整式乘法與拼圖

整式乘法與拼圖河南省南陽市宛城區(qū)漢冢中學(xué)邢進(jìn)文，胡東華郵編473123不少學(xué)生對(duì)符號(hào)的抽象性把握不夠，多項(xiàng)式相乘公式只能憑法則加以推導(dǎo)驗(yàn)算，學(xué)生對(duì)法則的將信將疑無以驗(yàn)證，拼圖的出現(xiàn)無疑是一場(chǎng)及時(shí)雨，不僅可以使學(xué)生頭腦中的疑霧頓散，而且還充分體現(xiàn)、滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.不信請(qǐng)看幾例：1、數(shù)形結(jié)合，驗(yàn)證整式乘法相關(guān)法則例1.我們前面已學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式相乘的有關(guān)法則及乘法公式，請(qǐng)利用圖形的面積對(duì)它們的合理性進(jìn)行驗(yàn)證.①乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac；②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb；③兩數(shù)和的平方：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；④平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2分析：像①②③④這種不論字母取什么值，左邊恒等于右邊的式子叫做代數(shù)恒等式.解：①②③④點(diǎn)撥：①代數(shù)恒等式：一邊是兩個(gè)一次整式積的形式，另一邊是二次多項(xiàng)式.②圖形：都是由幾個(gè)矩形組合成一個(gè)新矩形.二者關(guān)系為：二次恒等式圖形2、由形及數(shù)，推導(dǎo)驗(yàn)證代數(shù)恒等式例2.觀察下列圖形，計(jì)算陰影部分的面積，并用面積的不同表達(dá)形式寫出相應(yīng)的代數(shù)恒等式.分析：圖形①中陰影部分面積等于邊長(zhǎng)為（a+b）的大正方形面積減去邊長(zhǎng)為（a－b）的小正方形面積，同時(shí)也可把長(zhǎng)為a、寬為b的四個(gè)小矩形，拼成長(zhǎng)為4b、寬為a的大矩形，從而可驗(yàn)證出恒等式(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；圖形②中陰影部分面積等于邊長(zhǎng)為a的四個(gè)正方形的面積減去邊長(zhǎng)為b的小正方形的面積，經(jīng)過拼接后，陰影部分的面積可看作長(zhǎng)為(2a＋b)、寬為(2a－b)矩形的面積，故可得到恒等式4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b).解：(a＋b)2－(a－b)2＝4ab4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)例3.如圖是L型鋼條的截面積圖，試?yán)眠@個(gè)圖形來說明等式：c（a－c）+c（b－c）+c2=ab－(a－c)(b－c)分析：可先將L型鋼條適當(dāng)分割后得到兩個(gè)矩形和一個(gè)小正方形，其面積分別為：c（a－c）、c（b－c）、c2；再通過補(bǔ)全圖形得到長(zhǎng)為b、寬為a的大矩形和長(zhǎng)為(b－c)、寬為(a－c)的小矩形，此時(shí)L型鋼條的面積等于ab－(a－c)(b－c)，從而使等式得證.解：左圖中L型鋼條的面積為c（a－c）+c（b－c）+c2，右圖中L型鋼條的面積為ab－(a－c)(b－c)，這樣便有c（a－c）+c（b－c）+c2=ab－(a－c)(b－c). 3、由數(shù)構(gòu)形，推導(dǎo)驗(yàn)證代數(shù)恒等式例4.請(qǐng)你根據(jù)代數(shù)恒等式：①(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2，②(a＋b)(a－2b)＝a2－ab－2b2，③(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2的特點(diǎn)，構(gòu)造出圖形，利用圖形的面積來說明其正確性.分析：①一邊是兩個(gè)一次整式的積，另一邊是二次多項(xiàng)式的代數(shù)恒等式，才能構(gòu)造出圖形，利用圖形的面積驗(yàn)證代數(shù)恒等式.②若二次多項(xiàng)式能因式分解，那么利用該式構(gòu)造出的一些矩形必能組合成新矩形.解：①②③例5.怎樣判定一個(gè)二次多項(xiàng)式是否能因式分解?①a2＋6ab＋9b2，②2a2＋7ab＋3b2，③2a2＋3ab－2b2分析：根據(jù)二次多項(xiàng)式所構(gòu)造出的幾個(gè)矩形若能組合成新矩形，則該二次多項(xiàng)式可因式分解.解：由上述圖形可知：①a2＋6ab＋9b2=(a+3b)2；②2a2＋7ab＋3b2=(2a+b)(a+3b)；③2a2＋3ab－2b2＝2a2＋4ab－ab－2b2=（a+2b）(2a－b).反饋練習(xí)：1、讓大家都當(dāng)一回設(shè)計(jì)師，幫一個(gè)工程隊(duì)設(shè)計(jì)一套住房，要求：在一塊長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形荒地上建成一套兩室一廳一廚一衛(wèi)的房子。其中客廳面積為；兩臥室面積共為；廚房面積為；衛(wèi)生間面積為.根據(jù)所學(xué)的內(nèi)容，請(qǐng)你試著把自己的想法畫成平面結(jié)構(gòu)示意圖.答案：2、拼圖填空：剪裁出若干個(gè)大小、形狀完全相同的直角三角形，三邊長(zhǎng)分別記為a、b、c，如圖①.（1）拼圖一：分別用4張直角三角形紙片，拼成如圖②③的形狀，觀察圖②③可發(fā)現(xiàn)，圖②中兩個(gè)小正方形的面積之和__________（填“大于”、“小于”或“等于”）圖③中小正方形的面積，用關(guān)系式表示為________.（2）拼圖二：用4張直角三角形紙片拼成如圖④的形狀，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，圖中共有__________個(gè)正方形，它們的面積之間的關(guān)系是________，用關(guān)系式表示為_____.（3）拼圖三：用8個(gè)直角三角形紙片拼成如圖⑤的形狀，圖中3個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系是__________，用關(guān)系式表示_______________.答案：（1）等于；c2＝a2＋b2；（2）3；相等；（a2＋b2－2×ab=c2－2×ab，化簡(jiǎn)后得c2＝a2＋b2）c2＝a2＋b2；（3）(a+b)2－8×ab=c2－4×ab；c2＝a2＋b2.3、你能用2張直角三角形紙片拼成一個(gè)直角梯形嗎？動(dòng)手試一試.用拼出的直角梯形紙片來說明恒等式c2＝a2＋b2的正確性.提示：根據(jù)直角