對(duì)稱性和布拉維格子的分類

對(duì)稱性和布拉維格子的分類第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)稱操作：維持整個(gè)物體不變而進(jìn)行的操作稱作對(duì)稱操作。即：操作前后物體任意兩點(diǎn)間的距離保持不變的操作。點(diǎn)對(duì)稱操作：在對(duì)稱操作過程中至少有一點(diǎn)保持不動(dòng)的操作。有限大小的物體，只能有點(diǎn)對(duì)稱操作。對(duì)稱元素：對(duì)稱操作過程中保持不變的幾何要素：點(diǎn)，反演中心；線，旋轉(zhuǎn)軸；面，反映面等。對(duì)稱性的概念：

一個(gè)物體（或圖形）具有對(duì)稱性，是指該物體（或圖形）是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的部分組成，經(jīng)過一定的空間操作（線性變換），各部分調(diào)換位置之后整個(gè)物體（或圖形）保持不變的性質(zhì)。第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四一些圖形的對(duì)稱操作：●●如何科學(xué)地概括和區(qū)別四種圖形的對(duì)稱性？從旋轉(zhuǎn)來看，圓形對(duì)繞中心的任何旋轉(zhuǎn)都是不變的；正方形只能旋轉(zhuǎn)才保持不變；后2個(gè)圖形只有的旋轉(zhuǎn)。圓形的任一直徑都是對(duì)稱線；正方形只有4條連線是對(duì)稱線；等腰梯形只有兩底中心連線是對(duì)稱線。第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四

以上，考察在一定幾何變換之下物體的不變性，使用的幾何變換（旋轉(zhuǎn)和反射）都是正交變換——保持兩點(diǎn)距離不變的變換：其中Aij

為正交矩陣從解析幾何知道，符合正交變換的是：繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(Rotationaboutanaxis)

繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角數(shù)學(xué)上可以寫作：第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四反演：（Inversion)反映（Reflection)恒等操作（Z=0的平面）表示對(duì)稱操作的符號(hào)有兩種，這里用的是國際符號(hào)。第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四

如果，一個(gè)物體在某一正交變換下保持不變，我們就稱這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱操作。一個(gè)物體可能的對(duì)稱操作越多，它的對(duì)稱性就越高。立方體具有較高的對(duì)稱性，它有48個(gè)對(duì)稱操作：繞4條體對(duì)角線可以旋轉(zhuǎn)共8個(gè)對(duì)稱操作；繞3個(gè)立方邊可以旋轉(zhuǎn)共9個(gè)對(duì)稱操作；繞6條棱對(duì)角線可以轉(zhuǎn)動(dòng)π，共6

個(gè)對(duì)稱操作；加上恒等操作共24個(gè)。立方體體心為中心反演，所以以上每一個(gè)操作加上中心反演后，仍為對(duì)稱操作，因此立方體共有48個(gè)對(duì)稱操作。第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四

通過仔細(xì)分析可知正四面體允許的對(duì)稱操作只有24個(gè)；正六角拄的對(duì)稱操作也只有24個(gè)，它們都沒有立方體的對(duì)稱性高。請(qǐng)思考它們的對(duì)稱操作？第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)上看，群代表一組元素的集合

G=｛E,A,B,C,D,……｝這些元素被賦予一定的乘法法則，滿足下列性質(zhì)：若A,B∈G則AB＝C∈G,這是群的閉合性。存在單位元素E,使所有元素滿足：AE=A

任意元素A，存在逆元素：AA-1=E

元素間滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C對(duì)稱操作群：一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作的集合，構(gòu)成對(duì)稱操作群。描述物體的對(duì)稱性需要找出物體的全部對(duì)稱操作，也就是找出它所具有的對(duì)稱操作群。

一個(gè)物體全部對(duì)稱操作的集合，也滿足上述群的定義，運(yùn)算法則是連續(xù)操作，不動(dòng)操作是單位元素。第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四注意：在說明一個(gè)物體的對(duì)稱性時(shí)，為了簡便，有時(shí)不去一一列舉所有的對(duì)稱操作，而是指出它的對(duì)稱元素，若一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)以及它的倍數(shù)物體保持不變時(shí)，便稱作n重旋轉(zhuǎn)軸，記做n

；若一個(gè)物體繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)再作反演以及轉(zhuǎn)動(dòng)它的倍數(shù)再作反演物體保持不變時(shí)，該軸稱作n重旋轉(zhuǎn)－反演軸,記做。立方體的對(duì)稱元素有：正四面體的對(duì)稱元素只有：卻沒有顯然，列舉出一個(gè)物體的對(duì)稱元素和說出它的對(duì)稱操作一樣，都可以表明出物體的對(duì)稱特點(diǎn)。第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四二.晶體中允許的對(duì)稱操作：

人們?cè)缇椭赋?，晶體的外形（宏觀）對(duì)稱性是其原子做周期性排列的結(jié)果。原子排列的周期性用晶體點(diǎn)陣表示，晶體本身對(duì)稱操作后不變，其晶體點(diǎn)陣在對(duì)稱操作后也應(yīng)該保持不變，這就限制了晶體所可能有的點(diǎn)對(duì)稱操作數(shù)目，可以證明：不論任何晶體，它的宏觀對(duì)稱元素最多只可能有10種（一說8種）對(duì)稱元素：

說明：是反映面m，而不是獨(dú)立的。8種說法指：對(duì)稱操作符號(hào)，除去以上使用的國際符號(hào)外，還通常使用熊夫利符號(hào)。第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四旋轉(zhuǎn)－反演軸的對(duì)稱操作：1次反軸為對(duì)稱中心；2次反軸為對(duì)稱面；3次反軸為3次軸加對(duì)稱中心第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四旋轉(zhuǎn)－反演軸的對(duì)稱操作：6次反軸為3次軸加對(duì)稱面；4次反軸可以獨(dú)立存在。第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四見黃昆書30頁晶體中只有2，3，4，6次旋轉(zhuǎn)軸，沒有5次軸和大于6次以上的軸，可以直觀的從只有正方形、長方形、正三角形、正六邊形可以重復(fù)布滿平面，而5邊形和n(>6)邊形不能布滿平面空間來直觀理解。因此固體中不可能存在5次軸曾是大家的共識(shí)，然而1984年美國科學(xué)家Shechtman在急冷的鋁錳合金中發(fā)現(xiàn)了晶體學(xué)中禁戒的20面體具有的5次對(duì)稱性，這是對(duì)傳統(tǒng)晶體觀念的一次沖擊。第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四20面體的對(duì)稱性第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四黃昆書47頁

目前普遍的認(rèn)識(shí)是：晶體的必要條件是其構(gòu)成原子的長程有序，而不是平移對(duì)稱性，具有5次對(duì)稱性的準(zhǔn)晶體（Quasicrystal）就是屬于原子有嚴(yán)格的位置有序，而無平移對(duì)稱性的晶體。它的圖像可從二維Penrose拼圖中得到理解。實(shí)際是一種準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，是介于周期晶體和非晶玻璃之間的一種新的物質(zhì)形態(tài)——準(zhǔn)晶態(tài)。見馮端書p72τ

是黃金比值第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四三.晶體宏觀對(duì)稱性的表述：點(diǎn)群：

晶體中只有8種獨(dú)立的對(duì)稱元素：

C1(1)、C2(2)、C3(3)、C4(4)、C6(6)、Ci(i)、σ(m)和

實(shí)際晶體的對(duì)稱性就是由以上八種獨(dú)立點(diǎn)對(duì)稱元素的各種可能組合之一，由對(duì)稱元素組合成對(duì)稱操作群時(shí)，對(duì)稱軸之間的夾角、對(duì)稱軸的數(shù)目，都會(huì)受到嚴(yán)格的限制，例如，若有兩個(gè)2重軸，它們之間的夾角只可能是，可以證明總共只能有32種不同的組合方式，稱為32種點(diǎn)群。形形色色的晶體就宏觀對(duì)稱性而言，總共只有這32種類型，每種晶體一定屬于這32種點(diǎn)群之一，這是對(duì)晶體按對(duì)稱性特點(diǎn)進(jìn)行的第一步分類。

第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四7種晶系和14種布拉菲格子：

1.1中我們討論了晶體的周期性，現(xiàn)在我們又分析了晶體的宏觀對(duì)稱性，它們是晶體中原子有序排列所反映的相互聯(lián)系、相互制約的兩個(gè)側(cè)面。任何晶體都具有晶體點(diǎn)陣所代表的基本周期性，由此我們導(dǎo)出了晶體宏觀對(duì)稱性所具有的32種點(diǎn)群類型?，F(xiàn)在我們反過來提出問題，晶體如果具有某種宏觀對(duì)稱，它應(yīng)該具有怎樣的點(diǎn)陣？也就是說如果要求一個(gè)晶體點(diǎn)陣的陣矢要具有某一點(diǎn)群

的對(duì)稱性，它的基矢

應(yīng)該滿足怎樣的要求？第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四

首先通過分析發(fā)現(xiàn)，一些不同的點(diǎn)群之間，有一些相同的特征，例如：3種四面體群和2種八面體群都含有4個(gè)3重軸，可以把它們歸為一個(gè)晶系，包含上述5個(gè)點(diǎn)群。依次類推，可以根據(jù)某些特征對(duì)稱元素，把32種點(diǎn)群歸并為7個(gè)晶系。這是對(duì)晶體對(duì)稱性更概括的分類。相應(yīng)于這7個(gè)晶系的點(diǎn)陣及選擇出的點(diǎn)陣原胞（通過對(duì)晶軸相對(duì)取向的選擇）也應(yīng)該體現(xiàn)這些晶系的對(duì)稱性，我們稱之為慣用晶胞。它們都是簡單格子，例如簡立方格子包含4個(gè)3重軸和3個(gè)4次軸，可以代表立方晶系的晶胞等，如此我們得到的7個(gè)晶系的名稱及其對(duì)晶胞的要求、所含點(diǎn)群類型見下頁表。第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四三斜晶系Triclinic

除了1次軸或中心反演外無其他對(duì)稱元素單斜晶系Monoclinic

最高對(duì)稱元素是一個(gè)2次軸或鏡面正交晶系Orthorhombic

最高對(duì)稱元素是2個(gè)以上的2次軸或鏡面4.四方晶系Tetragonal

最高對(duì)稱元素是一個(gè)4次軸或一個(gè)4次反軸立方晶系Cubic

具有4個(gè)3次軸三方晶系Trigonal(菱方晶系Rhombohedral)

最高對(duì)稱具有唯一的3次軸或3次反軸六方晶系Hexagonal

最高對(duì)稱具有唯一的6次軸或6次反軸第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四14種Bravais格子：

根據(jù)晶體的對(duì)稱性特征，我們已經(jīng)將晶體劃分成七個(gè)晶系，每個(gè)晶系都有一個(gè)能反映其對(duì)稱性特征的晶胞，每個(gè)晶胞的端點(diǎn)安放一個(gè)陣點(diǎn)，就是一種晶體點(diǎn)陣的原胞，共形成7種點(diǎn)陣?，F(xiàn)在考慮在原胞體心、面心和單面心上增加陣點(diǎn)的可能，新的圖像必須符合平移對(duì)稱性和晶系對(duì)稱性的要求，且又不同于上述7種簡單點(diǎn)陣，結(jié)果又給出7種新的點(diǎn)陣類型，所以既能反映平移對(duì)稱性又能反映所屬晶系對(duì)稱性特征的晶體點(diǎn)陣共有14種，它們的慣用晶胞如下頁所示：P：簡單格子；C：底心格子；I：體心格子；F：面心格子，三方晶系的菱形原胞用R表示。第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四

任何一種晶體，對(duì)應(yīng)的晶格都是14種點(diǎn)陣中的一種，指出晶體所屬的點(diǎn)陣類型不但表征了晶體晶格的周期性類型，而且也能從它所屬的晶系了解到該晶體宏觀對(duì)稱所具有的基本對(duì)稱性。但完整地闡明晶體結(jié)構(gòu)，除去需要確定其點(diǎn)陣類型外，還要知道基元中原子的種類、數(shù)量、相對(duì)取向及位置，繪出帶有基元內(nèi)容的點(diǎn)陣慣用晶胞。不過一些比較簡單的晶體，在確定出它的點(diǎn)陣類型和晶胞參量后就已經(jīng)可以完全掌握它的結(jié)構(gòu)了，比如：Cu;Si；NaCl;CsCl;ZnS等。第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四

14種晶體點(diǎn)陣各有它們自己的慣用晶胞，同樣也可以選出它們各自的原胞和基矢，每一個(gè)點(diǎn)陣都可以用其基矢表示的點(diǎn)陣矢量來表示：每一個(gè)點(diǎn)陣的全部平移