數(shù)學(xué)建模知識(shí)課件1p sxjmo

6.2統(tǒng)計(jì)模型

一.關(guān)于隨機(jī)數(shù)據(jù)

實(shí)際問題中的測(cè)試數(shù)據(jù)不可避免地疊加有隨機(jī)測(cè)試誤差,

隨機(jī)數(shù)據(jù)：受到大量隨機(jī)因素的綜合影響,呈現(xiàn)很強(qiáng)的隨機(jī)性的數(shù)據(jù)變量.

隨機(jī)數(shù)據(jù)所代表的變量之間的關(guān)系呈現(xiàn)不確定性,這類變量關(guān)系不能用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來精確描述.

從數(shù)據(jù)的形成來看一般分為兩大類:靜態(tài)數(shù)據(jù)和動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)

回歸分析是基于靜態(tài)數(shù)據(jù)的建模方法.時(shí)間序列分析是基于靜態(tài)數(shù)據(jù)的建模方法.

回歸分析方法與時(shí)間序列分析方法描述的是不同類型數(shù)據(jù)所代表的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系.二、回歸分析法建模6.2節(jié)建立了描述氮肥施肥量與土豆產(chǎn)量間變量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

問題能否對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)？

分析將氮肥施肥量數(shù)據(jù)和土豆的產(chǎn)量數(shù)據(jù)視為非隨機(jī)數(shù)據(jù).實(shí)際數(shù)據(jù)不可避免地含有隨機(jī)誤差.1.回歸模型

數(shù)據(jù)散布圖中的點(diǎn)在“真實(shí)”的函數(shù)曲線上下波動(dòng).

在模型中考慮數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差的影響,可建立以下統(tǒng)計(jì)模型其中ε視為隨機(jī)誤差.其它未知的、未考慮的因素以及隨機(jī)因素的影響所產(chǎn)生.

回歸分析法是一種研究變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法.

將作為考察目標(biāo)的變量稱為因變量(記為Y),而將影響它的各個(gè)變量稱為自變量或可控變量,記為(X1，X2，...XP)

對(duì)可控變量X1，X2，...

Xk的一組觀察值為x1,x2.,…,xk,若Y的條件數(shù)學(xué)期望：存在，稱為Y關(guān)于X1，X2，...XP的回歸函數(shù).稱為Y

對(duì)

X1，X2，...Xk的回歸方程.注回歸函數(shù)是確定性的函數(shù).稱為Y

對(duì)

X1，X2，...Xk的回歸模型.理想的模型應(yīng)當(dāng)有:

1)E(ε)=0;2)D(ε)=E(ε2)=σ2盡可能小.σ2

是用回歸函數(shù)近似因變量Y產(chǎn)生的均方誤差

建立模型涉及三個(gè)問題：1)確定對(duì)因變量Y影響顯著的自變量；2)

確定回歸函數(shù)(x)的類型；3)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì).2.回歸函數(shù)類型的估計(jì)確定實(shí)際問題中，通常未知回歸函數(shù)形式.選擇某個(gè)函數(shù)稱作為其估計(jì)函數(shù),記為為Y關(guān)于X1，X2，...XP的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.回歸分析的基本思想：

根據(jù)自變量X1，X2，...Xk與因變量Y的觀察值去估計(jì)回歸函數(shù).

類似于6.2節(jié)的方法,依據(jù)問題的背景并借助于數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖分析或機(jī)理分析等手段選擇適當(dāng)類型,確定或假定回歸函數(shù)的形式.3.多元線性回歸模型

其中是未知參數(shù)，P＞1,稱為P元正態(tài)線性回歸模型

,稱為回歸系數(shù).理論成熟

通?；貧w函數(shù)是非線性函數(shù),由維爾斯脫拉斯定理,連續(xù)函數(shù)f(x)可由多項(xiàng)式函數(shù)逼近.在多項(xiàng)式回歸模型將Y關(guān)于X的多項(xiàng)式回歸模型轉(zhuǎn)化成為Y關(guān)于Ui=Xi,i=1,2,…P的多元線性回歸模型.

給定可控變量的N組試驗(yàn)數(shù)據(jù),

對(duì)Y做N次獨(dú)立的觀察（試驗(yàn)），試驗(yàn)結(jié)果記為Y1，Y2，…，YN，則有如下的結(jié)構(gòu)式(稱為樣本模型)：i=1,2,…,N,其中P＞1，N＞P，應(yīng)滿足回歸假定:(1)相互獨(dú)立，同服從正態(tài)分布N(0,σ2)；(2)自變量之間不存在完全的或接近完全的線性關(guān)系性.，記多元線性回歸數(shù)學(xué)模型的矩陣形式為Y=Xβ+ε

其中Y稱為因變量向量,X為（數(shù)據(jù)的）結(jié)構(gòu)矩陣或設(shè)計(jì)矩陣,是待估參數(shù)向量,ε是隨機(jī)擾動(dòng)誤差向量.(1)ε～N(ON×1,σ2IN×N),即ε的分量相互獨(dú)立同分布,且;(2)X是非隨機(jī)矩陣，且是對(duì)稱滿秩矩陣.

數(shù)據(jù)特點(diǎn):這類數(shù)據(jù)是若干相關(guān)現(xiàn)象在某個(gè)特定時(shí)間點(diǎn)上所處狀態(tài)組成的,反映一定時(shí)間或地點(diǎn)等客觀條件下各相關(guān)現(xiàn)象之間存在的內(nèi)在聯(lián)系.

模型特點(diǎn):基于靜態(tài)數(shù)據(jù)建立的不含時(shí)間變量的統(tǒng)計(jì)模型.三、關(guān)于時(shí)間序列分析法

時(shí)間序列分析的主要任務(wù)：1）根據(jù)觀察數(shù)據(jù)的特點(diǎn)為數(shù)據(jù)建立盡可能合理的統(tǒng)計(jì)模型;2）用模型的統(tǒng)計(jì)特性去解釋數(shù)據(jù)來源系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，以期達(dá)到預(yù)測(cè)或控制的目的.

時(shí)間序列分析法的研究對(duì)象是時(shí)間序列數(shù)據(jù)(動(dòng)態(tài)類數(shù)據(jù)).

動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù):數(shù)量指標(biāo)在不同時(shí)間點(diǎn)上的數(shù)值,按照時(shí)間的先后順序排列而成的數(shù)列,當(dāng)其受到各種隨機(jī)因素影響,表現(xiàn)出某種隨機(jī)性.

如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中每年的產(chǎn)值、國(guó)民收入、商品銷售量、商品的價(jià)格變化等；變量通常是時(shí)間排序,隨時(shí)間而變的時(shí)間序列

社會(huì)領(lǐng)域中某地區(qū)的人口數(shù)、醫(yī)院患者數(shù)隨時(shí)間推移的變化數(shù)據(jù)；

在自然領(lǐng)域的太陽黑子數(shù)、月降水量、某地區(qū)的月平均溫度等.共同的特點(diǎn)：

序列中的數(shù)據(jù)依賴于時(shí)間,其取值依賴于時(shí)間的變化.

時(shí)間序列是所研究系統(tǒng)是歷史行為的客觀記錄,它包含了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征及其運(yùn)行規(guī)律.

時(shí)間序列的有本質(zhì)特征：具有動(dòng)態(tài)性（記憶性），即相鄰觀察值具有很強(qiáng)的依賴性.

從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看是指系統(tǒng)的現(xiàn)在行為與其歷史的相關(guān)性

從系統(tǒng)的觀點(diǎn)來看,是指系統(tǒng)的記憶性,就是在某一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的輸入對(duì)系統(tǒng)后繼行為的影響.

例一個(gè)患者在t時(shí)刻服用鎮(zhèn)痛藥，可視為神經(jīng)系統(tǒng)在t時(shí)刻有鎮(zhèn)痛藥劑量輸入數(shù)據(jù)Wt

，經(jīng)神經(jīng)系統(tǒng)后產(chǎn)生效果，得到輸出效果數(shù)據(jù)Xt.

輸入Wt神經(jīng)系統(tǒng)輸出Xt鎮(zhèn)痛藥精神狀態(tài)

若藥只在下一時(shí)刻有效,此后無效,即t時(shí)刻服藥,t+1時(shí)刻精神狀態(tài)很好,t+1以后又惡化.

此系統(tǒng)的輸入只影響下一時(shí)刻的行為,而對(duì)以后的行為不發(fā)生作用，稱系統(tǒng)具有一階動(dòng)態(tài)性(或記憶性).常見時(shí)間序列模型:

線性模型

p

階自回歸模型AR(p);q次滑動(dòng)平均模型MA(q);自回歸滑動(dòng)平均模型ARMA(p,q)

建立時(shí)間序列模型的動(dòng)態(tài)思想是認(rèn)為現(xiàn)象的未來行為與現(xiàn)在的行為有關(guān).時(shí)間序列模型是系統(tǒng)記憶性的具體描述.

非線性模型如乘積季節(jié)模型ARIMA(p,r,q)等.

續(xù)例若患者效果時(shí)間序列具有一階動(dòng)態(tài)性,即指t時(shí)刻的輸出主要和前一時(shí)刻相關(guān).可以建立一階自回歸模型AR(1)

其中是白噪聲序列.

問題與因變量Y關(guān)于可控變量X的一元線性回歸樣本模型進(jìn)行比較.二者的區(qū)別:(1)回歸模型需要可控變量X的一組確定性變量值和相應(yīng)的因變量的觀察値,而AR(1)模型用的是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的觀察値;(2)回歸模型描述的是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)另一個(gè)(隨機(jī)或非隨機(jī))變量的相依關(guān)系,而AR(1)模型描述的是時(shí)間序列自身當(dāng)前與過去値的依存關(guān)系;(3)回歸模型是在靜態(tài)的條件下進(jìn)行研究,而AR(1)模型是在動(dòng)態(tài)條件下研究;(4)回歸模型的建立必須滿足回歸假定殘差項(xiàng)相互獨(dú)立而且具有的相同分布,從而也應(yīng)相互獨(dú)立；而AR(1)模型描述的時(shí)間序列其相鄰時(shí)刻上的隨機(jī)變量存在一定的相關(guān)關(guān)系.