第八章 組合變形及連接部分的計算

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知識要點

1．組合變形的概念(1)組合變形

構件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形。(2)組合變形下的強度計算的方法①計算步驟

a.將外力簡化為符合各基本變形的外力條件下的靜力等效力系。b.由各基本變形的內(nèi)力圖及應力變化規(guī)律確定構件危險點的位置。c.計算各基本變形下危險點的應力，并將同類應力進行疊加。d.由危險點的應力狀態(tài)，建立強度條件。

②限制條件─構件材料應聽從胡克定律，且變形很小，同時構件應為修長桿，且所求應力遠離外力作用點。2.斜彎曲：兩相互垂直平面內(nèi)平面彎曲的組合(1)應力計算?x?(2)強度條件?max?或?max?注意：

①危險截面上Mx和My不一定同時達到最大值。

MymaxWyMymaxIy?Mzmax?[?]WzMzmaxy1?[?]IzMyIyz?MzyIzz1?②危險點為距中性軸最遠的點。若截面有棱角，則危險點必在棱處；若截面無棱角，在危險點為截面周邊與平行于中性軸之直線的切點。③中性軸一般地不垂直于外力作用線(或中性軸不平行于合成的彎矩矢量)

tan??Iztan?Iy④若[?t]?[?c]，則拉壓強度均應滿足。3.軸向拉(壓)與彎曲組合、偏心拉壓(1)應力計算

FNMyM?x???z1?z

AIyIz(2)強度條件

?max??FNMymaxM?z1?zmaxy1?[?]AIyIz4.扭轉與彎曲組合(只考慮圓形截面桿)(1)應力計算??MT，??WW因只考慮圓截面桿的扭轉與彎曲的組合，圓截面任一直徑都是形心主慣性軸，故可先求其合成彎矩

M?My2?Mz2

然后再計算彎曲正應力。否則，彎曲正應力應按斜彎曲計算。(2)強度條件

危險點在圓截面邊緣上。

第三強度理論?2?4?2?[?]

對圓截面可用

1WM2?T2?[?]

第四強度理論?2?3?2?[?]對圓截面可用5.連接件的實用計算(1)剪切及其實用計算①剪切的力學模型

a.受力特征：構件受一對大小相等、方向相反、作用線相互垂直緊靠但不重合的平行力作用。

b.變形特征：構件沿二平行力的交界發(fā)生相對錯動。②剪切面─構件將發(fā)生相互錯動的面。

④剪力─剪切面上的內(nèi)力，其作用線與剪切面平行。

④使用計算方法─根據(jù)構件破壞的可能性，以直接試驗為基礎，用剪切面上的平均應力(名義應力)來進行構件的強度計算。⑤平均切應力(或名義切應力)

假設切應力在整個剪切面上均勻分布，則平均切應力等于剪切面上的剪力被剪切面積除，即??⑥剪切強度條件??FS?[?]AsFSAs1WM2?0.75T2?[?]

式中，[?]為根據(jù)直接試驗并按名義切應力公式(平均切應力計算公式)求得的材料的許用切應力。

(2)擠壓及其實用計算

①擠壓─構件局部面積的承壓作用。

②平均(名義)擠壓應力─假設擠壓應力在有效擠壓面上均勻分布，則?bs?FbsAbs平面接觸時，有效擠壓面積Abs等于實際承壓面積，柱面接觸時，有效擠壓面積為實際承壓面積在其直徑平面上的投影。

習題詳解

8-114號工字鋼懸臂梁受力狀況如題8-1圖所示。已知l?0.8m,

F1?2.5kN，F(xiàn)2?1.0kN，試求危險截面上的最大正應力。

解這是個斜彎曲問題。在截面A上，彎矩My和Mz值都達到最大值，所以截面A是危險截面，最大正應力發(fā)生在截面A的棱角處。查文獻1附錄Ⅲ型鋼表可得14號工字鋼截面的彎曲截面系數(shù)

Wz?102?10?6m3,Wy?16.1?10?6m3截面A上的彎矩

Mz?F1??F1?l?所以危險截面上的最大正應力

l23F1l，My?F2l2?max?MyWy?MzF2l3F1l??WzWy2Wz?1.0?103?0.83?2.5?103?0.8????16.1?10?6?2?102?10?6??Pa

???79.1MPa

8-2受集度為q的均布荷載作用的矩形截面簡支梁，其荷載作用面與梁的縱向對稱面的夾角??300，如題8-2圖(a)所示。已知該梁材料的彈性模量E?10GPa；梁的尺寸為l?4m,h?160mm,b?120mm；許用應力

[?]?12MPa；許可撓度[?]?l。試校核梁的強度和剛度。150

解這是個斜彎曲問題。梁的最大彎矩發(fā)生在梁跨中截面上，將

q沿y軸方向和z軸方向分解為

qy?qcos300，qz?qsin300中間截面的彎矩

qzl2Mz?，My?

88qyl2最大正應力發(fā)生在截面的尖角處，如題8-2圖(b)所示的1、2點，1點受拉應力，2點受壓應力，二者數(shù)值相等，為?max?MyWy?Mz6qzl6qyl??22Wz8hb8bh?6?2?103?cos300?426?2?103?sin300?42?????Pa22??8?0.12?0.168?0.12?0.16??

?12MPa?[?]?12MPa

簡支梁分別在qy、qz單獨作用時，最大變形都發(fā)生在中間截面，在z、y兩個方向的撓度與跨度比分別為

?maxl5qzl35?2?103?sin300?43?121???103384EIy276384?10?0.16?0.125?2?103?cos300?43?121???103384EIz283384?10?0.12?0.165qyl3?maxl梁的總撓度與跨度比為

?maxl?????ymax????zmax??????l??l?22221??1?[?]1?????????0.0051?276283l150????所以梁的強度、剛度均滿足安全要求。

8-3懸臂梁受集中力F作用，如題8-3圖(a)所示。已知橫截面的直徑D?120mm,d?30mm，材料的許用應力[?]?160MPa。試求中性軸的位置，并依照強度條件求梁德許可荷載[F]。

解這是一個斜彎曲變形問題，界面的形心住慣性矩為

??d4?d2?D417?d42?Iz??2????d?????64432?64?64?D4Iy??D464?2??d464??D464??d432

設中性軸與y軸的夾角為?，則tan??MzIyIyFyIy?????cot300MyIzIzFzIz1204304?6432?cot300?1.98?412023?304?6432??63.20

作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面邊緣相切于D1、D2電，如題8-3圖(b)所示，D1點坐標為????max?MyIyz?DD?sin?,cos??，應用強度條件

2?2?MyDMzMDy??cos??zsin??[?]IzIy2Iz2

Fsin300?2?0.120.12?cos63.20Fcos300?2??sin63.2023?4444??0.12??0.03??0.12??17?0.03??64326432?[?]?160MPa解得

[F]?12.1kN

8-4題8-4圖(a)所示，一樓梯木斜梁的長度為l?4m，截面為

0.2m?0.1m的矩形，受均布荷載作用，q?2kN/m。試作梁的軸力圖和

彎矩圖，并求橫截面上的最大拉應力和最大壓應力。

解這是一個壓縮與彎曲組合變形問題，將均布荷載q分解為一對正交分量，如題8-4(b)所示，并有

qx?qsin??1kN，qy?qcos??1.73kN作梁的軸力圖、彎矩圖，如題8-4(c)、(d)所示。

截面A上的最大壓應力

FN4?103??Pa??0.2MPa?A?A0.2?0.1跨中截面上的最大拉、壓應力分別為????MFN?WzA?3.46?1034?103?2?103?sin300?2???2??Pa0.2?0.1?(0.2?0.1)/6??5.29MPa????MFN?WzA?3.46?1034?103?2?103?sin300?2???2??Pa0.2?0.1?(0.2?0.1)/6??5.09MPa

8-5題8-5圖(a)所示一懸臂滑車架，桿AB為18號工字鋼，其長度為l?2.6m。試求當荷載F?25kN作用在AB的中點D處時，桿內(nèi)的最大正應力。設工字鋼的自重可略去不計。

解這是一個壓縮與彎曲組合變形問題，取桿AB為研究對象，作受力圖，如題8-5圖(b)所示。由靜力學平衡條件

?MA?0，F(xiàn)BClsin300?1Fl2解得FBC?F

作桿AB的彎矩圖，如題8-5圖(c)所示，最大彎矩產(chǎn)生在跨中截面上Mmax?Fl

查文獻1附錄Ⅲ可得18號工字鋼的抗彎截面系數(shù)和截面積分別為Wz?185?10?6m3，A?30.6?10?4m2所以桿內(nèi)最大正應力

MmaxFNFlFcos300?????WzA4WzA14?25?103?2.625?103?cos300?????4?185?10?6?30.6?10?4?Pa

???94.9MPa(壓)

8-6如題8-6圖所示，磚砌煙囪高h?30m，底截面積m?m的外徑

d1?3m，內(nèi)徑d2?2m，自重PkN，受q?1kN/m的風力作用。試1?2000求：(1)煙囪底截面上的最大壓應力；

(2)若煙囪的基礎埋深h0?4m，基礎及其填土自重按P2?1000kN計算，土壤的許用壓力[?]?0.3MPa，圓形基礎的直徑D應為多大？

注：計算風力時，可略去煙囪直徑的變化，把它看作是等截面的。

解這是個壓縮與彎曲組合變形問題。m?m截面上的彎矩和鉛垂方向上的壓力分別為M?ql2，F(xiàn)N?P1則最大壓應力

12d1qh?MymaxFNP12??max???2?4?IA142(d1?d2)(d12?d2)6443?1?32?10?30?6?2?2?10?Pa?0.72MPa??2???4422?(3?2)(3?2)?4?64?12圓形基礎底面承受的彎矩和壓力分別為

?M??qh???h0?，P?P1?P2

?h?2基礎底面上的最大應力???M?P?WA2應用強度條件，可得

M?P1?P2??[?]WA2qh(h2?h0)(P1?P2)??[?]?D332?D24103?30?193?106??0.3?10632?D32?D4

5.83.8?2?0.33DD解上式，得D?4.16m

8-7題8-7圖所示螺旋夾緊器立臂的橫截面為a?b的矩形。已知該加緊器工作時承受的加緊力為F?16kN，材料的許用應力[?]?160MPa，立臂厚a?20mm，偏心距e?140mm。試求立臂寬度b。

解這是個變形壓縮問題，應用強度條件

?max?[?]

MFN??[?]WAFFe?N?[?]2ba/6ab得

?6?16?103?0.1416?103?6???Pa?160?10Pa2??0.02b?0.02b?解上式，得b?67.4mm

8-8試求8-8圖(a)所示桿內(nèi)的最大正應力。力F與桿的軸線平行。

解這是個偏心拉伸問題。橫截面如題8-8圖(b)所示，其面積為A?4a?2a?4a?a?12a2形心C的坐標為yC?a?4a?4a?4a?2a?a?2a

a?4a?4a?2azC?0形心主慣性矩Iza?(4a)34a?(2a)32??a?4a?(2a)??2a?4a?a2?32a4

12121[2a?(4a)3?4a?a3]?11a412CIy?C力F對主慣性軸yC和zC之矩

My?F?2a?2Fa，Mz?F?2a?2Fa

CC比較題8-8圖(b)所示截面4個交點上正應力可知，交點4上的正應力最大

FMzC?2aMyC?2aF2Fa?2a2Fa?2aF????????0.5722442AIzCIyC12a32a11aa8-9有一座高為12.m、厚為0.3m的混凝土墻，澆注于穩(wěn)固的基礎上，用作擋水用得小壩，如題8-9圖所示。試求：

(1)當水位達到墻頂時墻底處的最大拉應力和最大壓應力(設混凝土的密度為2.45?103kg/m3)；

(2)假使要求混凝土中沒有拉應力，試問最大許可水深h為多少？

解這是個彎曲與壓縮組合變形問題。取混凝土墻長為a的一段為研究對象，受力圖如題8-9圖所示，則距水面為x的dx微段上承受水的壓力為(?水gx)adx，它對墻底部的彎矩為?水gxdx?(h?x)，則水壓在墻底產(chǎn)生的彎矩M??0?水gxa?(h?x)dx，墻底的最大拉應力和最大壓應力分別為

??maxhM???砼gh?W?h0?水gxa?(h?x)dxab/62??砼gh??水gh3b2??砼gh

?103?9.8?1.23?3????2.45?10?9.8?1.2Pa2??0.3???0.159MPa??max?水gh3M???砼gh???砼gh2Wb?103?9.8?1.23?3????2.45?10?9.8?1.2Pa2??0.3???0.217MPa

欲使混凝土中沒有拉應力，則應滿足??max??水gh?3b2103?9.8h?3??砼gh??2.45?103?9.8?1.2?020.3解上式，得許可水深[h]?0.64m

8-10受拉構件形狀如題8-10圖所示，已知截面尺寸為40mm?50mm，承受軸向拉力F?10kN?，F(xiàn)拉桿開有切口，如不計應力集中影響，當材料的[?]?100MPa時，試確定缺口的最大許可深度，并繪出切口截面的

應

力

變

化

圖

解這是個偏心拉伸問題。切口截面的彎矩、彎曲截面系數(shù)和截面積分別為

M?F(20?40?xx)?F225?(40?x)2mm2Wz?6A?(40?x)?5mm2應用強度條件??MF?WzA?F?[?]2(0.04?x)?0.005(0.04?x)?0.0056?Fx2解得500x2?64x?0.32?0x?5.21?10?3m

切口截面的應力變化如題8-10圖(9)。

8-11一圓截面直桿受偏心拉力作用，偏心距e?20mm，桿的直徑為

70mm，許用拉應力[?]?120MPa。試求許可偏心拉應力值。

解這是個偏心拉伸問題，桿截面上的最大拉應力應滿足強度條件

?max?MF32Fe4F????[?]32WA?D?D解上式，得許可偏心拉力[F]?[?]4??32e?32???D?D??

?32?0.024????120?106??N?141kN?32?????0.07??0.07???8-12題8-12圖所示的一漿砌塊石擋土墻，墻高4m。已知墻背承受的土壓力F?137kN，并且與鉛垂線成夾角??45.70，漿砌石的密度為

2.35?103kg/m3，其他尺寸如下圖。試取1m長的墻體作為計算對象，

試計算作用在截面AB上A點和B點處的正應力。又砌體的許用壓應力

[?c]為3.5MPa，許用拉應力[?t]為0.14MPa，試作強度校核。

解這是個偏心壓縮問題，截面AB上的內(nèi)力分量為

2M?P1?0.8?Fsin45.70?1?P2(1.1?1.6?)?Fcos45.70?(1.1?cot68.20)3?[2.35?103?9.8?4?0.6?1?0.8?137?103?sin45.70

12??2.35?103?9.8??4?1.6???1.1?1.6??

2?3??137?103?cos45.70??1.1?cot68.20?]N?m?72858N?m

1FN?P1?P2?Fcos45.70?(2.35?103?9.8?4?0.6?2.35?103?9.8??4?1.62?137?103?cos45.70)N?2246N49則A點正應力?A??MFN?72858224649??????Pa2?WA?1?2.2/61?2.2???0.192MPa?[?c]?3.5MPa則B點正應力?A?MFN?72858224649?????Pa2?WA?1?2.2/61?2.2???0.0118MPa?[?c]?3.5MPa

截面AB上只受壓應力，最大壓應力產(chǎn)生在A點，小于許用壓應力，所以滿足強度要求。

8-13試確定題8-13圖(a)所示十字形截面的截面核心邊界。

解首先求出與截面有關的幾何參數(shù)A?(5?0.2?0.2)m2?0.2m2

?0.6?0.23?4?0.2?0.232???2???0.2?0.2?0.2Iy?Iz???m??12????12?3.87?10?3m4

3.87?10?22m?1.9?10?2m2i?i??A0.22y2zIy作①、②、…⑧等8條直線，將它們看作是中性軸，其中①、③、⑤、⑦分別于周邊AB、DE、GH和IJ相切，而②、④、⑥、⑧則分別為連接頂點B和D、E和G、H和I、J和A的直線，如題8-13圖(b)所示。依次求出它們在y、z坐標軸上的截距，并計算出與這些中性軸對應的核心邊界1、2、…8點的坐標值，再利用中性軸繞某一點旋轉時，相應的外力作用點移動的軌跡為一直線，將8個點中各相鄰兩點用直線連接，即截面核心邊界。其計算結果列于下表中。截面核心為正八邊形，其中有4個頂點在與截面各邊平行的兩對稱軸上，相對的兩頂點間距離為128mm,如題8-13圖(c)所示。

中性軸編號中性軸截距/m①0.3∞1②0.4-0.42③∞-0.3300.064④-0.4-0.440.0480.048⑤-0.3∞50.0640⑥-0.40.460.048⑦∞0.370⑧0.40.48-0.048ayaz2?y??iyay對應的截面核心邊界上的點截面核心邊界上點的坐標值/m-0.064-0.04800.048?z??iz2az-0.048-0.064-0.0488-14試確定題8-14圖所示各截面的截面核心邊界

解(a)首先求出與截面有關的幾何性質

?2??0.542?22?A??0.8?m?0.411m??64???0.84??0.544?44?Iy?Iz???m?0.03m?12?64??iy2?iz2?0.032m?0.073m20.411依照求解題8-13的方法，將計算結果列于下表中。截面核心邊界為正方形，其對角頂點在二對稱軸上，兩頂點間的距離為366mm，如題題8-14(a1)圖所示。

中性軸編號中性軸截距/mayaz2?y??iyay①0.4∞1-0.183②∞0.420③-0.4-∞30.183④-∞-0.440對應的截面核心邊界上的點截面核心邊界上點的坐標值/m?z??iz2az0-0.18300.183(b)首先求出與截面有關的幾何性質

A?(0.1?0.2?0.05?0.1)m2?1.50?10?2m2

?0.1?0.230.05?0.13?4?Iy???m?6.25?10?5m4?12?12???0.2?0.130.1?0.053?4?54?Iz???m?1.56?10m?12?12??6.25?10?52?32i??m?4.17?10m?2A1.5?102yIyIz1.56?10?52i??m?1.04?10?3m2?2A1.5?102z

依照求解題8-13的方法，將計算結果列于下表中。截面核心邊界為平行四邊形，四個頂點均在二對稱軸上，兩頂點間的距離分別為

41.6mm和83.4mm，如題8-14

中性軸編號中性軸截距/m圖(b1)所示。

①②∞0.0120-0.417③-0.05∞30.2080④∞-0.01400.417ayaz0.05∞1-0.2080對應的截面核心邊界上的點2截面核心邊?y??iyay界上點的坐?z??iz2az標值/m(c)首先求出與截面有關的幾何性質

?1??0.22?22?A???m?0.0157m?2?4??z0?2d?2?0.2??2???m?4.244?10m3??3??1?d4?1??0.24?4?Iz?????m?3.925?10?5m4??264?264?2Iy?Iy?Az0?[3.93?10?5?0.0157?(4.24?10?2)]m4?1.097?10?5m4

0?1.097?10?5?2?42?i???m?6.99?10m?A?0.0157??2y0Iy0Iz?3.925?10?5?2?32?i???m?2.50?10m??A?0.0157?2z

依照求解題8-13的方法，將計算結果列于下表中。截面核心邊界為扇形，如題8-14圖(c1)所示。

中性軸編號中性軸截距/m①②∞0.057620-0.012③-0.01∞30.0250④∞-0.0424400.017ayaz0.01∞1-0.0250對應的截面核心邊界上的點2截面核心邊?y??iyay界上點的坐?z??iz2az標值/m8-15曲拐受力如題8-15圖(a)所示，其圓桿部分的直徑d?50mm。試畫出表示A點處應力狀態(tài)的單元體，并求出其主應力及最大切應力。

解這是個彎扭組合變形問題，A點的應力分量為

M3.2?103?0.09???Pa?23.5MPa3W(??0.05)/32T3.2?103?0.14???Pa?18.3MPa3WP(??0.05)/16應用主應力計算公式，有

22?23.5?????23.5?????22????????????18.3?MPa

????2?2??2??2????(11.8?21.7)MPa???33.5MPa

??9.9MPa依照主應力排序規(guī)則，可確定三個主應力為?1?33.5MPa，?2?0，?3??9.9MPa最大切應力?max??1??32?33.5?9.9MPa?21.7MPa2A點的應力狀態(tài)如題8-15圖(b)所示。

8-16如題8-16圖所示鐵道路標圓心好板，裝在外徑D?60mm的空心圓柱上，所受的最大風載p?2kN/m2，[?]?60MPa。試按第三強度理論選定空心柱的厚度。

解這是個彎扭組合變形的問題。危險截面在圓柱的根部，橫截面上的扭矩和彎矩分別為

???0.52?3?T??p?0.6???2?10?0.6?4?N?m?235.5N?m4?????0.52?3?M??p?0.8???2?10?0.8N?m?314N?m??4?4??D2?D2應用第三強度理論

M2?T2W?0.06?22314?235.5???2???Pa?[?]44?(0.06?d)????64???r3??60?106Pa可得d?54.7mm空心柱厚度??D?d60?54.7?mm?2.65mm228-17一搖絞車如題8-17圖(a)所示。已知軸的直徑d?25mm，材料為

Q235鋼，其許用應力[?]?80MPa。試按第四強度理論求絞車的最大起

吊重量P。

解這是個彎扭組合變形問題，絞車軸的受力圖如題8-17圖(b)所示。由靜力學平衡條件可得

FAz?F?0.5P，F(xiàn)Ay?0.5P，F(xiàn)By?0.2P，F(xiàn)?0.3P

軸的彎矩圖和扭矩圖如題8-17圖(c)所示。危險截面在C處，由第四強度理論

?r4?

2(My?Mz2)?0.75T2M2?0.75T2??[?]3W?d32(0.15P)2?(0.07P)2?0.75?(0.15P)2?803(??0.025)/32解上式，得吊車的最大起吊重量P?0.58kN

8-18題8-18圖(a)所示的齒輪傳動裝置中，第Ⅱ軸的受力狀況及尺寸如題8-18圖(b)所示。軸上大齒輪1的半徑r1?85mm，受周向力Ft1和徑向力Fr1作用，且Fr1?0.364Ft1；小齒輪2的半徑r2?32mm，受周向力

Ft2和徑向力Fr2作用，且Fr2?0.364Ft2已知軸工作時傳遞的功率

P?73.5kW，轉速n?2000r/min，軸的材料為合金鋼，其許用應力

[?]?150MPa。試按第三強度理論計算軸的直徑。

解軸傳遞的扭矩T???9550??73.5??N?m?351N?m2000?軸的受力圖如題8-18圖(c)所示。由靜力學平衡條件可得FAy??1.21kN,FAz??2.29kNFBy??1.21kN,FBz??2.29kN

T?Ft1r1?Ft2r2

將Fr1?0.364Ft1，F(xiàn)r2?0.364Ft2帶入上式，得Ft1?4.13kN，F(xiàn)t2?10.97kNFr1?1.5kN，F(xiàn)r2?3.99kN

作軸的彎矩圖，如題8-18圖(c)所示，從彎矩圖可知，2輪的所在截面為危險截面，由第三強度理論?r3?解得

32My?Mz2?T2W?[?]

d?232My?Mz2?T2?[?]32211.32?513.52?3512?m?35.5mm

??150?10338-19一框架由直徑為d的圓截面桿組成，受力如題8-19圖(a)所示。試給出各桿危險截面上危險點處單元體的應力狀態(tài)。

解沿截面B、C將框架截開，各桿受力圖如題8-19圖(b)所示。桿BC因結構和荷載均對稱，所以有

FB?FC?F,MB?Mc2由桿AB和桿BC在B處的變形相容條件?BA??B有

MeBlFl2?MBlMCl??????

GIP16EI?3EI6EI?解上式得MB?FClG

8(G?E)桿AB的危險截面為A截面，危險點的應力分量為????FBl32FBl16Fl??W?d3?d3MB2FlG?3WP?d(G?E)危險點的應力狀態(tài)如題8-19圖(c)所示。

桿CD段的危險截面在截面D，危險點的應力分量為????FCl16Fl?W?d3MC2FlG?3WP?d(G?E)危險點的應力狀態(tài)如題8-19圖(d)所示。

作桿BC的彎矩圖，如題8-19圖(e)所示。截面B、C處的彎矩最大，是危險截面，危險點的應力??MB4FlG?3W?d(G?E)危險點的應力狀態(tài)如題8-19圖(f)所示。

8-20兩根直徑為d的立柱，上、下端分別與強勁的頂、底塊剛性連接，并在兩端承受扭轉外力偶矩Me，如題8-20圖(a)所示。試分析桿的受力狀況，繪出內(nèi)力圖，并寫出強度條件的表達式。

解假設上、下二剛性板的相對轉角為?，上板塊和立柱AB的

受力圖如題8-20圖(b)所示，上板塊的靜力學平衡方程為

?Fz?0，F(xiàn)B?FD

y?M?M?0，MBy?MDy

?0，Me?MBx?MDx?FBa

x

立柱AB在力偶矩MBx作用下截面相對于截面的扭轉角(題8-20圖(b))

??MBxlGIP截面B由于同剛性的上板塊連接，所以其繞y軸的轉角?ByFBl2MByl???02EIEI截面B在力FB和彎矩MBy作用在z軸方向產(chǎn)生的撓度?ByFBl3a?????

2EI3EI2MByl2聯(lián)立①～⑥，解得FB?FD?Mea2G22a?l3EMe?a?E2?3???l?G2MBD?MDx?

MBy?MDy?Me

?a?4?l?G2??????l?3?a?E立柱AB的內(nèi)力圖如題8-20圖(c)所示。危險截面是立柱的兩端截面，危險點的應力分量為????MByWz?32MBy?d3

MBxFB16MBx4FB???23WpA?d?d選用第三強度理論建立強度條件?r3??2?4?2?[?]選用第四強度理論建立強度條件?r4??2?3?2?[?]

8-21試校核題8-21圖所示拉桿頭部的剪切強度和擠壓強度。已知圖中尺寸D?32mm,d?20mm和h?20mm，桿的許用切應力[?]?100MPa，許用擠壓應力[?bs]?240MPa。

解桿頭部的切應力

FS50?10350?103????Pa

AS?dh??0.02?0.012?66.3MPa?[?]?100MPa拉桿頭部的擠壓應力

Fbs50?10350?103?bs???Pa

Abs?(D2?d2)/4??(0.0322?0.022)/4?102MPa?[?bs]?240MPa

干的切應力和擠壓應力分別小于他們的許用應力，所以拉桿強度滿足要求。

8-22水輪發(fā)電機組的卡環(huán)尺寸如題8-22圖所示。已知軸向荷載

F?1450kN，卡環(huán)材料的許用切應力[?]?80MPa，許用擠壓應力

[?bs]?150MPa。試校核卡環(huán)的強度。

解作用在卡環(huán)上的切應力

FSF1450?103????Pa

AS?dh??0.38?0.04?30.4MPa?[?]?80MPa作用在卡環(huán)上的擠壓應力

FbsF4?1450?103?bs???Pa

Abs?(D2?d2)/4??(0.382?0.322)?44MPa?[?bs]?150MPa

卡環(huán)的切應力和擠壓應力均小于各自的許用應力，所以卡環(huán)是安全的。

8-23正方形截面的混凝土柱，其橫截面邊長為200mm，其基底為邊長a?1m的正方形混凝土板。柱承受軸向壓力F?100kN，如題8-23圖所示。假設地基對混凝土板的支反力為均勻分布，混凝土的許用切應力為[?]?1.5MPa，試問為使柱不穿過混凝土板，混凝土板所需的最小厚度?應為多少？

解地基對混凝土板的支反力集度p?F2a

由混凝土板的剪切強度條件

FSF?p?0.22????[?]

AS4?0.2?解得混凝土板所需的最小厚度

F?F2?0.2105?105?0.22a2?m?80mm

4?0.2[?]4?0.2?1.5?106??8-24題8-24圖(a)所示為一螺栓接頭。已知F?40kN，螺栓的許用切應力[?]?130MPa，許用擠壓應力[?bs]?300MPa。試計算螺栓所需的直徑。

解取題8-24圖(a)所示的接頭左邊螺栓為研究對象，作受力圖，如題8-24圖(b)所示，螺栓受雙剪切，剪切面上的剪力為F/2，由剪切強度條件

FSF/22?40?103???2??[?]?130MPa

As?d/4??d2解得螺栓所需直徑d?14mm由擠壓強度條件

FbsF/240?103?bs????[?bs]?300MPa

Absdh2?0.01d解得螺栓所需直徑

d?6.7mm

從以上兩種所需直徑的計算結果中，取其大者，所以d?14mm

8-25拉力F?80kN的螺栓連接如題8-25圖所示。已知b?80mm，

??10mm，d?22mm螺栓的許用切應力[?]?130MPa，鋼板的許用擠壓

應力[?bs]?300MPa，許用拉應力[?]?170MPa。試校核接頭的強度。

解假設各個螺栓承受的剪力、擠壓力相等，則每個螺栓所承受的剪力、擠壓力都為

F。4(1)螺栓的剪切強度校核

FSF/480?103???2?Pa

As?d/4??0.0222?52.6MPa?[?]?130MPa(2)螺栓的擠壓強度校核

FbsF/480?103?bs???Pa

Absd?4?0.022?0.01?90.9MPa?[?bs]?300MPa(3)鋼板的拉伸強度校核

鋼板的危險截面是連接板的中央，兩個螺栓孔所在的橫截面，此截面上的軸力為FN?F，所以鋼板內(nèi)的最大拉應力

343FFN80?103?34??Pa??A(b?2d)?4?0.01?(0.08?2?0.022)?166.7MPa?[?]?170MPa

8-26兩直徑d?100mm的圓軸，由凸緣和螺栓連接，共有8個螺栓布置在D0?200mm的圓周上，如題8-26圖所示。已知軸在扭轉時的最大切應力為70MPa，螺栓的許用切應力[?]?60MPa。試求螺栓所需的直徑d1。

解假設各個螺栓承受的剪力一致，都為FS，則8個螺栓所受剪力對軸線的力矩之和應當與軸所傳遞的扭矩平衡，所以有

T?8FSD02因此，每個螺栓承受的剪力FS?T4D0圓軸扭轉時橫截面上最大切應力?max?螺栓的剪切強度條件為??FS4FS??[?]As?d12T16T?Wp?d3聯(lián)式①、②、③，可解得螺栓所需直徑

?maxd370?106?0.13?m?19.1mmd1?16D0[?]16?0.2?60?1068-27一托架如題8-27圖(a)所示。已知外力F?35kN，鉚釘?shù)闹睆?/p>

d?20mm，鉚釘與鋼板為搭接。試求最危險的鉚釘剪切面上切應力的

數(shù)值及方向。

解將力F向4個鉚釘連線的中心C簡化，得到一個力F0和一個力偶矩m0，并有

F0?F

m0?F?0.225?35?103?0.225N?m?7.88kN?m

假設各鉚釘承受的剪力，其水平分量與該鉚釘離鉚釘連線中心C的垂直距離成正比，鉛錘分量通過4個鉚釘?shù)倪B線，并且相等，所以有F1y?F2y?F3y?F4y?F35?kN?8.75kN44F1x?(3?0.075)?F2x?0.075?m0

F1x112.5??3F2x37.5聯(lián)式①、②、③，可解得

F1x?F4x?31.5kN，F(xiàn)2x?F3x?10.5kN則各鉚釘承受的剪力

F1S?F4S?8.752?31.52kN?32.7kNF2S?F3S?8.752?10.52kN?13.