定積分的換元法

定積分的換元法第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四先來看一個例子例1換元求不定積分令則故第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四為去掉根號令則當x從0連續(xù)地增加到4時，t相應地從1連續(xù)地增加到3于是嘗試一下直接換元求定積分第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四將上例一般化就得到定積分的換元積分公式由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進行換元，所不同的是不定積分換元時要回代原積分變量，而對定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計算出定積分，而不必回代原積分變量第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四一、換元公式第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四證第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四應用換元公式時應注意:（1）（2）第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四計算解1由定積分的幾何意義等于圓周的第一象限部分的面積解2故o例2第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四令解4令仍可得到上述結果解3第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四解令例3計算第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四定積分的換元積分公式也可以反過來使用為方便計將換元公式的左、右兩邊對調(diào)同時把x換成

t，t換成

x這說明可用引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必換限注第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例4計算解第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例5計算解原式第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例6計算解一令原式第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四解二接解一對令則第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四證第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四即：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于對稱的部分區(qū)間上積分的兩倍由定積分的幾何意義，這個結論也是比較明顯的第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例8計算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四（1）設（2）設證第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四另證將上式改寫為奇函數(shù)第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例10設f(x)是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明證明與a的值無關第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例11設f(x)連續(xù)，常數(shù)a>0證明證明比較等式兩邊的被積函數(shù)知，第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四例12設f(x)連續(xù)解第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四定積分的換元法幾個特殊積分、定積分的幾個等式

二、小結第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四思考題解令第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四思考題解答計算中第二步是錯誤的.正確解法是第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四練習題第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共37頁，2023年，2