應(yīng)用離散數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)環(huán)與域題庫試卷習(xí)題及答案

應(yīng)用離散數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)§4.6環(huán)與域習(xí)題4.61．設(shè)。證明關(guān)于復(fù)數(shù)地加法與乘法構(gòu)成環(huán),稱為高斯整數(shù)環(huán)。證明:A中任意二個(gè)元素a+bi與c+di,都有（a+bi）+（c+di）=a+c+(b+d)i仍屬于A,滿足封閉性要求。（2）+滿足結(jié)合律。（3）有單位元0。（4）每個(gè)元素a+bi都有逆元-a-bi（5）+滿足交換律。所以<A,+>是交換群。（6）（a+bi）×（c+di）=ac-bd+(ad+bc)i仍屬于A（（a+bi）×（c+di））×（w+ti）=(ac-bd)w-(ad+bc)t+((ac-bd)t+(ad+bc)w)i=acw-bdw-adt-bct+(act-bdt+adw+bcw)i而（a+bi）×（（c+di））×（w+ti）=（a+bi）×（cw-dt+(ct+dw)i）=acw-bdw-adt-bct+(act-bdt+adw+bcw)i所以<A,×>是半群。（7）二個(gè)運(yùn)算滿足分配律。綜上所述,關(guān)于復(fù)數(shù)地加法與乘法構(gòu)成環(huán)。2．設(shè)為實(shí)數(shù),稱為實(shí)數(shù)域上地次多項(xiàng)式,令 。證明關(guān)于多項(xiàng)式地加法與乘法構(gòu)成環(huán),稱為實(shí)數(shù)域上地多項(xiàng)式環(huán)。證明:任意地二個(gè)多項(xiàng)式（a0+a1x+a2x2+….+anxn）+（b0+b1x+b2x2+….+bnxn）=a0+b0+(a1+b1)x+….+(am+bm)xm+….+anxn仍然屬于A,滿足封閉性要求。加法滿足結(jié)合律與交換律。有單位無0。每個(gè)多頂式a0+a1x+a2x2+….+anxn都有逆元-a0-a1x-a2x2-….-anxn所以關(guān)于多項(xiàng)式地加法是交換群。（a0+a1x+a2x2+….+anxn）×（b0+b1x+b2x2+….+bnxn）=a0b0+(a1b0+a0b1)x+….+anbnxn+m,滿足封閉性要求。乘法滿足結(jié)合律。二個(gè)運(yùn)算滿足分配律。綜上所述,關(guān)于多項(xiàng)式地加法與乘法構(gòu)成環(huán)。3．判斷下列集合與給定運(yùn)算是否構(gòu)成環(huán),整環(huán)與域,如果不能構(gòu)成,請說明理由。（1）,運(yùn)算為復(fù)數(shù)地加法與乘法。（2）,運(yùn)算為實(shí)數(shù)地加法與乘法。（3）,運(yùn)算為實(shí)數(shù)地加法與乘法。（4）≥,運(yùn)算為實(shí)數(shù)地加法與乘法。（5）,運(yùn)算為實(shí)數(shù)地加法與乘法。解:是環(huán),是整環(huán),也是域。是環(huán),是整環(huán),不是域。因?yàn)椴皇撬性囟加心嬖?。是環(huán),是整環(huán),不是域。因?yàn)椴皇撬性囟加心嬖?。是環(huán),是整環(huán),不是域。因?yàn)椴皇撬性囟加心嬖?。是環(huán),是整環(huán),是域。4．設(shè)與是含么環(huán)中地兩個(gè)可逆元,證明:（1）可逆,且（2）可逆,且證明:設(shè)其單位元為e,則（1）（-a）(-a)-1=(-a)-1（-a）=e所以（2）（ab）(b-1a-1)=(b-1a-1)（ab）=e所以5．在