2023屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考“冷門”知識點

2023屆高三數(shù)學(xué)“查缺補漏”部分最近3年高考還沒有考過的“冷門”內(nèi)容，這些內(nèi)容在2023高考中可能成為考察的“熱點”。1．使用韋恩圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算.(1)設(shè)兩集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{y|y＝x2}，則用陰影部分表示A∩B正確的是(B)(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，則圖中陰影部分表示的集合為(D)A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)2．空間幾何體中的臺體及其相關(guān)知識.(1)幾種幾何體(如正三棱錐和正四面體，正四棱柱和正方體等)的概念容易混淆，要注意它們的定義區(qū)別．(2)旋轉(zhuǎn)體的面積名稱圖形側(cè)面積表面積體積圓柱

S側(cè)＝S＝或S＝V＝圓錐

S側(cè)＝S＝或S＝V＝圓臺

S側(cè)＝π(r＋r′)lS＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)球

無S＝V＝注：對于一些不規(guī)則幾何體，常用割補的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體求體積．3．斜二側(cè)畫法畫出直觀圖.(1)已知正三角形ABC的邊長為1，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為________．答案：(2)一個平面四邊形的斜二測直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于________．答案：2eq\r(2)a2(3)如圖，已知△ABC的水平放置的直觀圖是等腰Rt△A′B′C′，且∠A′＝90°，A′B′＝eq\r(2)，則△ABC的面積是(B)A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4eq\r(2)D．14．直線的傾斜角.定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，_x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線與x軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為．因此，直線的傾斜角的取值范圍為．(1)直線xcosα＋eq\r(3)y－5＝0的傾斜角的取值范圍是________．(2)經(jīng)過兩點A(2，1)和B(a，a＋1)的直線l的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))(2)0<a<25．利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系.散點圖的作用(1)如果散點圖中的點的分布幾乎沒有什么規(guī)則，則兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系．(2)散點圖是判斷兩個變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段．(3)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)，．練習(xí)：如圖,是根據(jù)變量x，y的觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)得到的散點圖，由這些散點圖可以判斷變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是(D)A．①②B．①④ C．②③D．③④6．最小二乘法的思想，根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.(1)回歸直線方程的求法——最小二乘法(2)設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的一組觀察值為(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，則回歸直線方程的系數(shù)為：，其中，,稱為樣本點的中心，(3)求線性回歸方程的步驟：①；②計算，，；③代入公式計算的值；④寫出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝.(3)除用散點圖外，還可以用樣本相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量x，y相關(guān)關(guān)系的強弱，其中當(dāng)r＞0，表明兩個變量正相關(guān)_，當(dāng)r＜0，表明兩個變量負相關(guān)______;對于變量，如果r，那么負相關(guān)性很強；如果r，那么正相關(guān)性很強；如果r或，那么相關(guān)性很強；如果r，那么正相關(guān)性一般；如果r，那么相關(guān)性較弱；r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間__幾乎不存在_線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|_>0.75時，認為這兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系．4．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，公式是R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果_越好_；R2的值越小，說明殘差平方和越大，也就是說模型擬合效果_越差_；在線性回歸模型中，R2的值表示解釋變量（自變量x）對于預(yù)報變量（因變量y）的貢獻率.5.殘差圖：以產(chǎn)品編號為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo).殘差圖的作用：(1)通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù),即數(shù)據(jù)采集過程中是否有人為的錯誤；(2)判斷所建立模型的擬合效果.殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.練習(xí)：(1)用最小二乘法所建立起來的線性回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，下列說法正確的是(B)A．使樣本點到直線y＝a＋bx的距離之和最小B．使殘差平方和最小C．使相關(guān)指數(shù)最大D．使總偏差平方和最大(2)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(D)A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心(x，y)C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg7．頻率分布折線圖，莖葉圖的特點。(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小正方形上端的中點，解得到頻率分布折線圖頻率分布折線圖的優(yōu)點：反應(yīng)了數(shù)據(jù)的變化趨勢.(2)莖葉圖的特點:①能夠保留原始數(shù)據(jù)；②能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況；③可以隨時記錄與表示.8．隨機數(shù)的意義，運用模擬方法估計概率。(1)隨機模擬方法定義：使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是隨機數(shù)模擬方法．(2)基本步驟：用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法．這個方法的基本步驟是：①用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；③計算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值．練習(xí)：1（2023年高考福建卷（文））利用計算機產(chǎn)生之間的均勻隨機數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為_______.答案:解析：本題考查的是幾何概型求概率．，即，所以．2.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為(B)A．0.35B．0.25C．0.20D．9．幾何概型的意義.(1)幾何概型概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．(2)幾何概型的基本特點：幾何概型的特征：①無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是無限的，即有無限個不同的基本事件；②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的；③幾何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的測度,試驗全部結(jié)果所構(gòu)成的測度)(測度，即長度、面積、體積等)．練習(xí)：1.已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.其中實數(shù)a，b滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0，))則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率是________．答案：eq\f(1,3).2.在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取一點P，則點P到點A的距離小于等于a的概率為A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)πC.eq\f(1,6)D.eq\f(1,6)π3.如圖，在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C＝30°，求下列事件的概率：(1)在底邊BC上任取一點P，使BP＜AB；(2)在∠BAC的內(nèi)部任作射線AP交線段BC于P，使BP＜AB.解：(1)因為點P隨機地落在線段BC上，故線段BC為區(qū)域D.以B為圓心，BA為半徑畫弧交BC于M，則P必須落在線段BM內(nèi)才有BP＜BM＝BA，于是P(BP<AB)＝P(BP<BM)＝eq\f(BM,BC)＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(BA,2BAcos30°)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).(2)作射線AP在∠BAC內(nèi)是等可能分布的，在BC上取點M，使∠AMB＝75°，則BM＝BA，當(dāng)P落在BM內(nèi)時，BP＜AB.于是所求的概率為eq\f(75,120)＝eq\f(5,8).10．平面向量數(shù)量積的物理意義。功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積，即功是力與位移的數(shù)量積

W=

|F|

|S|

cosα(4)已知一物體在共點力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)的作用下產(chǎn)生位移S＝(2lg5，1)，則共點力對物體做的功W為.解析：W＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5，2lg2)·(2lg5，1)＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2.11．平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。(1)向量數(shù)量積的概念已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a|·|b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ，規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0．(2)向量的投影設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為θ，|a|cosθ稱為向量a在b方向上的投影；|b|cosθ稱為向量b在a方向上．(3)向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與向量b在a方向上的投影的乘積．向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影是一個數(shù)量，不是向量，當(dāng)0°≤θ<90°，它是正數(shù)_；當(dāng)θ＝90°，它是_0_；當(dāng)90°<θ≤180°，它是____負數(shù)____．如圖4－26－1所示b在a方向上的投影的三種情況．練習(xí)：設(shè)e為單位向量，若向量a與e的夾角為，且|a|=2，則e在a－e的投影為（Ａ）Ａ.Ｂ.Ｃ.－2Ｄ.212．利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角，，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A,B.則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有設(shè)的夾角為，于是，所以所以對任意角，，有13．從實際情況中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并加以解決.練習(xí):（2023年四川理10）.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；沒送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當(dāng)天派用甲乙卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤A．4650元B.4700元C.4900元D.5000元答案:C解析:由題意設(shè)派甲，乙輛，則利潤，得約束條件畫出可行域在的點代入目標(biāo)函數(shù)14．簡單的類比推理.類比推理定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫類比推理．簡言之，類比推理是由特殊到_特殊的推理．歸納總結(jié)(1)一般地，類比對象的確定可以從以下兩個方面來思考：①從形式上去思考，如由條件的相似去類比結(jié)論的相似；由命題結(jié)論的相似類比推理方法的相似……，②從內(nèi)容上去思考，形與形類比，低維與高維類比，有限與無限類比，抽象與具體類比……(2)幾何中的類比猜想比較廣泛，常常將三維空間中的對象與二維平面中的對象進行類比；二維平面中的對象與一維中的對象進行類比，如：點與線類比，線與面類比，面與體類比，平面角與空間角類比等等．(3)在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：①找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；②找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等．練習(xí)：1.我們知道，在平面中，如果一個凸多邊形有內(nèi)切圓，那么凸多邊形的面積S、周長c與內(nèi)切圓半徑r之間的關(guān)系為S＝eq\f(1,2)cr.類比這個結(jié)論，在空間中，果已知一個凸多面體有內(nèi)切球，且內(nèi)切球半徑為R，那么凸多面體的體積V、表面積S′與內(nèi)切球半徑R之間的關(guān)系是________．答案：V＝eq\f(1,3)S′R2.在△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體S－ABC中，若SA，SB，SC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S－ABC的外接球半徑R＝________．答案:eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)15．復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)平面上點或向量對應(yīng)復(fù)數(shù)關(guān)系.(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的向量=(a，b)(a，b∈R)練習(xí)：已知平行四邊形OABC的三個頂點O，A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i.試求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)；(2)eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)；(3)B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為－(3＋2i)，即－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.16．平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下的圖形變化.伸縮變換：①函數(shù)y＝af(x)(a>0)的圖象可以看作將函數(shù)y＝f(x)的圖象中的每一點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長（a>1）或壓縮(0<a<1)為原來的a倍得到．②函數(shù)y＝f(ax)(a>0)的圖象可以看作將函數(shù)y＝f(x)的圖象中的每一點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(0<a<1)或壓縮(a>1)為原來的eq\f(1,a)得到．例1已知f(x)是定義在區(qū)間[－c，c]上的奇函數(shù)，其圖象如下圖所示．令g(x)＝af(x)＋b，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的是()A.若a<0，則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點對稱B.若a＝1，0<b<2，則方程g(x)＝0有大于2的實根C.若a＝－2，b＝0，則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱D.若a≠0，b＝2，則方程g(x)＝0有三個實根答案：B解析:方法一：用淘汰法，當(dāng)a<0，b≠0時，g(x)＝af(x)＋b是非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于原點對稱，淘汰A.當(dāng)a＝－2，b＝0時，g(x)＝－2f(x)是奇函數(shù)，不關(guān)于y軸