機(jī)械振動(dòng)拓展與提高人教版

第一章機(jī)械振動(dòng)

第一節(jié)機(jī)械振動(dòng)

一、知識(shí)體系

（一）簡諧運(yùn)動(dòng)

1、機(jī)械振動(dòng)

物體在某一位置附近來回往復(fù)地運(yùn)動(dòng)，稱為“機(jī)械振動(dòng)”。例如，彈簧

振子、擺輪、音叉、琴弦以及蒸汽機(jī)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)等等。凡有搖擺、晃

動(dòng)、打擊、發(fā)聲的地方都存在機(jī)械振動(dòng)。振動(dòng)是自然界最常見的一種運(yùn)動(dòng)形

式，波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程。振動(dòng)遠(yuǎn)不止于機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍，熱運(yùn)動(dòng)、電磁運(yùn)

動(dòng)中相應(yīng)物理量的往復(fù)變化也是一種振動(dòng)。產(chǎn)生振動(dòng)的必要條件之一是物體

離開平衡位置就會(huì)受到回復(fù)力的作用；另一條件是阻力要足夠小。當(dāng)然物體

只有慣性，而物體的慣性使物體經(jīng)過平衡位置時(shí)不會(huì)立即靜止下來。每經(jīng)過

一定時(shí)間后，振動(dòng)體總是回復(fù)到原來的狀態(tài)（或位置）的振動(dòng)稱為周期性振

動(dòng)。不具有上述周期性規(guī)律的振動(dòng)稱為非周期性振動(dòng)。

2、回復(fù)力

能夠使振動(dòng)物體回到平衡位置的力稱作‘'回復(fù)力"。每當(dāng)振動(dòng)物體離開

平衡位置就會(huì)受到回復(fù)力的作用。它跟向心力的情況類似，回復(fù)力是根據(jù)力

的效果而命名的，而不是根據(jù)力的性質(zhì)命名的。它可能是重力、強(qiáng)力等各種

性質(zhì)的力，也可能是它們的分力或合力。例如單擺中，回復(fù)力是重力的切向

分量；彈簧振子中，回復(fù)力是彈簧形變后產(chǎn)生的彈力。

圖1—1

3、彈簧振子

彈簧振子一種簡諧振子。它的典型結(jié)構(gòu)是由一個(gè)一端固定，質(zhì)量可以忽

略的輕彈簧和連在它另一端(自由端)的一個(gè)帶孔而不易變形的小球，并將

球穿在i根光滑的水平桿上組成，這樣的，以及與此類似的系統(tǒng)稱為彈簧振

子。如圖1-1所示，當(dāng)小球處于0點(diǎn)時(shí)，所受外力的合力為零，彈簧沒有形

變，小球不受力，這點(diǎn)就是平衡位置。將小球從平衡位置0向右拉到B,然

后釋放，小球?qū)⒀貤U左右振動(dòng)起來，當(dāng)小球在振動(dòng)過程中，它的重力和桿的

支持力始終平衡。桿又很光滑，對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)又沒有阻力(些小阻力可略而

不計(jì))，對(duì)振動(dòng)起作用的只是彈簧作用在小球上的彈力。當(dāng)小球受外力作用

被拉到0點(diǎn)的右側(cè)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)平衡位置的位移方向向右，則彈力方向卻向

左；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)左側(cè)時(shí)，位移方向向左，而彈力方向卻向右，可見這

個(gè)彈力的方向總是跟小球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰品较蛳喾?，指向平衡位置。顯然

這個(gè)彈力就是迫使小球振動(dòng)的回復(fù)力。由胡克定律知彈簧提供的回復(fù)力F的

大小跟小球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰苮成正比，這一關(guān)系式為F=-Kx式中K是彈

簧的勁度系數(shù)，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力與位移方向相反。彈簧振子的振動(dòng)是簡諧運(yùn)

動(dòng)。它是一種理想化的模型。

背景資料］

(-)胡克與胡克定律

胡克(1635~1703)英國物理學(xué)家。1635年7月18日生于懷特島的一個(gè)鄉(xiāng)

村牧師家庭。從小喜好機(jī)械。他在威斯敏斯特中學(xué)畢業(yè)后，1653年作為工

讀生進(jìn)入牛津大學(xué)學(xué)習(xí)，但任了R玻意耳的助手，1663年獲碩士學(xué)位。

1665年擔(dān)任倫敦格雷舍姆學(xué)院幾何教授。胡克在牛津大學(xué)學(xué)習(xí)期間就積極

參加了牛津和倫敦的科學(xué)小組的活動(dòng)。當(dāng)小組發(fā)展為倫敦的皇家學(xué)會(huì)后，

1662年起任學(xué)會(huì)的實(shí)驗(yàn)主持人。1663年成為正式會(huì)員，1677?1683年任學(xué)

會(huì)秘書，并負(fù)責(zé)出版會(huì)刊。在這20多年的學(xué)會(huì)活動(dòng)中，胡克擔(dān)負(fù)不少實(shí)驗(yàn)

和事務(wù)性工作。1703年3月3日在倫敦逝世，享年68歲。

胡克早就注意到彈性體所受的力與其變形之的比例關(guān)系。1678年，他在講

演集《態(tài)勢的恢復(fù)》(dePotentiaRestitutive)中首次公布了他的固體

彈性定律：“有多大的伸長量，就有多大的力?！边@個(gè)定律經(jīng)過AT柯西

于1822年引入應(yīng)力和應(yīng)變這一對(duì)概念，以及G格林1837年的改進(jìn)，成為

胡克定律的現(xiàn)代形式，從而打下了彈性理論和材料力學(xué)的基礎(chǔ)。

（二）關(guān)于胡克的趣聞軼事

1、胡克與惠更斯?fàn)幇l(fā)條鐘的發(fā)明權(quán)

圖1—2圖1—3

關(guān)于彈簧擺輪和發(fā)明權(quán)爭論，暴露了胡克性格的多疑、乖戾和思想不夠

縝密。本來，胡克和惠更斯都是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這種機(jī)件的，在登載胡克定律的

《態(tài)勢的恢復(fù)》一文中確有這一例子并有演示說明（見上文圖），但胡克手

中卻沒有制成于1658年的確切證據(jù)。1660年左右，本來皇家學(xué)會(huì)的玻義

耳、RNforay,WBrouncker考慮支持胡克的發(fā)明，因?yàn)樗鼤?huì)帶來巨大的好

處。在他們支持下起草的專利早請(qǐng)快要達(dá)成協(xié)議時(shí)，胡克要求支持者進(jìn)一步

給以保證，由于這種過份的要求沒有得到滿意的回答，胡克竟主動(dòng)撤回申

請(qǐng)。與此同時(shí)，惠更斯經(jīng)過多年的實(shí)踐與理論計(jì)算后，利用游絲擺輪在

1655-1658年間設(shè)計(jì)了新的擺鐘；惠更斯想將已獲得的專利轉(zhuǎn)讓皇家學(xué)會(huì)

秘書奧登堡（HenryOldenburg1615-167%。這時(shí)胡克妒火中燒，惱羞成

怒，懷疑他的發(fā)明權(quán)被奧登堡泄漏給了惠更斯，于是，挑趣了優(yōu)先權(quán)爭論。

他還請(qǐng)制表匠ThcmasTcnpion做了一個(gè)鐘表送給國王，上刻"Robert

Hooke1658年發(fā)明，工Tempion制造于167竽以示抗議，并罵奧登堡為“知

識(shí)據(jù)客”

2.胡克與牛頓的關(guān)系

1665年，21歲的牛頓還是一個(gè)無名小卒。他把自己關(guān)于光的色散問題

的第一篇論文送到皇家學(xué)會(huì)，30歲胡克這時(shí)已是皇家學(xué)會(huì)會(huì)員兼干事，幾

何學(xué)教授，并被授權(quán)作用常任專家牛頓的論文進(jìn)行評(píng)審。傲慢的胡克，自認(rèn)

為是顏色問題專家，他剛剛發(fā)表了名著《顯微圖集》轟動(dòng)全歐，因此對(duì)牛頓

的論文不屑一顧，沒有看到牛頓論文的革命性意義，于是在私人回信中給予

嚴(yán)厲的批評(píng)。這使牛頓非常惱怒，也在盛怒之下起草了一個(gè)粗暴的回答，并

寄到皇家學(xué)會(huì)會(huì)刊《哲學(xué)學(xué)報(bào)》公開發(fā)表。胡克因此遭到公眾的恥笑。10

年后牛頓又將關(guān)于顏色問題的第二篇論文（關(guān)于薄膜顏色及與此有關(guān)的“關(guān)

于光的假說"）送到皇家學(xué)會(huì)，胡克宣稱，牛頓的全部文章都可以從他的

《顯微圖集》中找到，并且暗示奧登堡與牛頓串通一氣，散布假報(bào)告。胡克

的攻擊信引起牛頓以同樣夸張的詞句進(jìn)行回答，從此二人結(jié)下怨仇，牛頓決

心當(dāng)胡克在世時(shí)決不發(fā)表光學(xué)論文。胡克在這一爭論中幾乎喪失了科學(xué)家的

理智和合作精神。

1677年，胡克看到他的眼中釘奧登堡去世，他又繼任了皇家學(xué)會(huì)秘

書。就在1679年給牛頓的一封信中主動(dòng)提出向牛頓請(qǐng)教自己關(guān)于行星動(dòng)力

學(xué)的觀點(diǎn)，從此又開始了二人間的學(xué)術(shù)性交流。胡克對(duì)萬有引力的貢獻(xiàn)使哈

雷在1686年出版牛頓的《原理》時(shí)轉(zhuǎn)達(dá)了胡克的要求，哈雷在1686年5月

22日給牛頓的信中說：“還有一件事我應(yīng)當(dāng)通知您，即胡克先生關(guān)于您的

引力減小法則也就是與中心距離的平方成反比的發(fā)現(xiàn)，有一些要求。他說您

從他那得知實(shí)情，包括上述觀點(diǎn)，雖然他承認(rèn)做出曲線的證明完全是您自

己，在這種事情上您應(yīng)該做些什么，您最清楚，只是胡克先生似乎希望您應(yīng)

該在序言中把他提一下……”

牛頓5月27日回信加以反駁：他素來認(rèn)為胡克“至少必須節(jié)制一下他

的虛偽”。他還說過由于這種發(fā)明權(quán)的爭論，使他感到“哲學(xué)是沒理攪三分

的貴婦”（見1675年12月7日牛頓致奧登堡的信）。后來由于哈雷等人的

調(diào)解，牛頓才在《原理》第一卷命題IV系IV后的注釋中加上了一段話：

“這第6個(gè)系是在天體中取得的（象克利斯多弗?雷恩爵士、胡克先生和哈

雷博士分別觀察到的）……”

3.死后連一張畫象也沒有留下

胡克在科學(xué)、技術(shù)上的成就是無可置疑的。但是他為了重大發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先

權(quán)問題，比如為了爭發(fā)條鐘的發(fā)明權(quán)以及光學(xué)原理和萬有引力定律等的發(fā)現(xiàn)

權(quán)，曾經(jīng)和惠更斯、牛頓發(fā)生過激烈的爭吵。1686年英國倫敦皇家學(xué)會(huì)同

意出版牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書，胡克卻利用皇家學(xué)會(huì)秘書長的

身分執(zhí)意阻撓，不給經(jīng)費(fèi)。他給牛頓“穿小鞋”的做法，引起了當(dāng)時(shí)英國學(xué)

術(shù)界的不滿，這在一定程度上損害上胡克自己的科學(xué)家形象。

胡克生理和心理上的健康受損幾乎無時(shí)無刻不使他處于痛苦之中。他是

一個(gè)被懷疑有多種疾病的人，他不會(huì)有一整天毫沒病痛地輕松生活。他的多

疑、多剌、不慣于與人合作共事，特別是優(yōu)柔寡斷、拖拉不決的作風(fēng)也影響

了他才能的充分發(fā)揮。

胡克的貢獻(xiàn)與多才多藝，在生前沒有帶他多少歡樂，死后連一張畫象也

沒有留下，歷史上對(duì)他的評(píng)價(jià)也因與牛頓同一時(shí)時(shí)代和領(lǐng)域幾乎相同而相形

失色。

4、簡諧運(yùn)動(dòng)

物體在受到大小跟位移成正比，而方向恒相反的合外力作用下的運(yùn)動(dòng)，

叫做“簡諧運(yùn)動(dòng)”。見彈簧振子條。彈簧振子所作的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)。由于

彈簧振子的回復(fù)力F與位移x成正比而方向相反，它們之間的關(guān)系式用F=-

Kx表示。又彈簧振子的加速度a也與位移x成正比而方向相反。它們之間

的關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律公式F=ma,得ma=-Kx,則a='x,式中m是彈

m

簧振子的質(zhì)量式中負(fù)號(hào)表示加速度與位移方向相反。所以也可以說，凡是回

復(fù)力滿足F=Kx或加速度滿足a=--x的機(jī)械振動(dòng)叫簡諧振動(dòng)。

m

（二）描述振動(dòng)的物理量

1、振幅

振幅是用來表示振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量，振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距

離，叫做振動(dòng)的“振幅”，通常用符號(hào)A表示。簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅是不變的。

強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)定階段振幅也是一個(gè)常數(shù)。阻尼振動(dòng)的振幅逐漸減小，振幅是

可變化的。

有的書上說：“物體離開平衡位置的最大位移，稱作振幅”。應(yīng)明確振

幅與位移是有區(qū)別的。因?yàn)槲灰剖鞘噶?，在坐?biāo)系確定之后，位移是有正負(fù)

之分的。在中學(xué)物理教學(xué)中，振幅本身只表示“振動(dòng)的幅度”。如振動(dòng)的強(qiáng)

弱不變，振動(dòng)的振幅就是一個(gè)不變的量。振幅的單位是米或厘米。

2、周期

對(duì)于任何往復(fù)循環(huán)的物理過程，都用周期表示振動(dòng)的快慢。當(dāng)物體作往

復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)完成一次全振動(dòng)所需要的時(shí)間稱為物體振動(dòng)的“周期”，簡稱周

期，用T表示。周期的單位是秒。振動(dòng)的顯著特點(diǎn)是重復(fù)性，即周期性。所

謂周期性，就是振動(dòng)物體的位移、速度、加速度經(jīng)過一定時(shí)間之后又重復(fù)地

回到原來的數(shù)值，即開始的狀態(tài)。周期這個(gè)物理量是物體運(yùn)動(dòng)周期性的描

述。簡諧振動(dòng)是嚴(yán)格的周期性運(yùn)動(dòng)，它的周期是一個(gè)常數(shù)。有些振動(dòng)（如阻

尼振動(dòng)）的周期是在不斷相對(duì)緩慢地變化。嚴(yán)格地說，這種往復(fù)運(yùn)動(dòng)已不再

是周期性的，但周期這個(gè)物理量仍然可以反映這種運(yùn)動(dòng)的往復(fù)情況。

3、頻率

在1秒鐘內(nèi)，物體完成全振動(dòng)的次數(shù)叫“頻率”。通常用符號(hào)f表示頻

率。在國際單位制中，頻率的單位是赫茲（Hz）,簡稱赫。像周期一樣，頻

率既可以表示作振動(dòng)或其他周期性運(yùn)動(dòng)的物體每秒鐘完成周期性運(yùn)動(dòng)的次

數(shù)，又可以表示某些物理量每秒鐘完成周期性變化的次數(shù)。頻率等于周期T

的倒數(shù)，即41/T

（三）簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象

若從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度，可定義為“質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移x隨時(shí)間t而變

化的規(guī)律，能遵從余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）的振動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)。即

T5T/4

圖1-4

x=Acos（3t+a）。上述兩種說法是對(duì)簡諧振動(dòng)最常用的兩種定義。其實(shí)質(zhì)

是一樣的。

通過上述公式x=Acos（3t+a）,明顯說明，作簡諧振動(dòng)物體的位移x隨時(shí)

間t的變化規(guī)律是遵從余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）的，如將x隨t變化的關(guān)

系，用圖1-4所示的曲線形象地表示出來（橫坐標(biāo)為t,縱坐標(biāo)為位移x）,

就是用振動(dòng)圖線法表示來描述簡諧振動(dòng)。

（四）單擺

單擺又稱數(shù)學(xué)擺。它是由一根上端固定且不會(huì)伸長的細(xì)線（細(xì)線的質(zhì)量

略而不計(jì)）和在下端懸掛的一個(gè)小球（可看作質(zhì)點(diǎn)）所組成。線在豎直位置

時(shí)，小球處于平衡位置0點(diǎn)，將小球從平衡位置略為移動(dòng)后，小球在重力作

用下，將返回到原來的平衡位置0,但在返回平衡位置0后，又因具有動(dòng)能

而繼續(xù)向另一側(cè)運(yùn)動(dòng)，小球就這樣在豎直平面內(nèi)作來回重復(fù)的運(yùn)動(dòng)，這種振

動(dòng)系統(tǒng)稱為“單擺”。

在單擺定義中應(yīng)注意兒段話：1.“……不會(huì)伸長的細(xì)線……小球……”這

是說擺球可以當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)看待，細(xì)繩質(zhì)量略而不計(jì)，擺長可看作是由懸點(diǎn)到小

球球心間長度不變的距離。2.“……小球……”擺球由于體積小，在運(yùn)動(dòng)中空

氣阻力可略而不計(jì)，小球的振動(dòng)可看作只是由重力和繩子彈力的合力引起

的。3.“……略為移動(dòng)……”單擺振動(dòng)只有在振幅很小的時(shí)候才能看作是簡諧

振動(dòng)，所以只能施以很小的外力使擺球略為移動(dòng)，滿足振幅很小的條件。一

般說擺角<5。。4.“……重復(fù)……”就是說，第二次全振動(dòng)與第一次全振動(dòng)所

經(jīng)過的過程是一樣的，這是因?yàn)榭諝獾淖枇雎圆挥?jì)。如果說“往復(fù)”，在

阻厄振動(dòng)的情況下，就不能算簡諧振動(dòng)了。5”……在豎直平面內(nèi)……”如果

擺球運(yùn)動(dòng)不在豎直平面內(nèi)，那么它就不是簡諧振動(dòng)了。因此對(duì)單擺必須嚴(yán)格

定義。

單擺的周期T與擺長1以及擺所在地的重力加速度g值的大小有關(guān)，也與擺

角（擺線和垂線所成的最大夾角0）有關(guān)，而與重錘的質(zhì)量m無關(guān)。數(shù)學(xué)

表達(dá)式為（在擺角?<5。時(shí)，周期可用下式）

1=2嗜

踐景資料］

（一）伽利略發(fā)現(xiàn)的“搖擺的等時(shí)性”

伽利略是中世紀(jì)意大利杰出的物理學(xué)

家、天文學(xué)家，他在科學(xué)史上許多偉大的發(fā)明

和發(fā)現(xiàn)，都是他長期刻苦鉆研細(xì)心觀察的結(jié)

果。

伽利略在幼年時(shí)，就很愛動(dòng)腦筋，善于留心觀

察事物。在學(xué)校里，伽利略勤奮刻苦，他很快學(xué)會(huì)了拉丁文、希臘文、哲

學(xué)，就連圖畫和音樂，他也學(xué)得很好。父親看到這種情況，就放棄了要他做

布商的念頭，將他送進(jìn)比薩大學(xué)。

在大學(xué)里，伽利略非但勤學(xué)，而且仍然保持善于觀察事物的好習(xí)慣，

別人司空見慣、習(xí)以為常的現(xiàn)像，他卻要問一個(gè)為什么，并能從中領(lǐng)悟出新

奇的東西。

有一天晚上，他靜坐在比薩教堂里，看到懸掛在教堂中央上空的吊

燈，被教堂一邊敞開的窗子吹進(jìn)的風(fēng)刮得左右搖擺。他趕緊把窗關(guān)上，心

想，這樣，燈馬上就不會(huì)動(dòng)了，可是燈仍然有規(guī)律地?fù)u擺著。這時(shí)他突然感

覺到：“這燈在搖動(dòng)時(shí)的距離雖然不相等，可是它所需要的時(shí)間或許是相等

的?！庇谑撬R上按著自己的脈搏，口中默默數(shù)著數(shù)兒，經(jīng)過多次驗(yàn)證，得

知燈左右搖擺一次所需要的時(shí)間是相等的。后來，伽利略把這種搖擺特性稱

為：“搖擺的等時(shí)性”定律。

這個(gè)燈在教堂里不知搖擺了多少年，而看見的人也不知有幾千幾萬，誰

也沒有發(fā)現(xiàn)什么秘密，然而，伽利略卻因此開發(fā)思路。他利用他發(fā)現(xiàn)的定

律，造了一個(gè)適當(dāng)長度的擺錘，用來測量脈搏的速度和均一性。后來，又制

造了鐘表，發(fā)明了天文鐘。在他雙目失明、遭受教會(huì)迫害幽禁，已經(jīng)風(fēng)燭殘

年的最后日子里，還在利用他50年前發(fā)現(xiàn)的定律，研究利用擺錘測量時(shí)

間。

（二）惠更斯與擺鐘

圖1—5

我們知道，單擺的周期公式是由惠更斯首先推導(dǎo)出來的（詳見拓寬延

伸2）,1656年開始，惠更斯首先將擺引入時(shí)鐘，發(fā)明了擺鐘（圖1-

5）,并發(fā)表了《擺鐘》（165演及《擺式

時(shí)鐘或用于時(shí)鐘上的擺的運(yùn)動(dòng)的幾何證

明》（1637）。他又研究了簡諧運(yùn)動(dòng)及彈

簧振動(dòng)，并用游絲代替掛擺，設(shè)計(jì)出許多

種鐘表等時(shí)結(jié)構(gòu)（例如海上用以測量地理

經(jīng)度的懷表等）。

（三）惠更斯生平簡介

惠更斯，CChristiaanHuygens

162A1695荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)

學(xué)家。1629年4月14日出生于海牙。父親是大臣和詩人，與R笛卡兒等學(xué)

界名流交往甚密?；莞棺杂茁敾?，13歲時(shí)曾自制一臺(tái)車床，表現(xiàn)出很強(qiáng)

的動(dòng)手能力。1645年16歲時(shí)進(jìn)入萊頓大學(xué)學(xué)習(xí)法律與數(shù)學(xué)，1647?1649年

轉(zhuǎn)入布雷達(dá)學(xué)院深造。在阿基米德等人著作及笛卡兒等人直接影響下，致力

于力學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)及數(shù)學(xué)的研究。他善于把科學(xué)和理論研究結(jié)合起來，

透徹地解決問題，因此在擺鐘的發(fā)明、天文儀器的設(shè)計(jì)、彈性體碰和光的波

動(dòng)理論等方面都有突出成就。1651年惠更斯發(fā)表了平生第一篇科學(xué)論文，

論述各種曲線所圍面積的求值。1663年當(dāng)選為英國倫敦皇家學(xué)會(huì)的第一位

外國會(huì)員。1666年當(dāng)選為荷蘭科學(xué)院院士。同年，應(yīng)法國皇帝路易十四的

邀請(qǐng)，到巴黎從事學(xué)術(shù)活動(dòng)，被選為新成立不久的巴黎科學(xué)院院士。1672

年他結(jié)識(shí)了正在巴黎訪問的年輕學(xué)者萊布尼茲（164—1710o惠更斯很賞

識(shí)萊布尼茲的才能，熱忱指導(dǎo)他研究數(shù)學(xué)名著，并于1674年向荷蘭科學(xué)院

推薦了他的關(guān)于微積分的第一篇論文。1681年由于健康上的原因，惠更斯

離開法國，返回荷蘭。1687年惠更斯赴英訪問，結(jié)識(shí)了大物理學(xué)家牛頓。

惠更斯衣冠楚楚，舉止文雅，頗具學(xué)者風(fēng)度。他喜歡音樂和詩歌，終身

未娶。晚年長期患病，于1695年7月8日在海牙逝世，享年66歲。

（五）簡諧運(yùn)動(dòng)的能量

1、簡諧運(yùn)動(dòng)的能量

簡諧運(yùn)動(dòng)的能量是指在任意時(shí)刻動(dòng)能和勢能的總和。

單擺與彈簧振子在振動(dòng)過程中動(dòng)能與勢能不斷發(fā)生轉(zhuǎn)化，在任意時(shí)刻動(dòng)

能和勢能的總和，即簡諧運(yùn)動(dòng)的總機(jī)械能將保持不變。

2、阻尼振動(dòng)

由于振動(dòng)系統(tǒng)受到阻力作用造成能量損失而使振幅減小的振動(dòng)叫“阻尼振

動(dòng)”。又稱減幅振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)由于受到阻力（這種作用為阻尼），消耗系

統(tǒng)能量做功，而使振動(dòng)的能量不斷地減少，由于振動(dòng)系統(tǒng)的能量與振幅的平

方成正比，即￡=』乂2,所以在能量隨時(shí)間減少的同時(shí)，振動(dòng)物體的振幅也

2

逐漸減小，這是一種非簡諧振動(dòng)。這里所謂受到阻力、系統(tǒng)的能量減少，一

般指兩種情況：--種是由于摩擦阻力存在，使振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能量逐漸轉(zhuǎn)變

為熱運(yùn)動(dòng)的能量；另一種是由于振動(dòng)系統(tǒng)引起鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)而做功，并使

它們振動(dòng)起來，使系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量。例

如，簧片振動(dòng)時(shí)，不僅由于摩擦而消耗能量，同時(shí)也因輻射聲波而減少能

量；電磁振蕩回路中因電阻和電磁輻射而使振幅逐漸減小的振動(dòng)；天平臂的

擺動(dòng)；電流計(jì)線圈的擺動(dòng)都屬于阻尼振動(dòng)。在使用天平和電流計(jì)時(shí)，總希望

它們能很快地達(dá)到平衡位置，為使振動(dòng)的衰減加快，而增大對(duì)振動(dòng)的阻尼。

增大阻尼常用機(jī)械或電磁的方法，如天平中的空氣盒，電流計(jì)中的阻尼線圈

等。

任何一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)阻尼增加到一定程度時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)是非周期

性的，物體振動(dòng)連一次都不能完成，只是慢慢地回到平衡位置就停止了。當(dāng)

阻力使振動(dòng)物體剛能不作周期性振動(dòng)而又能最快地回到平衡位置的情況，稱

為“臨界阻尼”，或中肯阻尼狀態(tài)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長時(shí)間

才能達(dá)到平衡位置，這樣的運(yùn)動(dòng)叫過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的阻尼力較

小，則要振動(dòng)很多次，而振幅則在逐漸減小，最后才能達(dá)到平衡位置，這叫

做“欠阻尼”狀態(tài)。

3、無阻尼振動(dòng)

機(jī)械振動(dòng)按振幅的變化來區(qū)分，可分為無阻尼振動(dòng)和阻尼振動(dòng)。物體作

無阻尼振動(dòng)，并不一定指它不受阻力，而是指它在振動(dòng)過程中保持振幅不

變。無阻尼振動(dòng)又可分為兩種：一種是無阻尼自由振動(dòng)，即振動(dòng)物體只受回

復(fù)力作用，不受任何阻力作用，不對(duì)外做功，系統(tǒng)無能量損失，這就是一種

理想情況，是“簡諧運(yùn)動(dòng)”。另一種實(shí)際上是“受迫等幅振動(dòng)”，即振動(dòng)時(shí)

系統(tǒng)從外界取得的能量，剛好補(bǔ)償在振動(dòng)過程中所損耗的能量，系統(tǒng)的能

量、振動(dòng)物體的振幅都保持不變。

（六）受迫振動(dòng)共振

1、受迫振動(dòng)

系統(tǒng)在外部策動(dòng)力作用下發(fā)生的振動(dòng)叫“受迫振動(dòng)”。受迫振動(dòng)是物體

在策動(dòng)力的強(qiáng)迫下所產(chǎn)生的振動(dòng)，它和自由振動(dòng)不同。例如，揚(yáng)聲器中紙盒

的振動(dòng)、蒸汽機(jī)活塞的振動(dòng)以及縫紉機(jī)上縫針的振動(dòng)，都是受迫振動(dòng)的例

子。受迫振動(dòng)開始的情況非常復(fù)雜，但經(jīng)過一段時(shí)間后可以達(dá)到一種穩(wěn)定狀

態(tài)。在穩(wěn)定狀態(tài)下，振動(dòng)的頻率即為策動(dòng)力的頻率，跟它固有的頻率無關(guān)。

振動(dòng)的振幅保持恒定不變，振幅的大小不僅與策動(dòng)力的大小有關(guān)，而且還跟

策動(dòng)力的頻率以及系統(tǒng)本身的固有頻率有關(guān)。實(shí)際上在這種受迫振動(dòng)中，一

方面系統(tǒng)因策動(dòng)力做功而獲得能量，另一方面又因有阻尼而使機(jī)械能損耗。

開始時(shí)，策動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)作的功往往大于系統(tǒng)克服阻尼損耗的能量，總的趨勢

是振幅逐漸增大。由于阻力一般是隨速度而增加的，所以當(dāng)振動(dòng)加強(qiáng)時(shí)，因

阻力而損耗的能量也要增多。當(dāng)策動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)作功而傳遞給系統(tǒng)的能量，恰

好補(bǔ)償系統(tǒng)因阻力而損耗的能量時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變，振幅保持穩(wěn)

定，成為無阻尼等幅振動(dòng)。受迫振動(dòng)的基本特點(diǎn)就是：物體做受迫振動(dòng)的頻

率等于策動(dòng)力的頻率，而跟物體的固有頻率無關(guān)。

2、共振

一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)外加的策動(dòng)力的頻率與系統(tǒng)本身的固有頻率很接近或

相同時(shí)，系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅將趨于最大值，這種現(xiàn)象叫共振。

共振是受迫振動(dòng)的一種特殊情況。從力的角度看，要求周期性變化的策

動(dòng)力的方向跟振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方向相同，凡是跟振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)方向相反的力

都會(huì)促使振動(dòng)物體的振幅減小。策動(dòng)力頻率變化跟系統(tǒng)的固有頻率越接近，

使物體振幅增加的力作用次數(shù)就越多。當(dāng)策動(dòng)力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相

等時(shí)，并且策動(dòng)力的位相跟物體運(yùn)動(dòng)的位相同相時(shí)，策動(dòng)力的每一次作用都

將使物體的振幅增加而達(dá)到最大值。若從功能關(guān)系來說，就要求在任何時(shí)

刻，周期性變化的策動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)做正功。在一個(gè)振動(dòng)周期中，由于策動(dòng)

力的頻率和系統(tǒng)的固有頻率不同，因此策動(dòng)力的方向和物體運(yùn)動(dòng)的方向有時(shí)

一致，有時(shí)相反。當(dāng)方向一致時(shí)，供給系統(tǒng)振動(dòng)能量，對(duì)物體做正功；當(dāng)方

向相反時(shí)，使系統(tǒng)振動(dòng)能量減少，而對(duì)物體做負(fù)功。只有在策動(dòng)力頻率跟振

動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率相同，且位相相同時(shí)，才有可能使其方向在整個(gè)周期中跟

物體運(yùn)動(dòng)方向一致，從而達(dá)到在任何時(shí)刻做正功的效果。系統(tǒng)能量不斷增

加，振幅不斷增大，直到策動(dòng)力做功供給系統(tǒng)的能量等于克服摩擦阻力消耗

的能量，振幅不再增大，即達(dá)到了最大的振幅。因?yàn)樵谖矬w作無阻尼自由振

動(dòng)時(shí)，外力的頻率等于振動(dòng)體的固有頻率就會(huì)發(fā)生共振，由于實(shí)際的振動(dòng)多

少存在一些阻尼作用，策動(dòng)力在頻率要稍稍偏移振動(dòng)體的固有頻率才能發(fā)生

共振，在這種情況下，只能說“接近固有頻率”，而不說“等于固有頻率。

背景資料］

塔科馬狹橋的倒塌

從前在美國塔科馬有一座著名的狹橋。這座橋在施工時(shí)發(fā)生過擺動(dòng)。不時(shí)

的振動(dòng)使修橋工人感到暈眩。橋竣工通車后，搖擺得更加厲害。它吸引了不

少遠(yuǎn)方的客人駕車到此一游，為的是尋求刺激，嘗嘗汽車駛過搖搖晃晃的狹

橋時(shí)的滋味。在某些日子里，橋身上下振動(dòng)的幅度竟達(dá)1.5米，使得駕駛員

看不見在它前面行駛的汽車。

這座橋的倒塌非常突然。有一天早上，橋突然停止振動(dòng)，不一會(huì)它瘋狂

地扭轉(zhuǎn)振動(dòng)起來。30分鐘后第一塊路面開始?jí)嬋胨?，接著?00米長的

路面斷開，然后振動(dòng)停止了幾分鐘，最后又發(fā)生新的振動(dòng)，將殘留的橋面全

部掀到水里。事后，人們對(duì)狹橋的設(shè)計(jì)老是找不出可以指責(zé)的地方，因?yàn)槟?/p>

時(shí)人們對(duì)于吊橋的空氣動(dòng)力學(xué)特性知道得很少。這場災(zāi)難在當(dāng)時(shí)說來是屬于

不可預(yù)測的（或稱不可抗拒的），但它對(duì)以后的大橋設(shè)計(jì)影響頗大。

出事那天的風(fēng)并不特別大，但因?yàn)闃蛟陲L(fēng)的作用下產(chǎn)生了共振，振幅

不斷增大，直至使狹橋破壞。風(fēng)是怎樣作用在橋上的呢？為什么相當(dāng)均勻的

風(fēng)，會(huì)使橋產(chǎn)生脈沖式的振動(dòng)，然后變?yōu)榕まD(zhuǎn)振動(dòng)呢？

研究的結(jié)果表明，是橋上豎直方向的結(jié)構(gòu)板引起了橋的振動(dòng)。它對(duì)風(fēng)的

阻力很大，風(fēng)被擋之后，大量的氣流便從結(jié)構(gòu)板的上方經(jīng)過然后壓向橋面。

由于吹過的氣流因不斷地被屈折而使速度增加，所以在豎直結(jié)構(gòu)板的上方和

下方壓力降低（伯努利定律）。如果風(fēng)總是從板的正前方吹來，那倒不要

緊，因?yàn)樯舷路降膲毫档蜁?huì)互相抵消。但是，如果風(fēng)的方向不停地變換的

話，壓力就會(huì)不斷地變化。這一壓力差作用在整個(gè)橋面上，并因擋風(fēng)的豎直

結(jié)構(gòu)板后所產(chǎn)生的渦流而得到加強(qiáng)，結(jié)果橋就開始振動(dòng)。與這類似的情況是

電話線在壓力差和渦流的作用下會(huì)產(chǎn)生嘯聲。

（七）本章實(shí)驗(yàn)研究與提高

本章有兩個(gè)分組實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)八：探索彈力和彈簧伸長的關(guān)系；實(shí)驗(yàn)九：

用單擺測定重力加速度.另外課本上在“課題研究”中還提出一個(gè)實(shí)驗(yàn)：研

究彈簧振子的周期和小球質(zhì)量的關(guān)系.本章的實(shí)驗(yàn)具有探索性和研究性，體

現(xiàn)了物理學(xué)科的特點(diǎn)和發(fā)展方向.

［實(shí)驗(yàn)八］探索彈力和彈簧伸長的關(guān)系

（一）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

探索彈力與彈簧伸長的定量關(guān)系，并學(xué)習(xí)所用的科學(xué)方法.

（二）實(shí)驗(yàn)原理

彈簧受到拉力會(huì)伸長，平衡時(shí)彈簧產(chǎn)生的彈力和外力大小相等.這樣彈

力的大小可以通過測定外力而得出（可以用懸掛祛碼的方法給彈簧施加拉

力）；彈簧的伸長可用直尺測出.多測兒組數(shù)據(jù)，用列表或作圖的方法探索

出彈力和彈簧伸長的定量關(guān)系.

（三）實(shí)驗(yàn)記錄及數(shù)據(jù)的處理

彈簧的彈力用F來表示，彈簧原長（自然長度）用1。來表示，彈簧現(xiàn)長用1

來表示，彈簧的伸長用x來表示，則x=l—1（）.

⑴數(shù)據(jù)記錄：（彈簧原長lo=cm）

1234567

F/N

//cm

x/cm

（2）根據(jù)測量數(shù)據(jù)畫出F-x圖象（以F為縱軸，以x為橫軸）.

（3）探索結(jié)論：

按照F—x圖中各點(diǎn)的分布與走向，嘗試做出一條平滑的曲線（包括直

線）.所畫的點(diǎn)不一定正好在這條曲線上，但要注意使曲線兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)大致

相同.嘗試寫出曲線所代表的函數(shù)，首先嘗試F—x是否為一次函數(shù)，如果

不行則考慮二次函數(shù)……

在實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi)，應(yīng)得出彈力的大小與彈簧的伸長量成正比，即

F=kx,其中k的單位由F和x的單位決定.為了加深對(duì)k的理解，可以讓學(xué)

生用另外一個(gè)不同的彈簧重做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，對(duì)比兩個(gè)彈簧的結(jié)果會(huì)更好地認(rèn)識(shí)

k,即在伸長一定時(shí)，k越大，彈力也就越大，它反映了彈簧的“勁度”.本

實(shí)驗(yàn)是探索性實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)前并不知道上述規(guī)律，上述結(jié)論應(yīng)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)探索

出來.

［實(shí)驗(yàn)九］用單擺測定重力加速度

（一）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

（二）實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)單擺擺角很小（不超過10。）時(shí)，單擺在豎直平面內(nèi)的擺動(dòng)可看成簡諧運(yùn)

動(dòng)，其固有周期為T=2%即。由周期公式可得g=4///T2,故只要測定

擺長1和單擺的周期T,即可算出重力加速度g.

（三）注意事項(xiàng)

（1）力求使支架處于穩(wěn)定狀態(tài)，擺線的懸掛端不應(yīng)隨意亂繞，應(yīng)呈“點(diǎn)”懸狀

態(tài).

（2）測量單擺的擺長時(shí)，應(yīng)使擺球處于自由下垂?fàn)顟B(tài)，用米尺測出擺線的長

度，再用游標(biāo)卡尺測出擺球的直徑，然后算出擺長（準(zhǔn)確到毫米位）.

（3）單擺釋放的角度應(yīng)當(dāng)很小，例如不超過10。.擺球釋放后，應(yīng)力求使擺球

在同一個(gè)豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，然后再測量單擺的周期.

⑷在測量單擺的周期時(shí)，計(jì)時(shí)的起、終時(shí)刻，擺球都應(yīng)恰通過平衡位置（可

提前畫出單擺的平衡位置，作為計(jì)時(shí)參考點(diǎn)），以減小計(jì)時(shí)誤差.用秒表測

出單擺做30?50次全振動(dòng)所用的時(shí)間，計(jì)算出平均擺動(dòng)一次的時(shí)間，這個(gè)

時(shí)間就是單擺的振動(dòng)周期.

（5）從單擺的周期公式知道，周期跟偏角的大小、擺球的質(zhì)量沒有關(guān)系.如果

時(shí)間允許的話，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論.在重力加速度一定時(shí)，周期跟擺長的

二次方根成正比.如果時(shí)間允許的話.算出不同擺長下周期跟相應(yīng)擺長的二

次方根之比，看看這些比值是否相等.

二、拓展延伸

（-）擺球振動(dòng)的回復(fù)力是由什么力提供的？

如圖所示，重力的一個(gè)分力Gi的方向始終與圓弧相切，它的方向不是

準(zhǔn)確地指向平衡位置，但當(dāng)擺角9較小I-I

時(shí)，分力Gi的方向就近似地指向平衡位置（即擺1\

球的最低位置），因此，分力Gi的方向具備了回/；

復(fù)力方向的特點(diǎn)，即始終指向平衡位置。當(dāng)擺角舄一

0<5°時(shí)，以擺示的平衡位置O為原點(diǎn)，沿水平G/I*1

方向建立x軸，WG|=mgsin0^mg9—x.1'

圖1—6

故力G的大小隨0（或x）的減小而減小，

當(dāng)。=0°或x=0時(shí)，即擺球在平衡位置所受的力的大小為：G|=mgsin0°=0.

因此，力Gi也具備了回復(fù)力大小的特點(diǎn)，所以重力的分力Gi是回復(fù)

（-）擺球所受的合力不是擺球振動(dòng)的回復(fù)力。

擺球在振動(dòng)過程中所受的合力大小為：

尸合=JG「+%

yjm2g2+T~-2mgTcos?

盡管合力F合也隨。的減小而減小，但當(dāng)。=0。時(shí)，有：

2

F合=T-mg=m；-H0.

可見F令在擺球處于平衡位置時(shí)不為零，不具備回復(fù)力大小的特征。

在任一位置時(shí)，擺球所受合力F介與通過該位置的圓弧的切線間的夾角9的

正切值為

v2

tan^=I向二/二y

G]mgsin6glsin0

當(dāng)。減小時(shí)，sin。減小，而v增大，g,1不變，則tan。增大，。也隨之增

大，因此F價(jià)的方向隨。的減小而逐漸指向懸點(diǎn)，而不是指向平衡位置或逼

近平衡位置，且當(dāng)0=0°時(shí)，F(xiàn)今指向懸點(diǎn)，可見F介的方向也不具備回復(fù)力

方向的特點(diǎn)，因此，我們可以說，擺球所受的合力不是單擺振動(dòng)時(shí)的回復(fù)

力。

通過上述分析，我們可以得出正確結(jié)論：當(dāng)單擺的擺角。很小時(shí)，重

力沿圓弧的切向分力具有回復(fù)力的特征，合力不具備回復(fù)力的特征，此時(shí)單

擺的振動(dòng)可以認(rèn)為是簡諧運(yùn)動(dòng)。

（三）關(guān)于單擺周期的推導(dǎo)方法

單擺的周期T=2”上.是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先發(fā)現(xiàn)的，實(shí)際

上.利用勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡諧運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，能方便地推導(dǎo)出這一結(jié)果.

當(dāng)一個(gè)物體（質(zhì)點(diǎn)）在一平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

時(shí)，它在直角坐標(biāo)系的某一坐標(biāo)軸上的投影是簡

諧運(yùn)動(dòng).（°Ty

設(shè)有一質(zhì)量為m的物體，以角速度3做半徑為

A的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，我們以O(shè)為圓心，建立直角

坐標(biāo)系，如圖所示。假設(shè)物體從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，圖1—7

經(jīng)過時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，設(shè)Q點(diǎn)在x軸上的投影為

M,則M偏離圓心O的位置為x=Acos3t,這表明

M點(diǎn)在做以O(shè)為中心的機(jī)械振動(dòng).

物體的勻速圓周運(yùn)動(dòng)可看作是物體在X軸方向和y軸方向上運(yùn)動(dòng)的合

成.物體在x軸方向上的運(yùn)動(dòng)形式表現(xiàn)為投影點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)形式，我們可以

通過對(duì)物體運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)在x方向上所受力的分析，進(jìn)一步研究點(diǎn)M的振

動(dòng).

物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力為F=mA32,方向指向圓心，則在Q

22

點(diǎn)物體受到x軸方向上的力為F=Fncoswt=-mAwcoswtcoswt=mwx,負(fù)

號(hào)表示F。與位移x的方向相反是一個(gè)常數(shù)，表明物體在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中在

x軸方向上所受力為線性回復(fù)力，由此可知.物體在x軸方向上的運(yùn)動(dòng)為以

0為平衡位置的簡諧運(yùn)動(dòng).所以，物體投影點(diǎn)M的振動(dòng)也為以0為平衡位

置的簡諧運(yùn)動(dòng).

物體運(yùn)動(dòng)一周，投影點(diǎn)M往復(fù)振動(dòng)一次。表明它們的周期是相同的，即

投影點(diǎn)M的振動(dòng)周期也為丁=生，這樣我們得到一個(gè)結(jié)論，回復(fù)力為F=-m

co

<02x的簡諧振動(dòng)周期為T=^，我們知道：單擺振動(dòng)的回復(fù)力F口蟹x,與

31

F=-m32x比較容易得出3=即單擺的圓頻率為上，把3=卜代入

T=蔣，便得到了單擺的周期公式T=2「―飛，（/沙

（四）對(duì)單擺周期公式丁=2%任的理解6

1、等效擺長：擺長L是指擺動(dòng)圓弧的圓心到擺球71

Om

重心的距離，在有些情況下，擺長不一定等于懸繩的

圖1—8

長度。例如，在圖中，三根等長的繩h、12、b共同系住一密￡求

m,球直徑為d,b、b與天花板

的夾角a<30°。①若擺球在紙面內(nèi)作小角度的左右擺，擺長L］為多少？②

若擺球作垂直紙面的小角度擺動(dòng)，擺長L2又為多少？

［分析與解答］①擺動(dòng)圓弧的圓心在Oi處，故等效擺長I4I

為h+d/2!\.

②擺動(dòng)圓弧的圓心在。處，故等效擺長為/

h+bsinQ+gI

2、等效重力加速度：公式中的g由單擺所在的

空間位置決定。由G==g知，g隨地球表面不同位置、圖1一9

不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值

g'代入公式，即g'不一定等于9.8m/s2。g還由單擺所處的物理?xiàng)l件決

定，具體求法是擺球在平衡位置未受擾動(dòng)時(shí)繩子張力所產(chǎn)生的加速度，即擺

線的張力與

擺球質(zhì)量的比值為等效重力加速度

g',則T=2乃/。例如所示，單擺處在向上加速發(fā)射的人造衛(wèi)星艙內(nèi)，設(shè)

加速度為a,則其等效重力加速度為多少？如果單擺處在運(yùn)行的衛(wèi)星內(nèi)，等

效重力加速度為多少？

［分析與解答］①取擺球在平衡位置時(shí)為研究對(duì)象，

當(dāng)擺球不擺動(dòng)時(shí)受到重力mg、繩拉力T作用，在豎直方向上，由牛頓第二

定律知：T—mg=maT=m(g+a),可見擺球處于超重狀態(tài)，其等效重力加速度

g'=T/m=g+ao

②若單擺處于運(yùn)行的衛(wèi)星內(nèi)，擺球完全失重，則T=0,即

g'=0,所以周期為無窮大，單擺就不再擺動(dòng)了。

3、等效單擺：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在豎直放置的光滑圓弧面內(nèi)側(cè)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，若

空間范圍遠(yuǎn)小于圓弧半徑，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，這種運(yùn)動(dòng)稱之為等效

單擺。如圖所示，其周公式7=2乃產(chǎn)。

(五)關(guān)于阻尼振動(dòng)的幾個(gè)問題

教材中對(duì)于阻尼振動(dòng)是這樣定義的：由于外界的摩擦和介質(zhì)阻力總是存

在，不論是彈簧振子還是單擺，在振動(dòng)過程中要不斷克服阻力做功，消耗

能量，振幅就會(huì)逐漸減小。經(jīng)過一段時(shí)間，振動(dòng)就會(huì)完全停下來，這種振幅

越來越小的振動(dòng)叫阻尼振動(dòng)，但是學(xué)生對(duì)以下幾個(gè)問題模糊不清：

①什么是阻尼？

②等幅振動(dòng)是無阻尼振動(dòng)嗎？

針對(duì)上邊兩個(gè)問題，我們應(yīng)從以下幾個(gè)方面來理解說明：

1、阻尼與阻力相聯(lián)系，有阻力作用的振動(dòng)不一定就是阻尼振動(dòng).

阻力是按力的作用效果命名的.如果物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，某個(gè)力對(duì)物體做負(fù)功，

或者說力與物體運(yùn)動(dòng)方向相反，那么我們就把這個(gè)力叫阻力.其實(shí)，物體振

動(dòng)時(shí)，起關(guān)鍵作用的是回復(fù)力.回復(fù)力有時(shí)是動(dòng)力。有時(shí)也是阻力.例如彈

簧振子在遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，其回復(fù)力即彈力就是阻力.這時(shí)候的彈力作為阻

力不會(huì)影響到振幅的變化.

而阻尼振動(dòng)中的阻尼是源于振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)過程受到的摩擦和其他介質(zhì)阻

力，就是典型的無阻尼自由振動(dòng).也只能說是無阻尼振動(dòng)。因?yàn)樽枘崾侵刚?/p>

動(dòng)過程中摩擦阻力，介質(zhì)阻力消耗振動(dòng)能量的現(xiàn)象，而不是阻力出現(xiàn)的現(xiàn)

象，因此我們要分清“阻力”和“阻尼”的內(nèi)涵。

2、阻尼振動(dòng)是指振動(dòng)能量不斷消耗的振動(dòng).

在實(shí)際問題中，如彈簧振子。由于空氣或臺(tái)面及彈簧內(nèi)部的摩擦力存在。

振動(dòng)的機(jī)械能會(huì)逐漸減小，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.這樣所得出的振動(dòng)曲線不再是等幅

的正弦曲線，而是振幅逐漸衰減的曲線，物體做振幅不斷減小的振動(dòng)。其振

動(dòng)頻率也不再是固有頻率。而是小于固有頻率，這才是真正意義上的阻尼振

動(dòng).如果從能量消耗的意義上來說：除了上述由于摩擦和介質(zhì)阻力的作用消

耗振動(dòng)能量.出現(xiàn)減幅振動(dòng)外，另外還有一種阻尼振動(dòng)，由于振動(dòng)能量向外

傳播，相當(dāng)于振源把能量以波動(dòng)的形式向司囤輻射出去，這種幅射消耗振源

的能量，因而也可以等效為一種陽尼振動(dòng).因此阻尼振動(dòng)是指振動(dòng)能量不斷

消耗的振動(dòng)，不單指因摩擦力、介質(zhì)阻力的存在而消耗能量的振動(dòng).

3、等幅振動(dòng)一定是無阻尼振動(dòng)嗎？

教材中指出.如果我們能夠根據(jù)物體在振動(dòng)過程中消耗能量的情況下不斷

補(bǔ)充能量，那么雖然有摩擦和其他阻力，物體也可以繼續(xù)做等幅振動(dòng)，等幅

振動(dòng)也叫無阻尼振動(dòng)，從能量的觀點(diǎn)來說：就是一方面介質(zhì)阻力、摩擦阻力

做負(fù)功消耗振動(dòng)能量，另一方面驅(qū)動(dòng)力做正功，不斷補(bǔ)充能量，一個(gè)周期中

消耗振動(dòng)能量與補(bǔ)充能量恰好相等，因而振幅保持不變，所以從這個(gè)意義上

講，等幅振動(dòng)不一定就是無阻尼振動(dòng)。

（六）對(duì)公式T=2nA的詮釋

從所周知，構(gòu)成單擺必須滿足的三個(gè)條件是：

①擺球線度比擺線長度短得多；

②擺線質(zhì)量可以忽略；

③擺線的伸縮可以忽略；

單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)必須滿足的三個(gè)條件是：

①空氣阻力可以忽略；

②擺動(dòng)角度小于5°；

③單擺在同一豎直面內(nèi)擺動(dòng)；

設(shè)懸點(diǎn)到球心相距1，重力加速度為g，擺球質(zhì)量為m,擺角為0,則單擺

在各種情況下的周期。

1、擺球線度不能忽略，其他條件都滿足7=2/匡三更（R為擺球半徑）

當(dāng)時(shí),2/?2?5I2,T=2^~.

2、擺線質(zhì)量不能忽略，其他條件都滿足

【2萬焉黑為擺線質(zhì)量）

當(dāng)團(tuán)’《，九時(shí),4m+〃?'=2(m'+2m),

上式T=2巴匹

3、擺線的伸縮不能忽略，其他條件滿足上二幺絲+“=o

dt2rdtdtr

只有r=/=常量時(shí)，①②變?yōu)?

4、空氣阻力不能忽略，其他條件都滿足T=1-

當(dāng)空氣阻力忽略，萬=」一=0,7=2巴,

2ml\g

5、擺角e較大，其他條件都滿足

T=2乃J—（1+—sin*"―—+?,,）

n42

上式為一無窮級(jí)數(shù)，當(dāng)。0較大時(shí)，周期并不等于27收；只有當(dāng)睚很小

時(shí)，上式中第二項(xiàng)及以后電呸的高次毒項(xiàng)完全可以忽略，這時(shí)才有

2

『出

6、單擺不在同一豎直平面內(nèi)振動(dòng)，其他條件都滿足

X?y2

2T+—'~^=17橢圓

x0（v0/處廣

如：t=0,y=Offt,x=x0cosd）0t,y=0,周期為7=2乃產(chǎn)

綜上所述，單擺且做簡諧運(yùn)動(dòng)要滿足上述幾個(gè)條件方可。

（七）簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式——位相觀點(diǎn)

在振動(dòng)的研究中，位相的概念很重要，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)當(dāng)然可以以位置

和速度來表征，但常用的卻是一種更方便的方法，即用位相來表征振動(dòng)狀

態(tài)，質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)一周期之內(nèi)所經(jīng)歷的狀態(tài)沒有一個(gè)是相同的，這相當(dāng)于位相

經(jīng)歷著從0到2n的變化，這從簡諧運(yùn)動(dòng)的x-t圖可以看出這一點(diǎn)，在一個(gè)

周期內(nèi)沒有兩個(gè)時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)各個(gè)物理量都相同，所以，各個(gè)時(shí)刻的位相也不

同，要尋求與某一時(shí)刻完全相同的狀態(tài)，需要到另一個(gè)周期中去找。

位相差夕'-夕可正可負(fù)，正的話說超前，負(fù)的話說落后，當(dāng)夕'=夕時(shí)，我

們稱這兩振動(dòng)為同相或同步。當(dāng)=乃時(shí)，兩個(gè)振動(dòng)相差半周期，稱為反

相的簡諧運(yùn)動(dòng)。

以x=4sin（"+夕）表示質(zhì)點(diǎn)簡諧運(yùn)動(dòng)的三角函數(shù)表達(dá)式，則：

簡諧運(yùn)動(dòng)的速度為

dx、

v=—=（a\cos（<yr+<p）

dt

上式也可寫成

v=vmcos(6Jf+8)=-vmsin(⑨+(p+~)

式中5=,稱為速度振幅。

簡諧運(yùn)動(dòng)的加速度為：

dvd2x2.■,、./,、

a=—=——=-a)Asin(<?t+<p)=a?,sin("+夕士))

dtdt2

式中a,“=a)2A,稱為加速度振幅。

綜上所述，還可得速度的位相比位移的位相多一項(xiàng)三，加速度的位相

2

比位移的位相多一項(xiàng)門。我們稱速度的位相比位移的位相超前g;加速度的

位相則比位移的位相超前口(或落后”)，也就是說加速度與位移反相。

(A)簡諧運(yùn)動(dòng)的合成

1、同方向同頻率的兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的合成(以余弦為例)

設(shè)：X]=A|cos(or+/)

x2=A2COS(6ZJT+夕2)

合成X=x{+x2=A]COS⑷/+夕])+42C0S(6X+(p2)

=Acos(fWf+(p)

式中A=JAJ+422+24]42cos(@2_仍)

Asin(p、+4)sin(p->

tan(p=}

cos(p{+A2COS(p2

2、同方向不同頻率的兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的合成。(和跟你接近)

設(shè)：X]=A]cos(幼f+(p)

x2=A2cos（gi+0）

合成X=X]+x2=4]COS（如+夕）+42COS（G27+9）

為方便，設(shè)A=A2=a,則上式可寫成

a)一例、,g+Oi

x=2acos（2f）cos（，2工t+6

2

-Acos(色t+(p)

其中：A=2acos("j"r)它是緩慢地作周期性變化的。

3、相互垂直的同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成

設(shè)：x=A}cos（twt+夕]）

y=A2cos（④+夕2）

消去3得到直角坐標(biāo)方程

，y2盯.2/、

-7+-r-2~T~7~COS（92一夕i）=sin（（p2-（p\）

A」A24A2

一般的說，上述方程是橢圓方程

（1）敕-附=0,上式變?yōu)?/p>

CT：。

AA2

亦即二二上

A】A2

因此，質(zhì)點(diǎn)的軌道是一條宜線

（2）（p「$\=g上式變?yōu)?/p>

工一上=1

4/^22

因此，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓。

（九）拍和拍頻

1、拍：它是一種重要的振動(dòng)合成的現(xiàn)象。兩個(gè)振動(dòng)方向相同的簡諧振動(dòng)，

若它們的頻率之和遠(yuǎn)大于它們的頻率之差時(shí)，合振動(dòng)的振幅發(fā)生周期性的、

明顯的變化，這種現(xiàn)象稱為“拍”。設(shè)有兩個(gè)頻率相近，振幅相等，初位相

相同和振動(dòng)方向相同的諧振動(dòng)，如下式

xl=A0cos（3lt+6）

x2=A0cos（32t+。）

它們疊加的結(jié)果是

x=X]+町=2A0cos-——-tcost+Q

合振動(dòng)不是簡諧的，因?yàn)楹险穹?/p>

A=2A0cos21m■膈或能量的周期性變化稱為拍。因振幅（正值）的周

期為五，故拍的頻率

3I-儲(chǔ)

為兩振動(dòng)之差。若兩個(gè)頻率相差不多，拍的頻率便較小。當(dāng)兩個(gè)頻率相差很

小的音叉同時(shí)振動(dòng)時(shí)，聲音強(qiáng)度有節(jié)奏的時(shí)強(qiáng)時(shí)弱現(xiàn)象就是聲拍，利用這個(gè)

現(xiàn)象可以校準(zhǔn)樂器的頻率或進(jìn)行聲頻的測量。在聲學(xué)中，拍曾稱為拍音、升

沉和念。

2、拍頻：同向進(jìn)行之波列頻率接近時(shí)，其干涉作用形成定時(shí)強(qiáng)弱的規(guī)律。

它每秒間的拍數(shù)稱為“拍頻”，即為二波頻率之差。若使一發(fā)聲體每秒之振

動(dòng)數(shù)為m,另一發(fā)聲體每秒之振動(dòng)數(shù)為n,而m較n大，此兩聲波相合時(shí)，

一秒間所聞之音數(shù)x,則聞一次音所需之時(shí)間為工秒，在此時(shí)間內(nèi)二發(fā)音體

X

各振動(dòng)巴：次，且此時(shí)間內(nèi)振動(dòng)數(shù)大的發(fā)音體多振動(dòng)一次，故得

XX

mn

—=—+1

xx

/.x=m-n

例如兩個(gè)音叉的頻率，一為251,一為250,當(dāng)同時(shí)敲兩音叉時(shí)所合成

之聲波，其拍頻為lo

（十）關(guān)于月相變化的討論

在本章第五節(jié)“相位”之后，通過一幅圖片提出了一個(gè)問題：你能不能

根據(jù)月相判斷：這張照片是在黃昏拍攝的還是在黎明拍攝的?

要回答這一問題，必須明確日、地、月三球

的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及月相變化規(guī)規(guī)律：

1、日、地、月球的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

日、地、月球的運(yùn)動(dòng)如圖所示，地球繞太

陽運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)軌道平面（黃道面）和月球繞地球

運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)軌道平面（白道面）的傾角0在

4°51'?5°19'之間，平均值為5°

19',這個(gè)角很小，因此，在討論

圖1一11

月球和地球相對(duì)太陽運(yùn)動(dòng)對(duì)月相變化的影

響時(shí)，可以忽略這個(gè)夾角。

月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為27.3天，在此時(shí)相同的時(shí)間內(nèi)地球繞太陽公轉(zhuǎn)約

30°,分析一個(gè)月內(nèi)月相變化，可以考慮地球自轉(zhuǎn)而忽

略地球公轉(zhuǎn)，一個(gè)月內(nèi)，月球相對(duì)地球的位置不斷變化，月球本身不發(fā)光，

只是反射太陽光，因此地球上的觀測者聽見的月球被照亮部分也不斷變化，

從而產(chǎn)生月亮的圓缺變化，即形成周期性變化月相，如圖1一11所示：

2、月相的形成

月球被太陽照亮的部分始終是半個(gè)球，但是，從地球上看到的月相為什

么是不斷變化的？

下面結(jié)合圖1—11分析一個(gè)月內(nèi)月相的變化規(guī)律.圖1一11中的中心

天體是地球，中間一圈表示月球在公轉(zhuǎn)軌道上的不同位置。無論月球在哪一

個(gè)位置，迎著太陽的半個(gè)球總是亮的，背著大陽的半個(gè)球總是暗的，另外一

圈是人們從地球上（沿圖1一11中的虛線）看到的相.

在新月位置A（農(nóng)歷每月初一），月球位于太陽和地球之間，月球上黑暗的

一面剛好向著地球上的觀察者，因此看不見月亮，離開新月后，以地球和太

陽的質(zhì)心連線為參照標(biāo)準(zhǔn)，由于月球繞地球公轉(zhuǎn)向東運(yùn)行，觀察者將會(huì)看到

蛾眉月在太陽的東邊，凸面向著太陽；若蛾眉月和太陽同在天空.則月光將

淹沒在日光中，我們看不到蛾眉月。只有當(dāng)太陽落山（此時(shí)觀看在圖1一11

中E處）后一段時(shí)間長能在西方天空看到月亮.隨著地球自轉(zhuǎn)，它落入地平

線以下，再過幾大，大約農(nóng)歷每月初七、八左右，隨著地球繼續(xù)運(yùn)行，日、

地、月的相對(duì)位置成直角，如圖1一11中的位置B,地球上的觀察者恰好

看到月球的西半邊亮，成半圓形，這叫做上弦月，上弦月出現(xiàn)太陽東邊

90°,因此太陽落山時(shí)，它出現(xiàn)在正南天空，離地面較高，子夜時(shí)（觀察者

位于圖1—11中位置B）落人地平線以下，月相變成凸月，地球上觀察者看

到月亮的部分大于一半，農(nóng)歷每月十五、十六日，月球運(yùn)行到與地球、太剛

同在一條直線上，且地球位于日、月之間時(shí)，如圖1—11中位置C,觀察

者可以看到一輪明月，稱為滿月，因此，傍晚太陽落山時(shí)，它剛好從東方地

平線上升起，子夜時(shí)在正南天空，第二天日出時(shí)（觀察者位于圖中位置G）月

球下落，整夜都可以看到月亮，再過兒天，月相變成凸月，不過，突出的方

向相反，半圓面指向地平面東邊，到了農(nóng)歷每月二十二、二十三日左右，

日、地、月球相再次變成直角，如圖1—11中位置D所示，月球在日、地

連線的西邊90°,觀察者看到的月相是下弦月，恰好是月球的東半邊亮，

呈半圓形，在子夜時(shí)它升起在東方地平線上，第二天日出時(shí)月亮恰好懸在南

方天空，過后幾天，在日出時(shí)會(huì)看到月亮逐漸變成凸面朝東的蛾眉月，而且

越來越偏東。直到下一個(gè)農(nóng)歷初一恢復(fù)新月。

3、月相變化.

每一個(gè)月內(nèi)，月亮同太陽一樣?xùn)|升西落，升落先后周期性變化，由于受

太陽光的影響，當(dāng)日，月同在天空時(shí)，一般看不到月亮，但在太陽光較弱

時(shí)，如黎明、傍晚和薄云天氣，人們可以在白天看到月亮，一個(gè)月內(nèi)，月亮

升落的時(shí)間和它在天空中的位置，以及月亮升落的時(shí)間先后關(guān)系：如下表和

下圖所示

月相同太陽升落比較月升月落夜晚見月情形

新月同升同落清晨黃昏徹夜不見

滿月此起彼落黃昏清晨通宵可見

上弦月遲升后落正午半夜上牛夜西天

下弦月早升先落半夜正午下牛夜東天

圖1—12

上弦q

圖1—13

上圖1-12表示農(nóng)歷上半月傍晚所見月亮，上圖1—13表示農(nóng)歷下半

月黎明所見月亮.

由以上分析，可以確定課本上的照片拍攝時(shí)間是冬季農(nóng)

歷下旬黎明，拍攝地為北半球。

（H^一）三個(gè)小實(shí)驗(yàn)

1、用砂擺觀察運(yùn)動(dòng)過程中的速度變化

如圖9一25,用硬紙板卷一個(gè)漏斗，用雙線將其懸掛起來，

內(nèi)裝細(xì)砂.可以看到在砂擺擺動(dòng)過程中，漏砂在桌面上堆圖1—14

積的情況是兩側(cè)多中間少.這說明擺在平衡位置上的速度最大.

2、吊球的實(shí)驗(yàn)

用一根橡皮筋吊住一個(gè)重物（如小球或小塑料瓶），將橡皮筋的另lilt

一端拴在手的中指根部，把重物吊起來.然后像拍球一樣上下擺3

|U

動(dòng)手掌，如圖9—26所示.開始以很小的頻率拍球（如0.5Hz左

圖1一15

右），再逐步提高頻率，在每次改變頻率后，保持穩(wěn)定一段時(shí)間，

并盡力維持驅(qū)動(dòng)的振幅大致相等.觀察球作受迫振動(dòng)的情

況，是否驅(qū)動(dòng)的頻率越高，球（振子）的振幅越大?

3、耦合擺

【實(shí)驗(yàn)原理】

擺動(dòng)的物體具有一定的能量，這種能量可以通過一定的方式傳遞給其它的物

體。

【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?/p>

觀察單擺的能量傳遞現(xiàn)象。耦合的方式不同，能量傳遞的方式也就不同。

【實(shí)驗(yàn)器材】

兩個(gè)完全相同的瓶子；細(xì)繩；一根棍；兩把椅子。

【實(shí)驗(yàn)步驟】

（1）將兩個(gè)瓶子灌滿水，并用蓋子蓋緊，使水不能在瓶中晃動(dòng)。如果沒有

合適的蓋子，也可以在瓶子中放一些沙子代替水。

（2）將兩把椅子的椅背相對(duì)，將棍橫架在椅背上，不要將棍與椅背固緊，

如圖15.1.2所示。

mm

（3）剪兩根長度相等的細(xì)繩，系在瓶口，并將瓶子懸吊在棍上。注

意：一定要使懸吊瓶子的繩等長。

（4）當(dāng)兩個(gè)瓶子都靜止后，一只手輕輕扶住一個(gè)瓶子，而另一只手將

第二個(gè)瓶子拉起后放手，使它在垂直于棍的平面內(nèi)擺動(dòng)。

（5）將扶瓶的手也放開。然后，觀察兩個(gè)瓶子的運(yùn)動(dòng)情況。

注意觀察：第二個(gè)瓶子的擺動(dòng)幅度將逐漸減小；而第一個(gè)瓶子將由靜止

慢慢擺動(dòng)起來，其擺動(dòng)幅度逐漸加大；最終，兩個(gè)瓶子的擺動(dòng)情況（擺動(dòng)的

幅度與擺動(dòng)的速度等）將完全相同，根本分不出它們擺動(dòng)的先后次序。

（6）剪第三根繩，系在前兩根繩的中間，與棍平行。

注意：第三根繩不要松弛，但也不要拉得太緊，應(yīng)使兩根豎直的繩仍能

保持相互平行。

（7）重復(fù)第4步的實(shí)驗(yàn)，并觀察兩個(gè)瓶子的運(yùn)動(dòng)情況。

（8）調(diào)節(jié)第三根繩的上下位置，再重復(fù)第4步的實(shí)驗(yàn)，并觀察兩個(gè)瓶

子的運(yùn)動(dòng)情況。

注意觀察：起初，第二個(gè)瓶子的擺動(dòng)幅度逐漸減小，并接近停止擺動(dòng)；

與此同時(shí)，第一個(gè)瓶子由靜止慢慢擺動(dòng)起來，其擺動(dòng)幅度逐漸加大到與第二

個(gè)瓶子的初始擺動(dòng)幅度幾乎相同。然后，二者的情況完全對(duì)調(diào)，即第一個(gè)瓶

子的擺動(dòng)幅度逐漸減小，并接近靜止；與此同時(shí)，第二個(gè)瓶子的擺動(dòng)幅度逐

漸加大，最后兒乎達(dá)到與第一個(gè)瓶子的初始擺動(dòng)幅度相同。兩個(gè)瓶子就這樣

交替擺動(dòng)，周而復(fù)始。

三、網(wǎng)頁導(dǎo)航

1.http:〃/Profbssoi7Vibration/iodex.htm

動(dòng)力機(jī)械振動(dòng)

2.http:〃www./yyh/ziliao/kj/wuli/ixbjxyd038.swf

機(jī)械振動(dòng)課件

3.http:〃/channel/study/sciencepaper/newpagel.htm

有趣的共振現(xiàn)象

4./0804/hlml/a04/a04.html

聲學(xué)

四、例題解析

［經(jīng)典試題］

例1：一彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)，周期為T,下述正確的是：（）

A.若t時(shí)刻和（t+at）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、

方向相同，則at一定等于T的整數(shù)倍

B.若t時(shí)刻和（t+at）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、

方向相反，則At一定等于工的整數(shù)倍

2

C.At=T,則在t時(shí)刻和（t+^t）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度

一定相等

D.若入=二,則在t時(shí)刻和（t+Z\t）時(shí)刻彈簧的長度一定

2

相等

解析：圖所