三角網(wǎng)條件平差計算

三角網(wǎng)條件平差計算§3-4三角網(wǎng)條件平差計算

2學(xué)時

三角網(wǎng)測量的目的，是通過觀測三角形的各角度或邊長，計算三角網(wǎng)中各未知點(diǎn)的坐標(biāo)、邊的長度及方位角等。三角網(wǎng)按條件平差計算時，首要的問題是列出條件方程。因此了解三角網(wǎng)的構(gòu)成，總結(jié)其條件方程的種類及各種條件方程的組成規(guī)律是十分重要的。三角網(wǎng)的種類比較多，網(wǎng)的布設(shè)形式也比較復(fù)雜。根據(jù)觀測內(nèi)容的不同，有測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角同測網(wǎng)等；根據(jù)網(wǎng)中起始數(shù)據(jù)的多少，有自由三角網(wǎng)和非自由三角網(wǎng)。自由三角網(wǎng)是指僅具有必要起算數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)，網(wǎng)中沒有多余的已知數(shù)據(jù)。如果測角三角網(wǎng)中，只有兩個已知點(diǎn)（或者已知一個已知點(diǎn)的坐標(biāo)、一條已知邊的長度和一個已知的方位角），根據(jù)數(shù)學(xué)理論，以這兩個已知點(diǎn)為起算數(shù)據(jù)，再結(jié)合必要的角度測量值，就能夠解算出網(wǎng)中所有未知點(diǎn)的坐標(biāo)。如果三角網(wǎng)中除了必要的起算數(shù)據(jù)外還有其它的已知數(shù)據(jù)，或者說已知數(shù)據(jù)有冗余，就會增加對網(wǎng)形的約束，從而增強(qiáng)其可靠性，這種三角網(wǎng)稱之為非由條件平差原理知，多余觀測數(shù)與條件方程數(shù)是相等的，有了多余觀測數(shù)，也就確定出了條件方程的個數(shù)。因此，問題的關(guān)鍵是判定必要觀測數(shù)t。1.網(wǎng)中有2個或2個以上已知點(diǎn)的情況三角網(wǎng)中有2個或2個以上已知三角點(diǎn)，就一定具備了4個必要起算數(shù)據(jù)。無論是測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)還是邊角同測網(wǎng)，如果有2個已知點(diǎn)相鄰，要確定一個未知點(diǎn)的坐標(biāo)，需要觀測兩個觀測值（2個角，或者1條邊和1個角，或者2條邊）。也就是說，確定1個未知點(diǎn)要有2個必要觀測值；那么如果網(wǎng)中有p個未知點(diǎn)，必要觀測數(shù)應(yīng)等于未知點(diǎn)個數(shù)的兩倍。t=2·p (3-4-1)(1)測角網(wǎng)圖3-9所示，三角網(wǎng)中有2個已知點(diǎn)，待定點(diǎn)個數(shù)為p=6。如果三角網(wǎng)中觀測量全部是角度時?？傆^測值個數(shù)：n=23必要觀測數(shù)：t=2·p=12則多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r=n–t=11(2)測邊網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中觀測量全部是邊的長度時：總觀測值個數(shù)：n=14必要觀測數(shù)：t=2·p=12則多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r=n–t=2(3)邊角同測網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中的所有的角度值和所有的邊長值都進(jìn)行觀測時：總觀測值個數(shù)：n=37必要觀測數(shù)：t=2·p=12則多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r=n–t=252.網(wǎng)中已知點(diǎn)少于2個的情況有些情況下，三角網(wǎng)中已知點(diǎn)可能少于2個，只有1個已知點(diǎn)、1個已知邊和1個已知方位角，或者沒有已知點(diǎn)和已知方位角只有1個已知邊。但是，不管怎樣說，1條已知邊是必須已知的，或者需要進(jìn)行觀測的。如果沒有已知點(diǎn)，可以假定網(wǎng)中的1個未知點(diǎn)；如果沒有已知方位角，可以取網(wǎng)中的1個方向的方位角為某一假定值。這樣也就間接地等價于網(wǎng)中有2個相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的。(1)測角網(wǎng)三角網(wǎng)中共有p個三角點(diǎn)、1個已知方位角（也可以沒有）、1個已知點(diǎn)（也可以沒有已知點(diǎn)）和1個已知邊長S（或者也是觀測得到的），并觀測了所有的角度。如果已知點(diǎn)和已知方位角都沒有，就要進(jìn)行必要的假設(shè)。則在進(jìn)行條件平差時，必要觀測數(shù)為：t=2·(p–2) (3-4-2)如圖3-10所示，三角網(wǎng)中觀測了所有角度值（如果沒有已知邊時，也觀測1條邊長作為起算數(shù)據(jù)）。網(wǎng)中三角點(diǎn)個數(shù)：p=6角度觀測值個數(shù)：n=12必要觀測數(shù)：t=2·(p–2)=8則多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r=n–t=4(2)測邊網(wǎng)或邊角同測網(wǎng)若三角網(wǎng)中，共有p個三角點(diǎn)和1個已知點(diǎn)（或者也是假定的），并對所有的邊長，或者角度和邊長進(jìn)行了觀測，觀測值總個數(shù)為n。在進(jìn)行條件平差時，由于要加上必須的起算邊長，則必要觀測（邊或者邊和角）的個數(shù)為t=2·(p–2)+1 (3-4-3)如圖3-10所示，網(wǎng)中三角點(diǎn)個數(shù)：p=6如果是測邊網(wǎng)，則總觀測值個數(shù)：n=9必要觀測數(shù)：t=2·(p–2)+1=9多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r=n–t=0如果是邊角同測網(wǎng)，則總觀測值個數(shù)：n=21必要觀測數(shù)：t=2·(p–2)+1=9多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r=n–t=12以上我們僅對幾種三角網(wǎng)，討論了條件平差時必要觀測數(shù)及多余觀測數(shù)和條件平差方程數(shù)的確定方法，還有很多情況沒有涉及到。在實際平差計算中，應(yīng)針對不同情況進(jìn)行具體分析。二、條件方程的形式三角網(wǎng)中的條件方程主要有以下幾種形式：1.圖形條件方程圖形條件，又叫三角形內(nèi)角和條件，或三角形閉合差條件。在三角網(wǎng)中，一般對三角形的每個內(nèi)角都進(jìn)行了觀測。根據(jù)平面幾何知識，三角形的三個內(nèi)角的平差值的和應(yīng)為180?，如圖3-12中的三角形ABP，其內(nèi)角平差值的和應(yīng)滿足下述關(guān)系： (3-4-4)此即為三角形內(nèi)角和條件方程。由于三角形是組成三角網(wǎng)的最基本的幾何圖形，因此，通常稱三角形內(nèi)角和條件為圖形條件。因此圖形條件也是三角網(wǎng)的最基本、最常見的條件方程形式。與（3-4-4）式相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程為 (3-4-5) (3-4-6)2.水平條件方程水平條件，又稱圓周條件，這種條件方程一般見于中點(diǎn)多邊形中。如圖3-12所示，在中點(diǎn)P上設(shè)觀測站時，周圍的五個角度都要觀測。這五個觀測值的平差值之和應(yīng)等于360?，即 (3-4-7)相應(yīng)的改正數(shù)條件方程為 (3-4-8) (3-4-9)3.極條件方程極條件是一種邊長條件，一般見于中點(diǎn)多邊形和大地四邊形中。先看中點(diǎn)多邊形的情況。如圖3-12所示，中心P點(diǎn)為頂點(diǎn)，有五條邊，從其中任一條邊開始依次推算其它各邊的長度，最后又回到起始邊，則起始邊長度的平差值應(yīng)與推算值的長度相等。在圖3-12所示的三角網(wǎng)中，我們應(yīng)用正弦定理，以BP邊為起算邊，依次推算AP、EP、DP、CP，最后回到起算邊BP、，得到下式整理得 (3-4-10)

（3-4-10）式即為平差值的極條件方程。為得到其改正數(shù)條件方程形式，可用泰勒級數(shù)對上式左邊展開并取至一次項：

化簡，即得極條件的改正數(shù)條件方程： (3-4-11) (3-4-12)

在大地四邊形中的極條件方程與中點(diǎn)多邊形稍有不同。如圖3-11所示，可以取D點(diǎn)為極點(diǎn)，以BD為起始邊，依次推算AD、CD再回到BD邊。仿照中點(diǎn)多邊形的極條件方程，由正弦定理，得大地四邊形的極條件平差值方程整理得 (3-4-13)相應(yīng)的改正數(shù)條件方程 (3-4-14) (3-4-15)

4.方位角條件方程前面討論的三種條件方程在三角網(wǎng)中比較常見。如果三角網(wǎng)中的起始數(shù)據(jù)有了變化，起算數(shù)據(jù)不相鄰，或者已知數(shù)據(jù)有冗余，還會增加一些限制條件，產(chǎn)生其它類型的條件方程，如方位角條件方程、邊長條件方程、坐標(biāo)條件方程等。這些類型的條件方程常見于非自由三角網(wǎng)中。如圖3-13所示，為一個非自由三角網(wǎng)，有4個已知點(diǎn)、2個未知點(diǎn)和12個角度觀測值。必要觀測個數(shù)t=2×2=4，多余觀測數(shù)r=n–t=12-4=8，即共有8個條件方程，其中圖形條件方程有4個，沒有極條件，也沒有水平角條件，那么另4個是什么類型的呢？由于三角網(wǎng)中有4個已知點(diǎn)，每個已知點(diǎn)有2個坐標(biāo)值，共計8個已知數(shù)據(jù)，超過了4個必要起算數(shù)據(jù)，從而產(chǎn)生4個冗余的已知數(shù)據(jù)。這4個多余的已知數(shù)據(jù)必然會導(dǎo)致4個矛盾，進(jìn)而產(chǎn)生4個條件方程。方位角條件，嚴(yán)格地說是方位角附合條件，是指從一個已知方位角出發(fā)，推算至另一個已知方位角后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。如從4個已知點(diǎn)可以反算出AB和EF兩邊的邊長值和方位角值，這些值也可看作是已知值，作為起算數(shù)據(jù)用。設(shè)AB邊的方位角，EF邊的已知方位角為。如果從AB向EF推算，推算路線如圖中所示，設(shè)EF方位角的推算值的最或然值為，近似值為TEF。則方位角附合條件方程為 (3-4-16)其中代入（3-4-16）后，整理得其相應(yīng)的改正數(shù)條件方程 (3-4-17)其中 (3-4-18)5.邊長條件方程邊長條件，嚴(yán)格地說是邊長附合條件，是指從一個已知邊長出發(fā)，推算至另一個已知邊長后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。圖3-13三角網(wǎng)中，設(shè)AB邊的已知長度為，EF邊的已知長度為。如果沿圖中所示的推算路線，從AB向EF推算，得EF邊長推算值的最或然值為，近似值為SEF。則邊長附合條件方程為 (3-4-19)其中

將上式代入（3-4-19）式，并將邊長條件整理為 (3-4-20)

仿照極條件式，將上式左邊用泰勒級數(shù)展開，取至一次項，整理后得其改正數(shù)條件方程： (3-4-21) (3-4-22)

6.坐標(biāo)條件方程坐標(biāo)條件方程，是指從一個已知點(diǎn)出發(fā)，推算至另一個已知點(diǎn)后，所得推算值應(yīng)與該點(diǎn)的已知坐標(biāo)值相等。圖3-13三角網(wǎng)中，設(shè)B點(diǎn)的已知坐標(biāo)為（，），E點(diǎn)的已知坐標(biāo)為（，）。如果沿圖中所示的路線，從B→C→E進(jìn)行推算，得E點(diǎn)坐標(biāo)推算值的最或然值為（，），近似值為(xE,yE)。則坐標(biāo)條件方程為 (3-4-23) (3-4-24)而 (3-4-25)其中 (3-4-26) (3-4-27) (3-4-28) (3-4-29)

將上述(3-4-26)~(3-4-29)式代入(3-4-25)式，然后用泰勒級數(shù)展開，取至一次項，整理后得： (3-4-30)

為不使閉合差項wx過大，影響平差結(jié)果的精度，在計算坐標(biāo)條件方程時，可以考慮x、y以公里（km）為單位，而wx中的坐標(biāo)差項以米（m）為單位。即 (3-4-31)同理可寫出橫坐標(biāo)改正數(shù)條件方程 (3-4-32)其中 (3-4-33)

坐標(biāo)附合條件方程，尤其是改正數(shù)條件方程，形式上雖然比較復(fù)雜，但也非常具有規(guī)律性。這一點(diǎn)，請同學(xué)們結(jié)合圖3-13認(rèn)真地分析，看能否總結(jié)出其概括形式。以上八種條件方程及其改正數(shù)條件方程的類型和形式，基本上涵蓋了測角型三角網(wǎng)條件方程的基本形式。需要說明的是，三角網(wǎng)布設(shè)形式極其多樣，條件方程的形式也較為繁雜，但關(guān)鍵是要掌握其基本形式，并能融會貫通靈活運(yùn)用。三、例題如圖3-14是一個三角網(wǎng)，A、B、E、F是已知點(diǎn)，C、D是待定點(diǎn)，等精度觀測了所有內(nèi)角值，已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)如表3-4所示。試列出用條件平差法時的改正數(shù)條件方程。表3-4已知坐標(biāo)(m)已知方位角已知邊長(m)B(183120.420,29502560.540)E(181740.210,29505455.940)TAB=32?20′14.9″TEF=355?53′42.6″SAB=2501.118SEF=2582.529角度觀測值β1=46?21′56.1″β2=74?59′41.4″β3=58?38′17.2″β4=62?21′42.4″β5=67?39′43.6″β5=49?58′38.9″β1=58?03′46.6″β2=53?15′16.1″β3=68?40′54.3″β1=91?43′54.0″β2=47?21′49.9″β3=40?54′08.1″解：這是一個非自由測角三角網(wǎng)。觀測值總數(shù)n=12必要觀測數(shù)t=4多余觀測數(shù)r