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文檔簡介
高中數學《導數及其應用》同步練習題(含答案)
1.一個物體的運動方程為s=1?t+2t2其中s的單位是米,t的單位是秒,那么物體在A.9米/秒B.10米/秒C.11米/秒D.12米/秒
2.若函數f(x)=lnx?ax2在區(qū)間A.(?∞,?B.(?∞,?C.[D.(
3.若關于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集為A,且(2,?+∞)?A,則整數A.3B.4C.5D.6
4.定義在R上的函數f(x)滿足:f′(x)>1?f(x),f(0)=3,f′(x)是f(x)的導函數,則不等式exf(x)>eA.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<?1D.{x|x<?1
5.一質點做直線運動,由始點經過ts后的距離為s=13tA.t=4sB.t=8sC.t=4s與t=8sD.t=0s與t=4s
6.曲線y=x3?3A.y=3x?4B.y=?3x+2C.y=?4x+3D.y=4x?5
7.函數y=sinx的圖象上一點A.1B.3C.2D.1
8.函數f(x)=?2x+ax3,若f′(2)=1,則a=(A.4B.1C.?4D.?
9.已知函數y=f(x)的圖象在點M(1,?f(1))處的切線方程是y=12x+2A.1B.5C.3D.0
10.若曲線y=x3+px+q與x軸相切,則pA.(B.(C.2p?3D.2q?3
11.已知函數f(x)=ex+
12.已知函數f(x)=f′(π2)
13.定義在R上的函數f(x)滿足:f′(x)>1?f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的導函數,則不等式exf(x)>e
14.y=xcosx在
15.已知f(x)=ekx,則
16.函數f(x)=ln
17.已知函數
f(x)=txx2
18.若函數f(x)=sin(3?5x),則
19.若函數f(x)=x3?12x+a的極大值為11,則
20.若函數f(x)=x+1?a(x?1x+1)在x=1
21.已知定義在R上的函數f(x)=x3(1)若k=?5,求f(x)的極值;(2)若f(x)在區(qū)間(0,3)內單調,求實數k的取值范圍.
22.已知函數f(x)=lnx?ax+a,(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;(2)當x≥0時,函數g(x)=(x+1)f(x)?lnx的圖象恒不在x軸的上方,求實數
23.已知函數f(x)=x?1?alnx((1)討論函數f(x)的單調性;(2)若對于任意的x1,x2∈(0,1],且x
24.已知函數f(x)=x3+ax2(1)求a,b的值并求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)求f(x)在[?2,4]的最值.
25.設x=1和x=2是函數f(x)=x(1)求a和b的值;(2)求f(x)的單調區(qū)間.
26.已知函數f(x)=x(1)若f(x)在x=0處取得極值為?2,求a、b的值;(2)若f(x)在(1,?+∞)上是增函數,求實數a的取值范圍.
27.已知函數f(x)=ln(x+1)與函數g(x)=x(1)求實數a,b的值;(2)記F(x)=f(x)?g(x),求F(x)的極植.
28.已知函敦f(x)=ax2+blnx,其中ab≠0
29.已知函數f(x)=x(x?1)(x?a)有絕對值相等,符號相反的極大值和極小值,試確定常數a的值.
30.已知函數f(x)=x3+ax2+3x+b(a,?b∈R),若
參考答案一、選擇題1.C2.A3.B4.A5.C6.B7.D8.B9.C10.B二、填空題11.e+212.3?1213.(0,?+∞)14.12?3π615.kekx16.(?∞,??1)17.(?1,1)18.?5cos(3?5x)19.?2120.2三、解答題21.解:(1)k=?5時,f(x)=x3?6x2?1,f′(x)=3x2?12x.
令f′(x)=0,即3x2?12x=0,解得x=0或x=4.
下面分兩種情況討論:
當f′(x)>0,即x<0或x>4時;
當f′(x)<0,即
因此,當x=0時,f(x)有極大值,并且極大值為f(0)=?1;當x=4時,
f(x)有極小值,并且極小值為f(4)=?33.
(2)f′(x)=3x2+2(k?1)x+k+5=3(x?1?k3)2?(1?k)23+k+5,
f′(x)的圖象是開口向上的拋物線,對稱軸是直線x=1?k3.
當1?k3≤0,即k≥1時,f′(0)=k+5>0
且f′(x)在(0,3)上單調遞增,
∴f′(x)>0在(0,3)內恒成立,
∴f(x)在(0,3)上單調遞增,即k≥1時滿足題意.
當1?k3≥3,即k≤?8時,f′(0)=k+5<0
且f′(x)在(0,3)上單調遞減,∴f′(x)<0在(0,3)內恒成立,∴f(x)在(0,3)上單調遞減.
即k≤?8時滿足題意.
當0<1?k3<3即?8<k<1時,若?8<k≤?5,則f′(0)=k+5≤0,只需f′(3)=7k+26≤0即k≤?267,
此時f′(x)≤0在(0,3)內恒成立.即f(x)在(0,3)上單調遞減.
∴?8<k≤?5時滿足題意.
若?5<k<1,則f′(0)=k+5>0,此時只需f′(1?k3)=?(1?k)23+k+5≥022.解:(1)由題意得函數f(x)的定義域是(0,+∞).
∵f(x)=lnx?ax+a,∴f′(x)=1x?a.
當a≤0時,f′(x)>0,函數f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數;
當a>0時,令f′(x)=?ax?1ax,當x>1a時,f′(x)<0,函數f(x)在1a,+∞上是減函數,當0<x<1a時,f′(2)當x≥1時,函數g(x)=(x+1)f(x)?lnx=xlnx?ax2?1的圖象恒不在x軸的上方等價于g(x)max≤0(x≥1).
由g(x)=xlnx?ax2?1,得g′(x)=lnx+1?2ax.
令h(x)=lnx+1?2ax,則h′(x)=1x?2a.
①若a≤0,則h′(x)>0,故h(x)在[1,+∞)上單調遞增,
∴h(x)≥h(1),即g′(x)≥g′(1)=1?2a≥0,∴g(x)在[1,+∞)上單調遞增,
∴g(x)≥g(1)=0,從而xlnx?ax2?1≥0,不符合題意;
②若0<a<12,當x∈1,12a時,h′(x)>0,故h(x)在x∈1,12a上單調遞增,
∴h(x)≥h(1)23.解:(1)由題意知f′(x)=1?ax=x?ax(x>0),
∵x>0,a<0,∴(2)不妨設0<x1<x2≤1,則1x1>1x2>0,
由(1)知fx1<fx2,
∴|fx1?fx2|<4|1x1?1x2|?x2?fx1<41x1?1x224.解:(1)函數f(x)=x3+ax2+bx+2的導數為f′(x)=3x2+2ax+b,
圖象在點M(1,f(1))處的切線方程為12x+y?3=0,
可得3+2a+b=?12,3+a+b=?9,
解得a=?3,b=?9.
由f(x)=x3?3x2?9x+2的導數為f′(x)=3x2?6x?9,
(2)由f′(x)=0,可得x=?1或x=3,
則f(?1)=7,f(3)=?25,f(?2)=0,f(4)=?18,
可得f(x)在[?2,4]的最小值為?25,最大值為25.解:(1)因為f′(x)=5x4+3ax2+b
由假設知:f′(1)=5+3a+b=0,(2)由(1)知f′(x)=5x4+3ax2+b=5(x2?1)(x2?4)=5(x+1)(x+2)(x?1)(x?2)
當x∈(?∞,??2)∪(?1,?1)∪(2,?+∞)時,f′(x)>0
當x∈(?2,??1)∪(1,?2)時,f′(x)<0
因此f(x)26.解:(1)根據題意得:
f′(0)=a=0,
f(0)=b=?2.(2)f′(x)=3x2+a
當a≥0,f′(x)>0,f(x)在R上遞增,滿足題意;
當a<0,f′(x)=3x2+a=0,x2=?a327.解:(1)f′(x)=1x+1,g′(x)=2x+a,
由題意得:f′(0)=g′(0),f(0)=g(0),
∴a=1,b=0;(2)F(x)=f(x)?g(x)=ln(x+1)?x2?x,
F′(x)=1x+1?2x?1=?2x2+3xx+1=?x(2x+3)x+1(x>?1),
令F′(x)>0,解得:?1<x<0,
28.解:∵函敦f(x)=ax2+blnx,其中ab≠0,
∴f(x)的定義域為(0,?+∞),
f′(x)=2ax+bx=2ax2+bx.
∵函數有極值,
∴f′(x)=0有解,
即2ax2+b=0有解.
∴△>0即ab<029.解:f(x)=x(x?1)(x?a)=x3?(a+1)
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