導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用及生活優(yōu)化問題

1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)求

導(dǎo)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)

一般不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最

小值(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)一般不超過三次).3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.

呈現(xiàn)目標(biāo)復(fù)習(xí)檢測(cè)1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果

，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為常數(shù).f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝0[思考探究1]

f′(x)＞0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件嗎？提示：函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件.2.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其

他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的

左側(cè)

，右側(cè)

，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y

＝f(x)的

，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的

.f′(x)＜0f′(x)＞

0極小值點(diǎn)極小值(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則點(diǎn)b叫做函數(shù)

y＝f(x)的

，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的

.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為

，極大值和極小值統(tǒng)稱為

.f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點(diǎn)極大值極值點(diǎn)極值3.函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上求最大值與最小值的步驟：(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比

較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.[思考探究2]極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)這句話對(duì)嗎？提示：函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.函數(shù)的極值不一定是最值，最值點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn).1.函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(2，＋∞)

B.(－∞，2)C.(－∞，0)D.(0,2)解析：∵f(x)＝x3－3x2＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＜0得，0＜x＜2，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)答案：D自學(xué)檢測(cè)2.函數(shù)y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則(

)A.a＝B.a＝1C.a＝2D.a≤0解析：y′＝3ax2－1，當(dāng)a＝0時(shí)，y′＜0，適合；當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則3ax2－1≤0在R上恒成立，即ax2≤恒成立，所以a＜0.答案：D3.f(x)＝x3－3x2＋3x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A.0B.1C.2D.3解析：導(dǎo)函數(shù)值恒大于或等于零，函數(shù)總單調(diào)遞增.答案：A4.函數(shù)y＝3x2－6lnx的單調(diào)增區(qū)間為

，單調(diào)減區(qū)間為

.解析：y′＝6x－＝.∵定義域?yàn)?0，＋∞)，由y′＞0得x＞1，∴增區(qū)間為(1，＋∞)；由y′＜0得0＜x＜1，∴減區(qū)間為(0,1)答案：(1，＋∞)

(0,1)5.已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最

小值分別為M，m，則M－m＝

.解析：由題意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，且f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案：321.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它們?cè)诙x域內(nèi)的一切實(shí)根.(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的

各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把

函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間.(4)確定f′(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f′(x)的符號(hào)判定

函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性.知識(shí)為例尋找工具2.證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟(1)求f′(x).(2)確認(rèn)f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào).(3)作出結(jié)論：f′(x)＞0時(shí)f(x)為增函數(shù)；f′(x)＜0時(shí)f(x)為減函數(shù).3.已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)注意函數(shù)f(x)

在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子

區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增

減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f′(x0)＝0，甚至可以

在無窮多個(gè)點(diǎn)處f′(x0)＝0，只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給

區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間.

(2009·安徽高考)已知函數(shù)f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.討論f(x)的單調(diào)性.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記]

f(x)的定義域是(0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝1＋－＝.設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8.①當(dāng)Δ＜0即0＜a＜，對(duì)一切x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù).②當(dāng)Δ＝0即a＝時(shí)，僅對(duì)x＝有f′(x)＝0，對(duì)其余的x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)也是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù).③當(dāng)Δ＞0即a＞2時(shí)，方程g(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根，X1＝，x2＝,0＜x1＜x2，x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時(shí)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在()上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增.

是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,2)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍？若不存在，說明理由.解：∵f(x)在(1,2)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′(x)≥0在x∈(1,2)內(nèi)恒成立.即x2－ax＋2≥0在x∈(1,2)內(nèi)恒成立，∴a≤x＋，令h(x)＝x＋，x∈(1,2)，則≤h(x)＜3，∴a≤.又∵a＞0，∴a的取值范圍是0＜a≤.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)極值的步驟：1.先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；2.求方程f′(x)＝0的根；3.檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，

么f(x)在這個(gè)根處取得極大值.如果左負(fù)右正，那么f(x)在

這個(gè)根處取得極小值.[特別警示]可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0且在x0的左側(cè)與右側(cè)的f′(x)的符號(hào)不同.不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).

(2009·天津高考改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記]

(1)當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為1.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因?yàn)閙＞0，所以1＋m＞1－m.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x(－∞，1－m)1－m(1－m,1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值極大值所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，在(1－m,1＋m)內(nèi)是增函數(shù).函數(shù)f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.函數(shù)f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.在(1)的條件下，求f(x)在x∈[－1,3]上的最值.解：當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x.令f′(x)＝0，則x＝0或x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋0－f(x)00由上表可知，f(x)的最大值為，最小值為0.

在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)的最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn).

某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，并且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率P與每日生產(chǎn)量x(x∈N*)件之間的關(guān)系為P＝，每生產(chǎn)一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2000元.(注：正品率＝產(chǎn)品中的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%)(1)將日利潤(rùn)y(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)；(2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？并求出日利潤(rùn)的最大值.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記]

(1)∵y＝－2000(1－)·x＝3600x－，∴所求的函數(shù)關(guān)系式是y＝－＋3600x(x∈N*,1≤x≤40).(2)顯然y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.∴當(dāng)1≤x<30時(shí)，y′>0；當(dāng)30<x≤40時(shí)，y′<0.∴函數(shù)y＝－＋3600(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(30,40]上是單調(diào)遞減函數(shù).∴當(dāng)x＝30時(shí)，函數(shù)y＝－＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值為－×303＋3600×30＝72000(元).∴該廠的日產(chǎn)量為30件時(shí)，日利潤(rùn)最大，其最大值為72000元.

導(dǎo)數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題是高考考查的常規(guī)內(nèi)容.09年遼寧高考將導(dǎo)數(shù)及其幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性、三角、不等式證明等問題綜合考查，很好的考查了考生運(yùn)用已有知識(shí)綜合分析問題并解決問題的能力，是高考命題的一個(gè)新方向.

感悟驗(yàn)證拓展提高[考題印證](2009·遼寧高考)(12分)設(shè)f(x)＝ex(ax2＋x＋1)，且曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與x軸平行.(1)求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)θ∈[0，]時(shí)，|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.【解】

(1)f′(x)＝ex(ax2＋x＋1＋2ax＋1).由條件知，f′(1)＝0，故a＋3＋2a＝0?a＝－1.于是f′(x)＝ex(－x2－x＋2)＝－ex(x＋2)(x－1).┄┄(4分)故當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)，f′(x)＞0.從而f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在(－2,1)內(nèi)單調(diào)遞增.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)(2)證明：由(1)知f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在[0,1]上的最大值為f(1)＝e，最小值為f(0)＝1.┄┄(8分)從而對(duì)任意x1，x2∈[0,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤e－1＜2.而當(dāng)θ∈[0，]時(shí)，cosθ，sinθ∈[0,1].從而|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.┄┄┄┄(12分)

[自主體驗(yàn)](文)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(diǎn)(－1，－6)，且函數(shù)g(x)＝f′(x)＋6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(1)求m、n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＞0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值.解：(1)由函數(shù)f(x)圖象過點(diǎn)(－1，－6)，得m－n＝－3.①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，則g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－＝0.所以m＝－3，代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)(2，＋∞)；由f′(x)＜0得0＜x＜2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值由此可得：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無極小值；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(a－，a＋1)內(nèi)無極值；當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無極大值；當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值.綜上得：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)有極大值－2，無極小值；當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f(x)有極小值－6，無極大值；當(dāng)a＝1或a≥3時(shí)，f(x)無極值.1.函數(shù)y＝xsinx＋cosx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)(

)A.()

B.(π，2π)C.()D.(2π，3π)達(dá)標(biāo)檢測(cè)解析：y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx當(dāng)x∈()時(shí)，恒有xcosx＞0，∴原函數(shù)為增函數(shù).答案：C2.已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大

值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值是(

)A.－37B.－29C.－5D.以上都不對(duì)解析：f′(x)＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝m最大，∴m＝3，而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min＝－37.答案：A3.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如下圖

所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是(

)解析：由y＝f′(x)的圖象易知當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f′(x)＞0，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.答案：C4.(2009·江蘇高考)函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)

間為

.解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)<0，解得：－1<x<11，故減區(qū)間為(－1,11).答案：(－1,11)5.(2009·遼寧高考)若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，

則a＝

.解析：∵f(x)在x＝1處取極值，∴f′(1)＝0，又f′(x)＝∴f′(1)＝＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋