2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-立體幾何與空間向量-第3節(jié)-空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系練習(xí)-新人教A版

第七章第3節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577641)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能解析：D[在如圖所示的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．]2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577642)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()解析：D[在A圖中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點(diǎn)共面；D圖中PS與QR為異面直線，∴四點(diǎn)不共面，故選D.]3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577643)如圖是某個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，l1，l2是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在正方體中，l1與l2()A．互相平行 B．異面且互相垂直C．異面且夾角為eq\f(π,3) D．相交且夾角為eq\f(π,3)解析：D[將側(cè)面展開圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點(diǎn)重合．故l1與l2相交，連接AD，△ABD為正三角形，所以l1與l2的夾角為eq\f(π,3).故選D.]4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577644)已知空間四邊形ABCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列判斷：①M(fèi)N≥eq\f(1,2)(AC＋BD)；②MN＞eq\f(1,2)(AC＋BD)；③MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)；④MN＜eq\f(1,2)(AC＋BD)．其中正確的是()A．①③ B．②④C．② D．④解析：D[如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接MO，NO，則OM＝eq\f(1,2)AC，ON＝eq\f(1,2)BD.在△MON中，MN＜OM＋ON＝eq\f(1,2)(AC＋BD)，∴④正確．]5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577645)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，那么正方體過P，Q，R的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形解析：D[如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長(zhǎng)與CB延長(zhǎng)線交于M，且QP反向延長(zhǎng)線與CD延長(zhǎng)線交于N，連接MR交BB1于E，連接PE，則PE，RE為截面與正方體的交線，同理連接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G，則QF，F(xiàn)G為截面與正方體的交線，∴截面為六邊形PQFGRE.]6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577646)如圖所示，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿足條件______時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿足條件______時(shí)，四邊形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD7．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577647)(2023·安慶市二模)正四面體ABCD中，E、F分別為邊AB、BD的中點(diǎn)，則異面直線AF、CE所成角的余弦值為________.解析：如圖，連接CF，取BF的中點(diǎn)M，連接CM，EM，則ME∥AF，故∠CEM即為所求的異面直線角．設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，在△ABD中，AF＝eq\r(3)＝CE＝CF，EM＝eq\f(\r(3),2)，CM＝eq\f(\r(13),2)，∴cos∠CEM＝eq\f(\f(3,4)＋3－\f(13,4),2×\f(\r(3),2)×\r(3))＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577648)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與直線C1C相交；②直線AM與直線BN平行；③直線AM與直線DD1異面；④直線BN與直線MB1異面．其中正確結(jié)論的序號(hào)為________.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)解析：AM與C1C異面，故①錯(cuò)；AM與BN異面，故②錯(cuò)．易知③④正確．答案：③④9．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577649)已知空間四邊形ABCD中，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD的中點(diǎn)．(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交．證明：(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為α，則B，C，A，D∈α.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾．所以BC與AD是異面直線．(2)如圖，連接AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，則EFGH為平行四邊形．又EG，F(xiàn)H是?EFGH的對(duì)角線，所以EG與HF相交．10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577650)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。猓?1)如圖，連接AC，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角為90°.∴EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.[能力提升組]11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577651)如圖，ABCD－A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析：A[連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C?平面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線．故選A.]12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577652)(理科)長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E為AB的中點(diǎn)，CE＝3，異面直線A1C1與CE所成角的余弦值為eq\f(5\r(3),9)，且四邊形ABB1A1為正方形，則球O的直徑為()A．4B.eq\r(51)C．4或eq\r(51) D．4或5解析：C[設(shè)AE＝x，則EB＝x，BC＝eq\r(9－x2)，AC＝eq\r(9＋3x2).因?yàn)锳1C1∥AC，所以∠ACE為異面直線A1C1與CE所成角，由余弦定理得eq\f(9＋3x2＋9－x2,2×3×\r(9＋3x2))＝eq\f(5\r(3),9)，所以x4－7x2＋6＝0，所以x2＝1或6，所以x＝1或eq\r(6).設(shè)球O的半徑為R，則2R＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AC2)＝eq\r(AB2＋AC2)＝4或eq\r(51).故選C.]12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577653)(文科)如圖是三棱錐D－ABC的三視圖，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(2),2)解析：A[如圖，三棱錐D－ABC的棱AB，AC，AD兩兩垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)E，連接DE，DO，OE，則AE＝1，OE＝1，∠DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角．DE＝eq\r(2)，AO＝eq\r(2)，DO＝eq\r(3).在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝eq\f(1＋3－2,2×1×\r(3))＝eq\f(\r(3),3).故選A.]13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577654)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________.解析：如圖，取A1C1的中點(diǎn)D1，連接B1D1.因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角．連接AD1，設(shè)AB＝a，則AA1＝eq\r(2)a，所以AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(1,4)a2＋2a2)＝eq\f(3,2)a.所以，在△AB1D1中，由余弦定理得cos∠AB1D1＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋B1D\o\al(2,1)－AD\o\al(2,1),2AB1·B1D1)＝eq\f(3a2＋\f(3,4)a2－\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,2)，所以∠AB1D1＝60°.答案：60°14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577655)如圖，在體積為eq\r(3)的正三棱錐A－BCD中，BD長(zhǎng)為2eq\r(3)，E為棱BC的中點(diǎn)，求：(1)異面直線AE與CD所成角的余弦值；(2)正三棱錐A－BCD的表面積．解：(1)過點(diǎn)A作AO⊥平面BCD，垂足為O，則O為△BCD的中心，由eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3×AO＝eq\r(3)，得AO＝1.又在正三角形BCD中得OE＝1，所以AE＝eq\r(2).取BD中點(diǎn)F，連接AF，EF，故EF∥CD，所以∠AEF就是異面直線AE與CD所成的角．在△AEF中，AE＝AF＝eq\r(2)，EF＝eq\r(3).所以cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2