力學(xué)其次版習(xí)題答案第十章

本文格式為Word版，下載可任意編輯——力學(xué)其次版習(xí)題答案第十章第十章波動(dòng)基本知識(shí)小結(jié)

⒈平面簡(jiǎn)諧波方程y?Aco?s(t?xV)?Acos?(t?kx)；?T?2?,k??2?,v?1/T,V??v。

⒉彈性波的波速僅取決媒質(zhì)性質(zhì)：彈性體中橫波的波速

V?N/?，彈性體中縱波的波速V?Y/?，流體中縱波波速V?k/?，繩波波速V?T/?。

⒊波的平均能量密度??12??2A2，波的平均能流密度I?1??2A22V。

⒋波由波密射向波疏媒質(zhì)，在邊界處，反射波與入射波相位相

同；波由波疏射向波密媒質(zhì)，在邊界處，反射波比入射波相位落后π，相當(dāng)損失半個(gè)波長(zhǎng)；例如：在自由端無(wú)半波損失，在固定端有半波損失。

⒌振動(dòng)方向一致、頻率一致、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波疊加叫波的干擾。

⒍振幅一致、傳播方向相反的兩列相干波疊加產(chǎn)生駐波現(xiàn)象；

駐波方程y?2Acos2??xcos?t；波節(jié)兩邊質(zhì)元振動(dòng)相位相反，兩個(gè)波節(jié)之間質(zhì)元振動(dòng)相位一致；相鄰波節(jié)或相鄰波腹間距離為λ/2，

相鄰波腹波節(jié)間距離為λ/4。

⒎多普勒公式：v'?V?V0V?VSv，在運(yùn)用此公式時(shí)，以波速V為正方

向，從而確定V0、VS的正負(fù)。

10.2.1頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的

感覺(jué)。0oC時(shí)，空氣中的聲速為331.5m/s,求這兩種頻率聲波的波長(zhǎng)。

解：?V?v?,???V/v,?1?V/v1?331.520?16.58m

?2?V/v2?331.5/20?16.58?10?3m?

10.2.2一平面簡(jiǎn)諧聲波的振幅A=0.001m，頻率為1483Hz，在20oC的水中傳播，寫出其波方程。

解：查表可知，波在20oC的水中傳播，其波速V=1483m/s.設(shè)o-x軸沿波傳播方向，x表示各體元平衡位置坐標(biāo)，y表示各體元相對(duì)平衡位置的位移，并取原點(diǎn)處體元的初相為零，則：

y?Acos2?v(t?xV)?0.001cos(2966?t?2?x)

10.2.3已知平面簡(jiǎn)諧波的振幅A=0.1cm,波長(zhǎng)1m,周期為10-2s,寫出波方程（最簡(jiǎn)形式）.又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？

解：取坐標(biāo)原點(diǎn)處體元初相為零，o-x軸沿波傳播方向，則波方程的最簡(jiǎn)形式為

y?Acos?(t?xtx?3V)?Acos2?(T??)?10cos2?(100t?x)???2?(100t?9)?2?(100t?10)?2?

10.2.4寫出振幅為A,頻率v=f,波速為V=C,沿o-x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波方程.波源在原點(diǎn)o,且當(dāng)t=0時(shí)，波源的振動(dòng)狀態(tài)是位移為零，速度沿o-x軸正方向。

解：設(shè)波源振動(dòng)方程為y?Acos(?t??).

∵t=0時(shí)，y?Acos??0,u?dydt???Asin??0,?????2∴波方程y?Acos[2?v(t?xV)??2]?Acos[2?f(t?xC)??2]

10.2.5已知波源在原點(diǎn)（x=0）的平面簡(jiǎn)諧波方程為

y?Acos(bt?cx),A,b,c均為常量.試求：⑴振幅、頻率、波速和波

長(zhǎng)；⑵寫出在傳播方向上距波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程式，此質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)

的初相位如何？

解：⑴將y?Acos(bt?cx)與標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)?Acos(?t?kx)比較，ω=b,k=c,∴振幅為A,頻率v=ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波長(zhǎng)λ=V/v=2π/c.

⑵令x=l,則y?Acos(bt?cl)，此質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)初相為–cl.

10.2.6一平面簡(jiǎn)諧波逆x軸傳播，波方程為

y?Acos2?v(t?xV?3),試?yán)酶淖冇?jì)時(shí)起點(diǎn)的方法將波方程化

為最簡(jiǎn)形式。

解：令t’=t+3,則y?Acos2?v(t'?xV)，即將計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前3s,即可把方程化為如上的最簡(jiǎn)形式。

10.2.7平面簡(jiǎn)諧波方程y?5cos2?(t?x4)，試用兩種方法畫出t?35s時(shí)的波形圖（SI）。

解：由波方程可知：A=5,v=4,v=1,λ=v/v=4

t?35cos2?(35s時(shí)，y?5?xcos?124)?52(x?5)

方法一：令x'?x?125，先畫出y?5cos?2x'的波形圖，然后將y軸右移125即可。方法二：找出x、y的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)規(guī)律描出。

y'y

x(m)

10.2.8對(duì)于平面簡(jiǎn)諧波S?rcos2?(tT??x)中，r=0.01m,T=12s,λ=0.30m,畫出x=0.20m處體元的位移-時(shí)間曲線。畫出t=3s,6s時(shí)的

波形圖。

解：波方程S?rcos2?(t??x)?0.01cos2?(txT12?0.3)⑴令x=0.20，S?0.01cos2?(t?0.2120.3)?0.01cos?6(t?8)；令

t'=t-8,根據(jù)T=12s及余弦曲線的規(guī)律，先畫出S'?0.01cos?6t'的S’-t’曲線，再把S'軸向左移動(dòng)8秒，即得S-t曲線。

S(m)S’

-10123456789101112t(s)-0.01

⑵令t=3,S?0.01cos2?(3?x120.)?0.01cos2?(x330.3?12)=

0.01cos20(x?3?333?40).令x'?x40，根據(jù)??0.3?4?40m及余弦

曲線的規(guī)律，先畫出S'?0.01cos203?x'的S’-x’曲線，再把S’軸向左移動(dòng)3/40m，即得S-x曲線。S(m)S’0.01x(3/40m)-101234567t=6s時(shí)的波形圖，可把t=3s時(shí)的波形圖左移6?3?0.3?31240m，

即1個(gè)單位，就是t=6s時(shí)的波形圖（虛線所示）。

10.2.9兩圖分別表示向右和向左傳的平面簡(jiǎn)諧波在某一瞬時(shí)的波形圖，說(shuō)明此時(shí)x1,x2,x3以及ξ1,ξ2,ξ3各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負(fù)？它們的相位如何？（對(duì)于x2和ξ2只要求說(shuō)明其相位在第幾像限）

yxvyv2

x1x3xξ2ξ1ξ3x

解：根據(jù)y?Acos?(t?xV),u???Asin?(t?xV)及波形圖隨時(shí)間t的移動(dòng)方向，可做出如下判斷：

x1x2x3ξ1ξ2ξ3位移正最大負(fù)0正最大負(fù)0速度0負(fù)負(fù)最大0正正最大相位0或2πⅡ像限π/20或2πⅢ像限-π/2

10.2.10圖（a）、（b）分別表示t=0和t=2s時(shí)的某一平面簡(jiǎn)諧波的波形圖。試寫出平面簡(jiǎn)諧波方程。

解：由波形圖知：A=2m,λ=2m.由圖（a），原點(diǎn)處質(zhì)元t=0時(shí)，y=A,可判斷其初相為零.比較y/mv（a）、（b）兩圖,（b）圖可看2作（a）圖向右移動(dòng)0.5m得到。012x/m∴VΔt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s.-2ω=2πV/λ=2π×0.25/2=0.25π圖（a）?y?2cos?(t?xV)?2cos0.25?(t?x0.25)012x/m?2cos?(0.25t?x)圖（b）

10.3.1有一圓形橫截面的銅絲，受張力1.0N,橫截面積為1.0mm2.求其中傳播縱波和橫波時(shí)的波速各為多少？銅的密度為8.9×103kg/m3,銅的楊氏模量為12×109N/m2.

解：縱波波速V?Y12?109??8.3?103?1.16?103m/s.

銅絲的線密度?'??s?8.9?103?1.0?10?6?8.9?10?3kg/m，銅

絲中傳播的橫波是繩波，橫波波速V?T?1'?8.9?10?3?10.6m/s

10.3.2已知某種溫度下水中聲速為1.45×103m/s,求水的體變模量。

解：∵水中聲波速度V??k?水的體變模量

k??V2?1.0?103?(1.45?103)2?2.10?109Pa

10.4.1在直徑為14cm管中傳播的平面簡(jiǎn)諧波，平均能流密度為9erg/s.cm2，v=300Hz，V=300m/s.⑴求最大能量密度和平均能量密度，⑵求相鄰?fù)辔徊骈g的總能量。

解：平均能流密度I?122??A2V?9?10?3J/s.m2

⑴∵能量密度????2A2sin2?(t?xV)，∴最大能量密度?2?3max???2A?2IV?2?9?10300?6?10?5J/m3.平均能量密度

??122110?52??A?2?max?3?J/m3⑵管的橫截面積s??R2?3.14?(14?10?2)2?1.54?10?2m22，∵相鄰?fù)辔徊骈g的距離為??Vv?300300?1m，∴其間總能量為

E???s?3?10?5?1?1.54?10?2?4.6?10?7J

10.4.3面向街道的窗口面積約40m2,街道上的噪聲在窗口的聲強(qiáng)級(jí)為60dB,問(wèn)有多少聲功率傳入室內(nèi)？（即單位時(shí)間進(jìn)入多少聲能）

解：據(jù)聲強(qiáng)級(jí)定義：Il?10lgII0?60,lgII0?6,I?106I0，

所以傳入室內(nèi)的聲功率W?IS?106?10?12?40?4.0?10?5W

10.4.4距一點(diǎn)聲源10m的地方，聲音的聲強(qiáng)級(jí)為20dB，求：⑴距聲源5m處的聲強(qiáng)級(jí)；⑵距聲源多遠(yuǎn)就聽不見(jiàn)1000Hz的聲音了？

解：⑴設(shè)r=r1=5m時(shí),聲強(qiáng)為I1,聲強(qiáng)級(jí)為IL1；r=r2=10m時(shí)，聲強(qiáng)為I2,聲強(qiáng)級(jí)為IL2

?I4?r2222r11?I24?r2,?I1?I2(rr1)，用聲強(qiáng)級(jí)

表示：10lgI1I0?10lgI2r22I?10lgI2220r12I0?10lg(rr1)即ILr221?IL2?10lg(r1)?20?10lg4?20?6.02?26.02dB⑵設(shè)r=r3時(shí)聽不到聲音，即對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)IL3=0

10lgI2I2I3I2I22I3?10lgI0?10lgI0?IL2?IL3?20?0,?lgI3?2,I3?10I2?r2I3r22I224?r2?I343,I2?(r3),r3?I3r2?10?10?100m

10.5.1聲音干擾儀用于顯示聲波的干擾，見(jiàn)圖。薄膜S在電磁鐵的作用下振動(dòng)，D為聲音檢測(cè)器，SBD長(zhǎng)度可變，SAD長(zhǎng)度固定，聲音干擾儀內(nèi)充滿空氣。當(dāng)B處于某一位置時(shí)，在D處聽到的聲強(qiáng)為100單位的最小聲音，將B移動(dòng)則聲音加大，當(dāng)B移動(dòng)1.65cm時(shí)聽到強(qiáng)度為900單位的最強(qiáng)音。求：⑴聲波的頻率；⑵到達(dá)D處二聲波振幅之比，已知聲速為342.4m/s

解：⑴D處聽到的聲強(qiáng)是由

SAD和SBD傳過(guò)來(lái)的兩列相干波疊

S加結(jié)果；聲強(qiáng)最小，說(shuō)明兩列相干

波在D處的相位相反，合振幅為兩BA個(gè)分振幅之差；聲強(qiáng)最大，說(shuō)明兩

列相干波在D處相位一致，合振幅

D為兩個(gè)分振幅之和；兩列波在D處的相位差由相反變?yōu)橐恢?，相位差改變?yōu)棣?，因此兩列波傳播距離的改變?yōu)棣?2，有：

??2?2V2?2?1.65?10,??6.6?10m,v???342.46.6?10?2?5188Hz

⑵I221/I2?A1/A2,A1/A2?I1/I2?100/900?1/3

10.5.2兩個(gè)波源發(fā)出橫波，振動(dòng)方向與紙面垂直，兩波源具有一致的相位，波長(zhǎng)0.34m.⑴至少求出三個(gè)x數(shù)值使得在P點(diǎn)合振動(dòng)最強(qiáng)，⑵求出三個(gè)x數(shù)值使得在P點(diǎn)的合振動(dòng)最弱。

解：由于兩個(gè)波源的相位一致，

因而二波在P點(diǎn)引起的兩個(gè)分振動(dòng)的lP相位差??l?(l?x)?2??2??xl-x

⑴當(dāng)2??x?2n?(n?0,1,2…）時(shí)，

合振動(dòng)最強(qiáng)。取n=0,1,2,得x1=0,x2=λ=0.34m,x3=2λ=0.68m

⑵當(dāng)2??x?(2n?1)?(n?0,1,2…）時(shí)，合振動(dòng)最弱。取n=0,1,2,

得x1=λ/2=0.17m,x2=3λ/2=0.51m,x3=5λ/2=0.85m

10.5.3試證明兩列頻率一致，振動(dòng)方向一致、傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡(jiǎn)諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加。

證明；設(shè)滿足要求的兩列平面簡(jiǎn)諧波的波方程為：

y1?A1cos(?t?kx),y2?A2cos(?t?kx),A1?A2y?A1cos(?t?kx)?A2cos(?t?kx)?(A1?A2?A2)cos(?t?kx)?A2cos(?t?kx)?(A1?A2)cos(?t?kx)?A2[cos(?t?kx)?cos(?t?kx)]?(A1?A2)cos(?t?kx)?2A2coskxcos?t（應(yīng)用三角函數(shù)公式：cos??cos??2cos???cos???22）

顯然，前一項(xiàng)表示一行波，后一項(xiàng)為一駐波

10.5.4入射波y?10?10?4cos[2000?(t?x34)]在固定端反射，

坐標(biāo)原點(diǎn)與固定端相距0.51m,寫出反射波方程.無(wú)振幅損失.(SI)

解：反射波的振幅、頻率、波速均與入射波一致；反射波傳播

方向與入射波傳播方向相反；入射波在原點(diǎn)處振動(dòng)初相為零，設(shè)反射波在坐標(biāo)原點(diǎn)處振動(dòng)初相為φ，固定端反射有半波損失，所以

0???2??2???,???(4???1)???(4?0.5134/1000?1)???61?.綜合以上考慮，反射波方程為y?10?10?4cos[2000?(t?x34)?61?]?10?10?4cos[2000?(t?x34)??]

10.5.5入射波方程為y?Acos2?(tT??x)，在x=0處的自由端反射，求反射波的波方程。無(wú)振幅損失。

解：反射波的振幅、周期、波長(zhǎng)與入射波一致；反射波傳播方向與入射波相反；由于在x=0處的自由端反射，無(wú)半波損失，反射波與入射波在原點(diǎn)的初相一致。綜合以上考慮，反射波方程為

y?Acos2?(txT??)

10.5.610.5.7圖表示某一瞬時(shí)入射波的波形圖，分別畫出在固定端反射和在自由端反射時(shí)，反射波的波形圖，無(wú)振幅損失。

解：1

23

x

方法：可先把界面后邊的入射波補(bǔ)畫上去，如圖1；固定端反射時(shí)，損失半個(gè)波長(zhǎng)，可把界面后邊的波形去掉半個(gè)波長(zhǎng)，然后把剩余波形映射過(guò)去即可，如圖2；自由端反射，無(wú)半波損失，直接把界面后邊的波形映射過(guò)去即可，如圖3。

10.5.8一平面簡(jiǎn)諧波自左x/m向右傳播，在波射線上某質(zhì)元0.2A的振動(dòng)曲線如圖示。后來(lái)此012345t/s波在前進(jìn)方向上遇一障礙物而-0.2反射，并與該入射平面簡(jiǎn)諧波疊加而成駐波，相鄰波節(jié)波腹距離為3m,以質(zhì)元A的平衡位置為o-y軸原點(diǎn)，寫出該入射波波方程。

解：∵相鄰波節(jié)波腹間距離是λ/4=3,∴λ=12m,k=2π/λ=π/6；從A點(diǎn)振動(dòng)曲線可知：A=0.2m,T=2s,ω=2π/T=π；設(shè)A點(diǎn)振動(dòng)方程為x?0.2cos(?t??),∵t=0.5s時(shí)，x=-0.2,∴-0.2=0.2cos(?2??)

??2????,??2.綜合以上考慮，入射波波方程應(yīng)為

x?0.2cos(?t?ky??)?0.2cos(?t???6y?2)

10.5.9同一媒質(zhì)中有兩個(gè)平面簡(jiǎn)諧波波源作同頻率、同方向、同振幅的振動(dòng)。兩波相對(duì)傳播，波長(zhǎng)8m.波射線上A、B兩點(diǎn)相距20m.一波在A處為波峰時(shí)，另一波在B處相位為-π/2.求AB連線上因干擾而靜止的各點(diǎn)的位置

解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，y建立圖示坐標(biāo)系，x表示各質(zhì)A20mBx元的平衡位置，y表示各質(zhì)元的振動(dòng)位移。

設(shè)：y1?Acos(?t?2??x),y2?Acos(?t?2??x??)，據(jù)題意，波1使A處(x=0)質(zhì)元位移最大時(shí)，波2使B處(x=20)質(zhì)元的振

動(dòng)相位為-π/2,即t=0時(shí)，2???20??????2,????2?40?8??5.5?

∴y2?Acos(?t?2??x?5.5?).

合振動(dòng)位移為零（即靜止）的條件是：兩波在這些點(diǎn)引起的分振動(dòng)的相位差???(?t?2??x?5.5?)?(?t?2??x)?(2n?1)?，

將λ=8代入并整理，可得x=4n+13,n=0,±1,±2,±3….由于

0≤x≤20,∴取n=-3,-2,-1,0,1,對(duì)應(yīng)的x=1,5,9,13,17m.

10.5.10一提琴弦長(zhǎng)50cm,兩端固定，不用手指按時(shí)，發(fā)出的聲音是A調(diào)：440Hz，若欲發(fā)出C調(diào)：528Hz，手指應(yīng)按在何處？

解：基頻決定音調(diào)，取n=1，v1?1T2l?,v1'?1T2l'?,所以，

v1v?l',l'?v1vl?440?50cm?41.67cm，即手按在41.67cm1'l1'528可發(fā)出C調(diào)音

10.5.11張緊的提琴弦能發(fā)出某一種音調(diào)，若欲使它發(fā)生的頻率比原來(lái)提高一倍，問(wèn)弦內(nèi)張力應(yīng)增加多少倍？解：?v?1TT'22