2-3x+18=-3(x+1/2)^2+75/4，函數(shù)f(x)在(-無窮，-1/2)上單調(diào)遞增，在(-1/2，+無窮)單調(diào)遞減，且f(0)=18，f(1)=12。所以f(x)在[0,1]上的值域?yàn)椋篬12，18]；-------------------------------(4分)(2)，由-3x^2+5x+c<=0，得：c<=3x^2-5x=3(x-5/6)^2-25/12-----------------------------------(5分)不等式的解集為R，則：c<=-25/12。故實(shí)數(shù)c的取值范圍為：c<=-25/12。-------------------------------(3分)26、論述題：一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)單獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做了3天另有任務(wù)撤了，余下的工程由乙隊(duì)做15天完成，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？針對(duì)此題，學(xué)生給出以下兩種解法：解法一：1÷[(1-1/12×3）÷15]=20(天）解法二：15÷(1-1/12×3）=20(天）請(qǐng)針對(duì)以上解法分別說出他們的解題思路。標(biāo)準(zhǔn)答案：思路一：（針對(duì)解法一）從工程問題（1分）來考慮，根據(jù)“工作量=工作效率×工作時(shí)間”（2分），把工程看做“1”（1分），先求出乙隊(duì)的工作效率[(1-1/12×3）÷15]（2分），進(jìn)而就可以求出乙隊(duì)單獨(dú)完成的時(shí)間（1分）。思路二：（針對(duì)解法二）從分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的角度（2分）來考慮，乙隊(duì)工作效率不變（1分），工作時(shí)間與工作量成正比（1分），因?yàn)橐谊?duì)15天完成了全工程的(1-1/12×3