第講數(shù)理力學(xué)基礎(chǔ)

第2講數(shù)理力學(xué)基礎(chǔ)1第2講數(shù)理力學(xué)基礎(chǔ)2.1矩陣算法2.2彈性力學(xué)基礎(chǔ)2.3

泛函和變分法22.1矩陣算法線性方程組的表示行向量和列向量矩陣加、減、乘法運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置、對(duì)稱矩陣、單位矩陣矩陣行列式矩陣求逆矩陣的微分和積分正定矩陣（正定二次型）3線性方程組的表示求解方法：高斯消元法、迭代法4行向量和列向量5矩陣加、減、乘法運(yùn)算6對(duì)稱方陣矩陣轉(zhuǎn)置、對(duì)稱矩陣、單位矩陣7或矩陣行列式奇異矩陣(方陣)8如果方陣A的行列式則其逆存在，記為A的伴隨矩陣矩陣的逆對(duì)于：線性方程組的求解，變?yōu)榍蠼庀禂?shù)矩陣的逆矩陣9矩陣的微分和積分10二次型：含有n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式若取正定二次型則11利用矩陣及其運(yùn)算，二次型可表示為A:對(duì)稱矩陣正定二次型：設(shè)為實(shí)二次型，如果對(duì)于任意的非零實(shí)向量X，都有A:正定矩陣12關(guān)于正定矩陣正定矩陣是特殊的對(duì)稱實(shí)矩陣正定矩陣的對(duì)角元aii>0正定矩陣的行列式|A|>0A為正定矩陣的充要條件是A的所有順序主子式皆大于013二次型的微商對(duì)向量x各元素的偏導(dǎo)數(shù)142.2彈性力學(xué)基礎(chǔ)關(guān)于彈性力學(xué)五個(gè)基本假定外力和內(nèi)力應(yīng)力、應(yīng)變、位移指標(biāo)記法和求和約定張量及Voigt標(biāo)記平面問題基本方程及邊界條件三維問題基本方程及邊界條件15關(guān)于彈性力學(xué)彈性力學(xué)是研究彈性體在約束和外載荷作用下內(nèi)力和變形分布規(guī)律的一門學(xué)科。力學(xué)學(xué)科研究對(duì)象特征中學(xué)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)無變形理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系及剛體無變形材料力學(xué)簡單變形體(構(gòu)件)小變形結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)量眾多的簡單變形體小變形彈性力學(xué)任意變形體小變形彈塑性力學(xué)任意變形體任意變形力學(xué)學(xué)科各分支的關(guān)系16五個(gè)基本假定連續(xù)性：無空隙，能用連續(xù)函數(shù)描述均勻性：各個(gè)位置物質(zhì)特性相同各向同性：同一位置的物質(zhì)各個(gè)方向上具有相同特性線彈性：變形和外力的關(guān)系是線性的，外力去除后，物體可恢復(fù)原狀小變形：變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，建立基本方程時(shí)可以忽略高階小量。17外力和內(nèi)力體力—分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。面力—分布在物體表面上的力，例如接觸壓力、流體壓力。分布力：連續(xù)分布在表面某一范圍內(nèi)集中力：分布力的作用面積很小時(shí)的簡化內(nèi)力—外力作用下，物體內(nèi)部相連各部分之間產(chǎn)生的相互作用力。18位移、應(yīng)力、應(yīng)變對(duì)變形體受力和變形進(jìn)行描述的基本變量位移——物體變形后的形狀應(yīng)力——物體的受力狀態(tài)應(yīng)變——物體的變形程度19位移位移就是位置的移動(dòng)。物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用位移在x，y，z坐標(biāo)軸上的投影u、v、w表示。20應(yīng)力—物體內(nèi)某一點(diǎn)的內(nèi)力F1F2F3

應(yīng)力S在其作用截面上的法向分量為正應(yīng)力σ，切向分量稱為剪應(yīng)力，用τ表示。21顯然，點(diǎn)p在不同截面上的應(yīng)力是不同的。為分析點(diǎn)p的應(yīng)力狀態(tài)，即通過p點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力的大小和方向，在p點(diǎn)取出的一個(gè)無窮小平行六面體。用六面體表面的應(yīng)力分量來表示p點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。22一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)無窮小正六面體,六面體的各棱邊邊平行于坐標(biāo)軸23第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用面，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。正應(yīng)力由于作用表面與作用方向垂直，通常用一個(gè)下標(biāo)。應(yīng)力分量的方向定義：如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?；如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?4剪應(yīng)力互等物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量來表示

或25應(yīng)變物體的形狀改變可以歸結(jié)為長度和角度的改變。各線段的單位長度的伸縮，稱為正應(yīng)變，用ε表示。兩個(gè)垂直線段之間的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應(yīng)變，用γ表示。dL+dudL26與應(yīng)力的定義類似，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的變形，可以用六個(gè)應(yīng)變分量表示：或27指標(biāo)記法和求和約定自由指標(biāo)：表達(dá)式每一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次的下標(biāo)，如σij,其中i,j為自由指標(biāo)，可以自由變化。三維問題中，i,j的變化范圍為1,2,3，分別和直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸x,y,z對(duì)應(yīng)。重復(fù)指標(biāo)（啞指標(biāo)）：表達(dá)式的每一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)，如aijxj=bi，j為啞指標(biāo)。求和約定：啞指標(biāo)意味著求和。

愛因斯坦求和約定在微分幾何、張量分析、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等學(xué)科中,對(duì)于表達(dá)式和推導(dǎo)的簡化,有著十分重要的作用。28按一般寫法：用指標(biāo)記法，則為（指標(biāo)變化范圍為1,2,3）采用指標(biāo)記法后，方程(組)的表達(dá)形式得到簡練。29張量及Voigt標(biāo)記大部分連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元相關(guān)的文獻(xiàn)采用張量符號(hào)和指標(biāo)記法張量的定義：不同坐標(biāo)系下滿足一定變換關(guān)系的物理量,如u,σ,ε張量通常采用指標(biāo)記法表示0階張量(標(biāo)量)：無自由指標(biāo)的量1階張量(矢量)：有1個(gè)自由指標(biāo)的量，如ui2階張量：有2個(gè)自由指標(biāo)的量，如σij,εijn階張量：有n個(gè)自由指標(biāo)的量30一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)都符合張量的定義，指標(biāo)記法為σij和εij，是二階張量31對(duì)張量的理解張量不隨坐標(biāo)系的改變而改變例如位移矢量ui

：無論從哪一個(gè)坐標(biāo)系觀察，它反映的總是A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)的客觀事實(shí)，不隨觀察者所在的坐標(biāo)系而改變。再如應(yīng)力張量σij和應(yīng)變張量εij

，盡管在不同的坐標(biāo)系中具有不同的分量，但是它們所描述的卻是某點(diǎn)的同一個(gè)應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)。32Voigt標(biāo)記含義：在有限元編程中，常常將對(duì)稱的二階張量寫成列向量，將非常棘手的對(duì)稱四階張量（如彈性系數(shù)矩陣Dijkl）轉(zhuǎn)換成二階張量。這種轉(zhuǎn)換過程稱為voigt標(biāo)記。轉(zhuǎn)換規(guī)則：應(yīng)力張量（動(dòng)力學(xué)量）的轉(zhuǎn)換應(yīng)變張量（運(yùn)動(dòng)學(xué)量）的轉(zhuǎn)換33應(yīng)力張量的Voigt標(biāo)記34應(yīng)變張量的Voigt標(biāo)記剪切應(yīng)變需要乘以2，這是源于能量表達(dá)式的需要。35彈性系數(shù)矩陣的Voigt標(biāo)記36平面問題及其基本方程彈性體在滿足一定條件時(shí)，其變形和應(yīng)力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的變形和應(yīng)力的分布規(guī)律來代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。37平面應(yīng)力問題很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。由于板很?。?8平面應(yīng)變問題很長的柱形體，支承情況不沿長度變化，在柱面上受到平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，體力也如此分布。39三大類基本方程

在彈性力學(xué)中針對(duì)微小的單元體建立基本方程，把復(fù)雜形狀彈性體的受力和變形分析問題歸結(jié)為偏微分方程組的邊值問題。彈性力學(xué)的基本方程包括平衡方程：內(nèi)力和外力的關(guān)系幾何方程：應(yīng)變和位移的關(guān)系物理方程（本構(gòu)方程）：應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系40平衡方程ab=dx

ad=dy41習(xí)慣上張量指標(biāo)形式：單位體積力42幾何方程43張量指標(biāo)形式：44物理方程平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)變問題：張量指標(biāo)形式：45邊界條件oxyds外法線n的方向余弦

l=dy/ds

m=dx/ds46位移BC力BC張量指標(biāo)形式：47三維問題基本方程及邊界條件

可以將平面問題的基本方程推廣到三維問題?；咀兞咳缦拢何灰疲簯?yīng)變：應(yīng)力：48平衡方程柱坐標(biāo)系下：49幾何方程50物理方程51邊界條件52三維問題基本方程的張量指標(biāo)形式平衡方程：幾何方程：物理方程：邊界條件：53軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱物體：某一平面圖形繞平面上某一軸旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)體。此平面稱子午面。軸對(duì)稱物體＋軸對(duì)稱約束＋軸對(duì)稱載荷＝軸對(duì)稱系統(tǒng)對(duì)軸對(duì)稱系統(tǒng)的應(yīng)力分析＝軸對(duì)稱問題54受均布內(nèi)壓作用的長圓筒55研究軸對(duì)稱問題時(shí)通常采用圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)，以z軸為對(duì)稱軸由于對(duì)稱性:4個(gè)應(yīng)力分量，4個(gè)應(yīng)變分量，2個(gè)位移分量56軸對(duì)稱問題的平衡方程建立柱坐標(biāo)系57軸對(duì)稱問題的幾何方程58軸對(duì)稱問題的物理方程59602.3

泛函和變分法泛函也是一種“函數(shù)”，它的獨(dú)立變量一般不是通常函數(shù)的“自變量”，而是通常函數(shù)本身。泛函是函數(shù)的函數(shù)。變量函數(shù)函數(shù)泛函61為什么“任意兩點(diǎn)間的最短連線是連接兩端的直線”？曲線y=y(x)—是x函數(shù)曲線的長度L=L(y(x))—是y(x)的泛函在xy平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B，連接A、B有很多條曲線y=y(x)，x是自變量，y是獨(dú)立函數(shù)。曲線的長度L是隨不同的曲線而定的，L是一個(gè)泛函。62泛函的定義設(shè){y(x)}是給定的函數(shù)集，如果對(duì)于這個(gè)函數(shù)集中任一函數(shù)y(x)恒有某個(gè)確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為П(y(x))，則П(y(x))是定義于集合{y(x)}上的一個(gè)泛函。泛函定義域內(nèi)的函數(shù)為可取函數(shù)或容許函數(shù)，y(x)稱為泛函П的變量函數(shù)。泛函П(y(x))與可取函數(shù)y(x)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質(zhì)決定的。63變分法變分法是在一組容許函數(shù)中選定一個(gè)函數(shù)，使給定的泛函取駐值（研究求泛函極大(小)值的方法）。對(duì)變分法有重大影響的三個(gè)歷史命題最速降線問題（1696,JohnBornouli）短程線問題（1697,JohnBornouli）等周問題（1774,歐拉）64最速降線問題試確定出連結(jié)不在同一鉛直線上的A、B兩點(diǎn)的一條曲線，使得當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著這條曲線在重力作用下，由A運(yùn)動(dòng)到B所用的時(shí)間最少．65666768短程線問題6970二類變分問題71變分算符變量函數(shù)的變分對(duì)于泛函П(y(x))定義域中的任一元素y(x)，當(dāng)y(x)由y0(x)變?yōu)閥1(x)，則稱y1(x)-y0(x)為y(x)在y0(x)上的變分，記作δy=y1(x)-y0(x)，仍然是一個(gè)函數(shù)常記作變分δy和微分dy的差別變分δy—整個(gè)函數(shù)的改變微分dy—因x取不同值而產(chǎn)生