第5章時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法

第5章時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.1引言5.2用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.3無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.4有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.5線性相位結(jié)構(gòu)5.1引言

研究數(shù)字濾波器一般包括兩個(gè)內(nèi)容：（1）由濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析其運(yùn)算功能或頻率響應(yīng)，即：

（2）由濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)出系統(tǒng)函數(shù)H(z)，再由H(z)畫出實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)H(z)、差分方程、h(n)分析技術(shù)指標(biāo)H(z)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

所以，只有掌握了數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)與其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，才能進(jìn)行濾波器的研究。

對(duì)一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。若系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程：則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：

(5.1.1)(5.1.2)

為了對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行處理，必須把上式變換成一種算法，按照這種算法對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。該式是對(duì)輸入信號(hào)的一種直接算法，如果己知輸入信號(hào)x(n)、系數(shù)a、b和n時(shí)刻以前的y(n-i)，就可以遞推求出y(n)值。給定一個(gè)差分方程，不同的算法有很多種，如：不同的算法，直接影響系統(tǒng)的特性，在研究中我們用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)表示具體的算法。本章介紹：數(shù)字系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

5.2用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

從(5.1.1)式可知，數(shù)字信號(hào)處理中有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如圖5.2.1所示。圖5.2.1三種基本運(yùn)算的流圖表示

信號(hào)流圖輸入節(jié)點(diǎn)輸出節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)變量支路增益

圖5.2.2信號(hào)流圖(a)基本信號(hào)流圖；(b)非基本信號(hào)流圖

和每個(gè)節(jié)點(diǎn)連接的有輸入支路和輸出支路，節(jié)點(diǎn)變量等于所有輸入支路的輸出之和。上圖中:

不同的信號(hào)流圖代表不同的運(yùn)算方法，而對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號(hào)流圖相對(duì)應(yīng)。從基本運(yùn)算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號(hào)流圖(PrimitiveSignalFlowGraphs)。

(1)

信號(hào)流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數(shù)或者是z-1；

(2)

流圖環(huán)路中必須存在延時(shí)支路；

(3)

節(jié)點(diǎn)和支路的數(shù)目是有限的。若不是基本信號(hào)流圖，則它不能決定一種具體的算法。根據(jù)信號(hào)流圖可以求出網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，方法是列出各個(gè)節(jié)點(diǎn)變量方程，求解該方程，推導(dǎo)出輸出與輸入之間的關(guān)系。

[例5.2.1]

求圖5.2.2(a)信號(hào)流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。經(jīng)過(guò)聯(lián)立求解得到：

解:將5.2.1式進(jìn)行z變換，得:梅遜公式直接寫出系統(tǒng)函數(shù)H(z)

一般將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分成兩類：（1）有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)稱FIR網(wǎng)絡(luò)(FiniteImpulseResponse);（2）無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)稱IIR網(wǎng)絡(luò)(InfiniteImpulseResponse)。FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：

其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的，按照上式，h(n)表示為：其它n

IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，即：信號(hào)流圖中存在環(huán)路。這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。例如：一個(gè)簡(jiǎn)單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)差分方程為：

y(n)=ay(n-1)+x(n)

其單位脈沖響應(yīng)：

h(n)=anu(n)

這兩類不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)各有不同的特點(diǎn)，在后面的兩節(jié)分別敘述。5.3無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

IIR網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)是信號(hào)流圖中含有反饋支路（有環(huán)路），其單位脈沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的?；揪W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有三種：直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型。1.直接型對(duì)N階差分方程：所謂直接型，就是按照差分方程直接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。圖5.3.1IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu)

[例5.3.1]IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解：由H(z)寫出差分方程如下：圖5.3.2例5.3.1圖對(duì)直接型結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)：可直接按差分方程畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。缺點(diǎn)：對(duì)高階系統(tǒng)調(diào)整零、極點(diǎn)困難；對(duì)系數(shù)a,b的量化效應(yīng)敏感度高；2.級(jí)聯(lián)型在(5.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子分母均為多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)，對(duì)分子分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得：(5.3.1)

式中A為常數(shù)，Cr和dr分別為零點(diǎn)和極點(diǎn)。由于多項(xiàng)式的系數(shù)是實(shí)數(shù)，Cr和dr

是實(shí)數(shù)或者是共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)。將共軛成對(duì)的零點(diǎn)(極點(diǎn))放在一起，形成一個(gè)二階多項(xiàng)式，其系數(shù)仍為實(shí)數(shù)。再將分子、分母均為實(shí)系數(shù)的二階多項(xiàng)式放在一起，形成一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)

式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均為實(shí)數(shù)。這樣H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)形式：

H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(5.3.3)

式中Hi(z)為一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖：Hj(z)形如下式：(5.3.2)

圖5.3.3一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[例5.3.2]

設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：

畫出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得：

圖5.3.4例5.3.2圖

H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)極點(diǎn)，每個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)零點(diǎn)、一對(duì)極點(diǎn)。在二階網(wǎng)絡(luò)中，調(diào)整二階網(wǎng)絡(luò)中分子的三個(gè)系數(shù)可以改變一對(duì)零點(diǎn)的位置，調(diào)整分母的二個(gè)系數(shù)可以改變一對(duì)極點(diǎn)的位置。對(duì)級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成靈活；零、極點(diǎn)調(diào)整方便；

對(duì)系數(shù)a,b的量化效應(yīng)敏感度低。級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會(huì)再流到前面，運(yùn)算誤差的積累相對(duì)直接型也小。缺點(diǎn)：仍存在運(yùn)算誤差積累。3.并聯(lián)型如果將級(jí)聯(lián)形式的H(z)，展開成部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，系數(shù)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為：(5.3.4)

式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是實(shí)數(shù)。如果α2i=0則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由(5.3.4)式，其網(wǎng)絡(luò)的輸出Y(z)為：

Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)將x(n)送入每個(gè)二階(一階)網(wǎng)絡(luò)后，將所有輸出加得到輸出y(n)。[例5.3.3]

畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下圖所示。圖5.3.5例5.3.3圖

解:將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：在并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，每個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)共扼極點(diǎn)，因此調(diào)整極點(diǎn)位置方便，但調(diào)整零點(diǎn)位置不如級(jí)聯(lián)型方便。各個(gè)基本網(wǎng)絡(luò)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運(yùn)算誤差互不影響，不像直接型和級(jí)聯(lián)型那樣有誤差積累，因此，并聯(lián)形式運(yùn)算誤差最小。由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，可同時(shí)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)與直接型和級(jí)聯(lián)型比較，其運(yùn)算速度最高。對(duì)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)算速度快；極點(diǎn)調(diào)整方便；

系數(shù)量化效應(yīng)敏感度低。缺點(diǎn)：調(diào)整零點(diǎn)不方便；當(dāng)H(z)有多階極點(diǎn)時(shí)，部分分式展開較麻繁。5.4有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒(méi)有反饋支路，即沒(méi)有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為：其基本結(jié)構(gòu)有：直接型、級(jí)聯(lián)型、頻率采樣結(jié)構(gòu)。1.直接型按照H(z)或者差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。

圖5.4.1FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。共需N次乘法和N-1次加法及N-1個(gè)延時(shí)。特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單直觀，乘法次數(shù)少，但零點(diǎn)調(diào)整較難。2.級(jí)聯(lián)型將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。[例5.4.1]

設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：將H(z)因式分解得：

H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)

其直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖5.4.2所示。圖5.4.2例5.4.1圖特點(diǎn)：每級(jí)獨(dú)立控制零點(diǎn)，但乘法次數(shù)比直接型多。5.5線性相位結(jié)構(gòu)

線性相位結(jié)構(gòu)是FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，特點(diǎn)是網(wǎng)絡(luò)具有線性相位特性，比直接型結(jié)構(gòu)節(jié)約了近一半的乘法器。第7章將證明，如果系統(tǒng)具有線性相位，它的單位脈沖響應(yīng)滿足下面公式:（5.5.1）

“＋”代表第一類線性相位濾波器;“－”號(hào)代表第二類線性相位濾波器。系統(tǒng)函數(shù)滿足下面兩式:

當(dāng)N為偶數(shù)