初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽

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初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班

第1講平行四邊形

八年級(jí)

知識(shí)總結(jié)歸納

一.平行四邊形的定義：

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形．

（2）平行四邊形的定義包含兩層意義：①它是四邊形；②它的兩組對(duì)邊分別平行，兩者缺一不可．（3）定義既是基本判定也是基本性質(zhì)：假使一個(gè)四邊形兩組對(duì)邊分別平行，那么它是平行四邊形；

反之假使一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它的兩組對(duì)邊分別平行．

二.平行四邊形的性質(zhì)：

（1）角的性質(zhì)：平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等．（2）邊的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．（3）對(duì)角線的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線相互平分．

（4）中心對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)．三.平行四邊形的判定：

（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．（2）一組對(duì)邊法：一組對(duì)邊平行且相等．（3）對(duì)角線法：對(duì)角線相互平分．（4）兩組對(duì)角法：兩組對(duì)角分別相等．（5）兩組對(duì)邊法：兩組對(duì)邊分別相等．四.三角形的中位線：

（1）定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．

（2）三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．

典型例題

一.基本概念和性質(zhì)

具備以下條件的四邊形中，不能確定是平行四邊形的為（）．

A．相鄰的角互補(bǔ)B．兩組對(duì)角分別相等C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等D．對(duì)角線交點(diǎn)是兩對(duì)角線中點(diǎn)

思維的挖掘能力的飛躍

1

八年級(jí)

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如下左圖所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，以下判斷正確的是（）．

A．若AO=OC，則ABCD是平行四邊形B．若AC=BD，則ABCD是平行四邊形

C．若AO=BO，CO=DO，則ABCD是平行四邊形D．若AO=OC，BO=OD，則ABCD是平行四邊形

如上右圖所示，對(duì)四邊形ABCD是平行四邊形的以下判斷，正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞．

（1）由于AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四邊形．（）（2）由于AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．（）（3）由于AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．（）（4）由于AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四邊形．（）（5）由于AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．（）（6）由于AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四邊形．（）

如下圖，在□ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，若?ABE??EBC，AB?2，求□ABCD的

邊長(zhǎng)．

如下圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F(xiàn)為對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且AE=CF，

求證：BE=DF．

B

CAE

D

2

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二.穩(wěn)定提高

如圖，在□ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AF?CE，求證：四邊形BEDF是平

行四邊形．

如圖，在△ABC中，AB?AC，AB?12cm，F(xiàn)是AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F作FE∥BC交CA于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作ED∥AB交BC于點(diǎn)D，求四邊形BDEF的周長(zhǎng)．

CE是?DCB的平分線，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AB?6，BC?4，AE:EF:FB如圖，在□ABCD中，

DFEC

ABA

FE

BD

C

是多少？

在□ABCD中，以AD、BC為邊分別向外作正△ADE、正△BFC，連結(jié)DB、EF交于O點(diǎn)，

求證：DO?BO，EO?FO．

AEFDC

?B

AE

D

OBC

F

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形．

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如圖，AD、BE、CF是△ABC的三條中線，F(xiàn)G∥BE，EG∥AB，則ADCG是平行四邊

A

G

FEBD

C

如下圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，在AB的延長(zhǎng)線上截取BE=AB，BF=BD，連接

CE，DF，相交于點(diǎn)M．求證：CD=CM．

三.與平行四邊形相關(guān)的雜題

如下圖，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF與GH相交于點(diǎn)O，圖中有多少個(gè)平

行四邊形？

如下圖，P是四邊形ABCD的DC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形滿足什么條件時(shí)，△PBA的

面積始終保持不變？

AB

PDCADEOGH

CFB

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周長(zhǎng)為98，求□ABCD的面積．

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如圖，在□ABCD中，AE?BC于E，AF?CD于點(diǎn)F，若AE?6，AF?8，□ABCD的

BAF

E

C

D

如圖，△ABC中，AB?5，BC?6，AC?7，若以A、B、C為頂點(diǎn)作平行四邊形，求所

作的平行四邊形的周長(zhǎng)．

平行四邊形的對(duì)角線分別是10和16，求它的邊長(zhǎng)的范圍．

BC

A

四.三角形的中位線

如圖，E為□ABCD中DC邊延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且CE?DC，連AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、

G，連AC交BD于O，連OF、BE．

（1）求證：AC?BE．（2）求證：AB?2OF．

AOGBFCD

E

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1AD．2

如下圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB且交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，BF

交于點(diǎn)M，連接CF，DE交于點(diǎn)N，求證：MN∥AD且MN?

如圖，四邊形ABCD四邊上的中點(diǎn)分別是E、F、G、H．求證：四邊形EFGH為平行四邊

形．

DHF

G

C

AEB

如圖，四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是對(duì)角線BD、AC的

中點(diǎn)．求證：EF和GH相互平分．

如圖，E、F為△ABC邊AB、BC的中點(diǎn)，在AC上取G、H兩點(diǎn)，使AG?GH?HC，EG與FH的延長(zhǎng)線相交于D點(diǎn)．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．

BEAGHF

CD

BF

CGH

A

ED6

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EB于F，求證：EF?FB．

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如下圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC為邊作平行四邊形ACED，延長(zhǎng)DC交

思維飛躍

如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，?ADC?2?ABC．求證：AB?AD?CD．

DC

AB

E?BD如圖，在△ABC中，AB?AC中，在AB上取點(diǎn)D，在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使C．連

DE，交BC于G點(diǎn)．求證：DE被BC平分．

A

D

BGC

E

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如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線，交AD于點(diǎn)E，交BC于

點(diǎn)F．若PE?PF，且AP?AE?CP?CF，證明：四邊形ABCD為平行四邊形．

AEDC

PBF1如圖，E、F分別是四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)．求證：EF＜(AB?CD)．

2

CDEF

B

A

如圖，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分線，AF?CE于F，AG?BD于G，連接

FG．求證：FG∥BC．

EADFBGC

8

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作業(yè)

AB∥CD；AB?CD；BC∥AD；BC?AD．1.已知四邊形ABCD，有以下四個(gè)條件：（1）（2）（3）（4）從

這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD成為平行四邊形是選法共有（）A．6種B．5種C．4種D．3種

2.具備以下條件的四邊形中，不能確定是平行四邊形的為（）．A．相鄰的角互補(bǔ)B．兩組對(duì)角分別相等

C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等D．對(duì)角線交點(diǎn)是兩對(duì)角線中點(diǎn)

3.如圖，在□ABCD中，E、F分別在BC、AD上，且AF?CE．求證：四邊形AECF是平行四

邊形．

4.如圖，在□ABCD中，?A?130?，在AD上取DE?DC，求?ECB的度數(shù)．

5.在□ABCD中，AE平分?DAB交BC于E，將BC分為5和4兩部分，求平行四邊形的周長(zhǎng)．

AFD

BE

CAED

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6.如圖，已知□ABCD中，過對(duì)角線的交點(diǎn)的O的直線交CB、求證：AD的延長(zhǎng)線于E和F，BE?DF．

FDOAE

B

C

7.如圖，E、F分別是四邊形ABCD對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，MN過E、F交AB于M，交CD于

N，且AB?CD．求證：?BMN??CNM．

AM