數(shù)學(xué)解題方法談：導(dǎo)數(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

導(dǎo)數(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想一 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是利用“數(shù)”和“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法．它為代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化架起了橋梁，數(shù)形結(jié)合重在結(jié)合，它們完美的結(jié)合，往往能起到事半功倍的效果．?dāng)?shù)形結(jié)合思想貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，在許多知識(shí)板塊中都有它的身影．?dāng)?shù)形結(jié)合思想以其直觀性、靈活性等特點(diǎn)倍受解題者的衷愛(ài)．本文舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的思想在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的靈活運(yùn)用．例已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積以及的取值范圍．分析：利用極值的有關(guān)知識(shí)判斷導(dǎo)函數(shù)方程的根的范圍，再由導(dǎo)函數(shù)的圖象與相應(yīng)二次方程的根的關(guān)系得到關(guān)于的線性不等關(guān)系，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域．第（2）問(wèn)利用斜率求出的取值范圍．解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，則方程有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)．由二次函數(shù)的圖象與方程的根的分布之間的關(guān)系可以得到平面內(nèi)滿足約束條件的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椋ú话ㄟ吔?，其中點(diǎn)，，如右圖所示）．的面積為（為點(diǎn)到軸的距離）點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為，顯然，即．二 整體代換思想我們?cè)谒伎紗?wèn)題的時(shí)侯，如果能根據(jù)題目中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問(wèn)題中貌似獨(dú)立，但實(shí)質(zhì)上又相互聯(lián)系的量看成一個(gè)整體，從而在宏觀上尋求解決問(wèn)題的途徑，這種思想稱之為整體思想．整體思想主要有整體代換、整體求值、整體變形、整體構(gòu)造等．這種思想若運(yùn)用巧妙，不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，而且能夠激發(fā)學(xué)生思維的靈活性．本文僅舉一例來(lái)說(shuō)明整體代換思想在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用．例已知是定義在上的函數(shù)，其圖象交軸于三點(diǎn)．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且在和上有相同的單調(diào)性，在和上有相反的單調(diào)性．（1）求的值；（2）在函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得在點(diǎn)的切線斜率為？（3）求的取值范圍．解：（1）∵在和上有相反的單調(diào)性，∴是的一個(gè)極值點(diǎn)．故，即有一個(gè)解為，∴．（2）因?yàn)榻惠S于點(diǎn)，所以，即．令，得，∴，．因?yàn)樵诤蜕嫌邢喾吹膯握{(diào)性，所以得．假設(shè)存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)的切線斜率為．則，即．∵．而，．故不存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)的切線斜率為．（3）由題意，設(shè)的函數(shù)圖象交軸于點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)的坐標(biāo)為．則，比較系數(shù)得．得．所以 ∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故．解后反思：本題的第（2）、（3）兩問(wèn)都用到了整體代換的思想，避免了求的值，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算．運(yùn)用整體思想解題是不是很巧妙？這種整體思想在其它知識(shí)板塊中都有廣泛的應(yīng)用，在以后的學(xué)習(xí)中可要留心喲．三 分類討論思想分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種解題思想，對(duì)某一問(wèn)題進(jìn)行正確地分類討論要有一種全局的觀點(diǎn)，注意在分類時(shí)要不重不漏．下面我們通過(guò)對(duì)近年高考中導(dǎo)數(shù)類題的解析，揭示如何進(jìn)行分類討論．例1已知，求的單調(diào)區(qū)間．解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，若，則；若，則．則在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，由或，則在或內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)．（3）當(dāng)時(shí)，由，則在內(nèi)為增函數(shù)，在和內(nèi)為減函數(shù)．評(píng)注：從該例的解答中可以看出必須熟練掌握一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，理解給定區(qū)間上函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)．但要確定的符號(hào)，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．例2已知，．（1）求函數(shù)的最大值．（2）設(shè)，證明：．解：（1）的定義域是，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值0．（2）因，設(shè)．則．當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)為增函數(shù)．從而當(dāng)時(shí)，有極小值．又因，，所以，即．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)．因?yàn)?，，所以，即?/p>