合作聯(lián)盟學(xué)校2020屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省合作聯(lián)盟學(xué)校2020屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析數(shù)學(xué)試題一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)的位置上。)1。滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義,可得，表示外徑為,內(nèi)徑為1的圓環(huán),結(jié)合圓的面積公式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)?可得，即，所以表示外徑為，內(nèi)徑為1的圓環(huán),其中圓環(huán)的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)復(fù)數(shù)的結(jié)合意義，求得圖形的形狀，結(jié)合圓的面積公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力。2。對(duì)某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本頻率分布直方圖如圖，若一批電子元件中壽命在100～300小時(shí)的電子元件的數(shù)量為400，則壽命在500～600小時(shí)的電子元件的數(shù)量為_(kāi)______.【答案】300【解析】【分析】根據(jù)小矩形的面積等于這一組的頻率，先求出電子元件的壽命在某時(shí)段的頻率,再乘以樣本容量,即可求解.【詳解】由題意，壽命在100~300小時(shí)的電子元件的頻率為,所以樣本容量為，從而壽命在500～600小時(shí)的電子元件的數(shù)量為件.故答案為：300.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,其中解答中熟記小矩形的面積等于這一組的頻率是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)用意識(shí).3.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為_(kāi)___．【答案】205【解析】分析】根據(jù)已知中的程序代碼，得到本程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值,模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析各個(gè)變量的變化規(guī)律，可得答案?！驹斀狻磕M程序語(yǔ)言,運(yùn)行過(guò)程,可得,滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體;滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí)，不滿足條件，退出循環(huán),輸出S的值為，故答案為205.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序語(yǔ)言應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中應(yīng)模擬程序語(yǔ)言的運(yùn)行過(guò)程，以便得出輸出的計(jì)算規(guī)律,從而得到計(jì)算的結(jié)果，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。4。若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)，作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),則點(diǎn)在直線上方的概率為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】連續(xù)擲兩次骰子分別得到共有36個(gè)基本事件，再根據(jù)點(diǎn)在直線上方,利用列舉法,求得基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)，,共有36個(gè)基本事件，其中點(diǎn)在直線上方，即滿足不等式的，有，共有9個(gè)基本事件，所以概率為。故答案為:。【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中認(rèn)真審題,利用列舉法求得所有事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力。5。若圓錐的高是底面半徑和母線的等比中項(xiàng)，則稱此圓錐為“黃金圓錐”,已知一黃金圓錐的側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐的高為_(kāi)______?！敬鸢浮?【解析】【分析】設(shè)出圓錐的底面半徑和高、母線，由題設(shè)條件列出關(guān)系式，即可求得圓錐的高,得到答案?！驹斀狻吭O(shè)圓錐底面半徑為，高為，母線為,由圓錐的高是底面半徑和母線的等比中項(xiàng)，可得，且圓錐的側(cè)面積為，即，解得.故答案為：1?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力。6.在△ABC中,a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a2，b2，c2成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，即可求得的最小值．【詳解】∵a2，b2，c2成等差數(shù)列，∴2b2＝a2+c2，∴（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立）∴a＝c時(shí)，的最小值為。故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵。7.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,其中，,則【答案】—6【解析】分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)(ak,eak)處的切線，求出切線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到數(shù)列遞推式，看出數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列,從而求出所求．解：∵y=ex，∴y′=ex，∴y=ex在點(diǎn)（ak,eak）處的切線方程是:y-eak=eak（x-ak），整理，得eakx—y-akeak+eak=0，∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1，∴ak+1=ak-1，∴｛an}是首項(xiàng)為a1=0，公差d=—1的等差數(shù)列，∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．故答案為—6．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線方程以及數(shù)列和函數(shù)的綜合,本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出數(shù)列遞推式，求出兩個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系,得到數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，屬于中檔題8.關(guān)于的不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑刹坏仁降慕饧鶕?jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得,且，進(jìn)而把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由題意,關(guān)于的不等式的解集為,即是一元二次方程的兩根，可得解得,且,則關(guān)于的不等式可化為，即，即，解得，所以不等式的解集為。故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，三個(gè)二次式的關(guān)系，以及分式不等式的求解，著重考查了推理與運(yùn)算能力.9。記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當(dāng)k＝1，2，3，……時(shí)，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n,S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測(cè)，A﹣B＝_____．【答案】【解析】【分析】觀察知各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1，最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)所給的已知等式得到：各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1,最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù),∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，意在考查學(xué)生的推理能力。10.設(shè)P為yx2﹣2圖象C上任意一點(diǎn),l為C在點(diǎn)P處的切線，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到l距離的最小值為_(kāi)____。【答案】2【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)P坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)求得C在點(diǎn)P處的切線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式寫(xiě)出坐標(biāo)原點(diǎn)O到l距離，再由基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)P(),由yx2﹣2，得，∴，則C在點(diǎn)P處的切線方程為：，整理得：?！嘧鴺?biāo)原點(diǎn)O到l距離d.當(dāng)且僅當(dāng),即x0＝0時(shí)上式等號(hào)成立?！嘧鴺?biāo)原點(diǎn)O到l距離的最小值為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.11.已知函數(shù),若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1）=f(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】(—∞,1）∪（2，+∞）【解析】【分析】分類討論，，三種情況,結(jié)合題意可知函數(shù)不單調(diào)，繼而求解出結(jié)果.【詳解】若?x1,x2∈R，x1≠x2，使得f（x1)=f(x2)成立,則說(shuō)明f（x)在R上不單調(diào)．①當(dāng)a=0時(shí)，,其圖象如圖所示,滿足題意②當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=?x2+2ax的對(duì)稱軸x=a〈0，其圖象如圖所示，滿足題意③當(dāng)a〉0時(shí),函數(shù)y=?x2+ax的對(duì)稱軸x=a>0，其圖象如圖所示,要使得f(x)在R上不單調(diào)則只要二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a〈1,或,∴0〈a〈1或a>2,綜合得a的取值范圍是（?∞,1）∪(2，+∞).【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的求值問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，解答過(guò)程中需要進(jìn)行分類討論,本題屬于常考題型，需要掌握解題方法。12。直線與圓心為的圓交于，兩點(diǎn)，直線,的傾斜角分別為，，則______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑扇切蔚耐饨桥c不相鄰的內(nèi)角的關(guān)系,得到，再利用圓的性質(zhì)建立兩個(gè)傾斜角的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)整理得到，再利用正切的倍角公式，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，可得，由三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角的關(guān)系，可得,由圓的性質(zhì)可知,直線過(guò)圓心，是等腰三角形,所以，所以,可得，所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程，直線的方程及直線的傾斜角，正切的倍角公式，以及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力。13。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中A（0,1）為直角頂點(diǎn)．若該三角形的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____．【答案】3【解析】【分析】設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0），聯(lián)立方程得到B(，）,故S，令t,得S,利用均值不等式得到答案。【詳解】設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1,則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標(biāo)（0，1），∴B的坐標(biāo)為（,k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S?！遲2,∴S△ABC。當(dāng)且僅當(dāng)，即t時(shí)，△ABC的面積S有最大值為。解之得a＝3或a?！遖時(shí),t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.14.若,，則______.【答案】【解析】【分析】由和的地位上相同，同時(shí)和的地位上也相同，分類討論，即可求解.【詳解】由題意知，和的地位上相同,類似的：和的地位上也相同,（1)若最大，設(shè),要使得最小，則其余的數(shù)盡可能的大，其中最大取，此時(shí),剩下也要盡可能大，取，則，因?yàn)?，要使得盡可能大，則，此時(shí)，解得；(2）若最大，設(shè),與（1)中類似,時(shí),最小，同樣,要使得最小,則最大，此時(shí)，可得，解得。綜上可得。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的和的應(yīng)用，以及不等式和函數(shù)的最值問(wèn)題，著重考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與回歸思想，以及推理與運(yùn)算能力.二、解答題（本大題共6小題,共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知，,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DC平面ABC；（Ⅱ）設(shè)，求三棱錐A－BFE的體積．【答案】（1）祥見(jiàn)解析；(2）．【解析】試題分析:（Ⅰ）證明:在圖甲中∵且∴，即在圖乙中,∵平面ABD平面BDC,且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又，∴DC⊥BC，且∴DC平面ABC．(Ⅱ)解：∵E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)∴EF//CD，又由（Ⅰ）知，DC平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴在圖甲中,∵,∴,由得，∴∴∴。考點(diǎn)：線面垂直,和幾何體體積點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間中線面垂直的證明，以及三棱錐的體積的求解，屬于基礎(chǔ)題．16。已知函數(shù)（其中,，）的圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為。（1）求的解析式;（2）當(dāng)時(shí),求的最大值及相應(yīng)的的值。【答案】（1）（2)的最大值為2,此時(shí)【解析】【分析】(1）由題意,求得,，得到，將代入求得，即可得到函數(shù)的解析式；（2）由，得到，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】(1）由題意，函數(shù)圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為,可得，又由函數(shù)圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,即,可得，此時(shí)函數(shù)，將代入上式，得,即，因?yàn)椋傻茫?。?）因?yàn)?則,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),，則,即時(shí)，函數(shù)的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.17。如圖,某校打算在長(zhǎng)為1千米的主干道一側(cè)的一片區(qū)域內(nèi)臨時(shí)搭建一個(gè)強(qiáng)基計(jì)劃高校咨詢和宣傳臺(tái),該區(qū)域由直角三角形區(qū)域（為直角）和以為直徑的半圓形區(qū)域組成，點(diǎn)（異于,)為半圓弧上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足。已知,設(shè)，且。初步設(shè)想把咨詢臺(tái)安排在線段，上，把宣傳海報(bào)懸掛在弧和線段上。(1）若為了讓學(xué)生獲得更多的咨詢機(jī)會(huì)，讓更多的省內(nèi)高校參展，打算讓最大，求該最大值；（2）若為了讓學(xué)生了解更多的省外高校，貼出更多高校的海報(bào)，打算讓弧和線段的長(zhǎng)度之和最大，求此時(shí)的的值.【答案】(1);(2）【解析】【分析】（1）由題意,結(jié)合三角恒等變換的公式，求得,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解;（2)由題意，取線段的中點(diǎn)，連接，求得弧長(zhǎng)和線段的長(zhǎng)度之和表達(dá)式，設(shè)，，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可求解。【詳解】（1）由題意，在中,可得，在中,可得，在中,可得，所以。因?yàn)?，則,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取得最大值，且最大值為千米。（2）取線段的中點(diǎn)，連接，則。由（1）知，，故的長(zhǎng)為，則和線段的長(zhǎng)度之和,.設(shè)，,，，則，因?yàn)?，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故。易知函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和線段的長(zhǎng)度之和最大.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題,根據(jù)題意求得函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題。18.已知橢圓的離心率,橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1,B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.原點(diǎn)到直線A2B2的距離為。（1）求橢圓C的方程；（2）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn),直線PA1，PA2,分別交x軸于點(diǎn)N,M，若直線OT與以MN為直徑的圓G相切，切點(diǎn)為T.證明：線段OT的長(zhǎng)為定值,并求出該定值?！敬鸢浮浚?）y2＝1（2)證明見(jiàn)解析;定值2【解析】【分析】（1）設(shè)a＝2m，cm，則b＝m。直線A2B2方程為mx﹣2my﹣2m2＝0.由點(diǎn)到直線距離公式能求出m＝1。由此能求出橢圓方程.（2)由A1（0，1）A2（0，﹣1），設(shè)P（x0，y0）,分別求出直線PA1和直線PA2,設(shè)圓G的圓心為，利用圓的性質(zhì)能證明線段OT的長(zhǎng)度為定值2;【詳解】(1）因?yàn)闄E圓C的離心率e,故設(shè)a＝2m，cm,則b＝m.直線A2B2方程為bx﹣ay﹣ab＝0，即mx﹣2my﹣2m2＝0.所以,解得m＝1。所以a＝2，b＝1，橢圓方程為y2＝1；（2）由（1）可知A1（0，1）A2（0，﹣1）,設(shè)P（x0,y0），直線PA1：y﹣1x，令y＝0，得xN，直線PA2：y+1x,令y＝0，得xM,設(shè)圓G的圓心為，則。OG2OT2＝OG2﹣r2。而y02＝1，所以x02＝4(1﹣y02)，所以O(shè)T2＝4，所以O(shè)T＝2，即線段OT的長(zhǎng)度為定值2?！军c(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法,是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、圓、點(diǎn)到直線距離公式、切割線定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.19。已知函數(shù)，函數(shù)，函數(shù)(1）當(dāng)函數(shù)在時(shí)為減函數(shù)，求a的范圍;（2）若a=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；①求函數(shù)g(x）的單調(diào)區(qū)間；②證明：【答案】（1）.（2）①單調(diào)増區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為;②證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析:(1)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立;（2）,①，則，現(xiàn)在要討論(或）的解,關(guān)鍵是函數(shù)，同樣我們用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，,當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以對(duì)任意，，從而知當(dāng)時(shí)，當(dāng)，；②這一題比較特殊，要證不等式，即證，即證,考慮到在①中已證明的最小值為1，那么下面我們?nèi)绻芮蟪龅淖畲笾挡淮笥?（最多等于1），命題即證.這同樣利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證明.試題解析:(1）因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)為減函數(shù)，所以。.因?yàn)椋?，?①當(dāng)a=e時(shí)，所以=記，則，當(dāng)當(dāng)所以〉0。所以在，在;即g(x）的單調(diào)増區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為②證明：由①得欲證，只需證即證。記，則當(dāng)，，當(dāng)，．即由①得.所以.考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，不等式恒成立問(wèn)題.20.設(shè)數(shù)列{an}，對(duì)任意n∈N＊都有（kn+b)（a1+an)+p＝2（a1+a2…+an),(其中k、b、p是常數(shù)）.（1）當(dāng)k＝0，b＝3,p＝﹣4時(shí)，求a1+a2+a3+…+an；（2）當(dāng)k＝1，b＝0,p＝0時(shí)，若a3＝3，a9＝15，求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列{an｝中任意(不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。當(dāng)k＝1，b＝0,p＝0時(shí)，設(shè)Sn是數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和,a2﹣a1＝2,試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列”｛an}，使得對(duì)任意n∈N*,都有Sn≠0，且。若存在，求數(shù)列{an｝的首項(xiàng)a1的所有取值;若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1)(2)an＝2n﹣3（3）存在;a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10【解析】【分析】（1)當(dāng)k＝0，b＝3,p＝﹣4時(shí)，3（a1+an）﹣4＝2（a1+a2+…+an），再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{an｝是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，從而可求a1+a2+a3+…+an；（2）當(dāng)k＝1，b＝0，p＝0時(shí)，n(a1+an）＝2（a1+a2+…+an），再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（3）確定數(shù)列{an｝的通項(xiàng),利用｛an｝是“封閉數(shù)列”，得a1是偶數(shù)，從而可得，再利用，驗(yàn)證，可求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1的所有取值.【詳解】（1）當(dāng)k＝0，b＝3，p＝﹣4時(shí)，3(a1+an)﹣4＝2（a1+a2+…+an)，①用n+1去代n得，3（a1+an+1）﹣4＝2（a1+a2+…+an+an+1），②②﹣①得,3(an+1﹣an)＝2an+1，an+1＝3an，在①中令n＝1得,a1＝1，則an≠0，∴，∴數(shù)列{an｝是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列,∴a1+a2+a3+…+an;(2)當(dāng)k＝1，b＝0，p＝0時(shí)，n（a1+an）＝2(a1+a2+…+an），③用n+1去代n得，(n+1)（a1+an+1）＝2（a1+a2+…+an+an+1)，④④﹣③得，（n﹣1）an+1﹣nan+a1＝0，⑤用n+1去代n得,nan+2﹣（n+1)an+1+a1＝0，⑥⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan＝0,即an+2﹣an+1＝an+1﹣an,∴數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列。∵a3＝3，a9＝15，∴公差，∴an＝2n﹣3.(3）由（2)知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，∵a2﹣a1＝2,∴an＝a1+2（n﹣1）.又｛an}是“封閉數(shù)列”，得：對(duì)任意m，n∈N＊，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1)＝a1+2(p﹣1）,得a1＝2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶數(shù),又由已知，，故,一方面，當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}中每一項(xiàng)均正數(shù)，故對(duì)任意n∈N*，都有，另一方面,當(dāng)a1＝2時(shí)，Sn＝n（n+1），，則,取n＝2，則,不合題意;當(dāng)a1＝4時(shí)，Sn＝n（n+3），，則，符合題意；當(dāng)a1≥6時(shí),Sn＝n(n+a1﹣1)＞n（n+3）,,,則當(dāng)a1≥6時(shí)，均符合題意；又，∴a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題。三、附加題，共40分,【選做題】本題包括A，B兩小題，每小題10分共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟21。已知矩陣。（1)求矩陣的特征值和特征向量；（2）設(shè)，求.【答案】（1)答案不唯一,見(jiàn)解析(2）【解析】分析】（1)令，求得或，分類討論,即可求解；（2）由（1)知，根據(jù)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1)由題意，令,解得或，當(dāng)時(shí)，由，取，即,當(dāng)時(shí)，由，取,即。（2）因?yàn)?，所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算，即矩陣的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力。22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù))，點(diǎn)A（1，0)，B（3，）,若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，且長(zhǎng)度單位相同,建立極坐標(biāo)系.(1）求直線AB的極坐標(biāo)方程;（2）求直線AB與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)A、B寫(xiě)出直線AB的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可；（2)把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，求出直線與曲線的交點(diǎn)，再化為極坐標(biāo)即可.【詳解】（1）由點(diǎn)A（1，0），B（3，），所以直線AB的直角坐標(biāo)方程為：,化為極坐標(biāo)方程是：；（2）曲線C的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù),化為普通方程是:y2＝x（y≥0）；由,解得,即交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為;化為極坐標(biāo)是：。【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)與參數(shù)方程和極坐標(biāo)的互化問(wèn)題，是綜合性題目?！颈刈鲱}】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.23。過(guò)直線y＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)A(a，﹣1)作拋物線y＝x2的兩切線AP，AQ，P，Q為切點(diǎn)。（1）若切線AP,AQ的斜率分別為k1,k2，求證：k1?k2為定值.（2）求證:直線PQ過(guò)定點(diǎn)?！敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1)設(shè)過(guò)A作拋物線y＝x2的切線的斜率為k,用選定系數(shù)法給出切線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元得到關(guān)于x的一元二次方程，此一元二次方程僅有一根，故其判別式為0，得到關(guān)于k的一元二次方程，k1，k2必為其二根，由根系關(guān)系可求得兩根之積為定值，即k1?k2為定值;（2）設(shè)P(x1，y1）,Q（x2，y2），用其坐標(biāo)表示出兩個(gè)切線的方程，因?yàn)锳點(diǎn)是兩切線的交點(diǎn)將其坐標(biāo)代入兩切線方程，觀察發(fā)現(xiàn)P(x1，y1）,Q（x2，y2)的坐標(biāo)都適合方程2ax﹣y+1＝0上，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，故可得過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程必為2ax﹣y+1＝0，該線過(guò)定點(diǎn)（0，1）故證得.【詳解】（1）設(shè)過(guò)A作拋物線y＝x2的切線