2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練題周周測12

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2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練題周周測12

周周測12圓錐曲線的綜合測試

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．

1．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓x210＋y2＝1的長軸長為8，則等于()A．4B．8c．16D．18答案：c

解析：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則＝a2.由長軸長2a＝8得a＝4，所以＝16，應(yīng)選c.

2．已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長為4，離心率為5，則雙曲線的方程為()A.x24－y216＝1B．x2－y24＝1c.x22－y23＝1D．x2－y26＝1答案：A

解析：由于雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長為4，所以a＝2，由離心率為5，可得ca＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝4，則雙曲線的方程為x24－y216＝1.

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3．(2023?XX二模)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓4x249＋y26＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|PF1F2的面積為()A．4B．6c．22D．42答案：B

解析：由題意知，|PF1|＋|PF2|＝7且|PF1|

|PF2|＝4

|PF2|＝4

3，則△

3，得|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2×494－6＝5，顯然，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2為直角三角形，故△PF1F2的面積為12×3×4＝6.

4．從雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F引圓x2＋y2＝a2的切線l，切點(diǎn)為T，且l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若點(diǎn)是線段FP的中點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|o|－|T|＝()

A.b－a2B．b－ac.a＋b2D．a(chǎn)＋b2答案：B

解析：如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，由三角形中位線的性質(zhì)及雙曲線的定義可知|o|－|T|＝12|PF1|－12|PF|－|TF|＝|TF|－12(|PF|－|PF1|)＝c2－a2－a＝b－a.

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5．(2023?廣東汕頭黃圖盛中學(xué)第三次質(zhì)檢)已知拋物線c：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與c交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB＝()A.45B.35c．－35D．－45答案：D

解析：∵拋物線c：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)．又∵直線y＝2x－4與c交于A，B兩點(diǎn)，∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，－2)，(4,4)，則FA→＝(0，－2)，F(xiàn)B→＝(3,4)，∴cos∠AFB＝FA→?FB→|FA→||FB→|＝－810＝－45.應(yīng)選D.

6．(2023?湖南長沙望城一中第三次調(diào)研)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△oAF(o為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線的方程為()

A．y2＝±4xB．y2＝4xc．y2＝±8xD．y2＝8x答案：c

解析：∵拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為a4，0，∴直線l的方程為y＝2x－a4.∵直線l與y軸的交點(diǎn)為A0，－a2，∴△oAF的面積為12a4?a2＝4，解得a＝±8.∴拋物線的方程為y2＝±8x，應(yīng)選c.

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7．(2023?新課標(biāo)全國卷Ⅲ，10)已知橢圓c：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則c的離心率為()

A.63B.33c.23D.13答案：A

解析：此題考察橢圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系．以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，該圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，∴|b×0－a×0＋2ab|b2

a

2＝a，

即2b＝a2＋b2，∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴c2a2＝23，∴e＝ca＝63.

8．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)1，22在橢圓上，且點(diǎn)(－1,0)到直線PF2的距離為455，其中點(diǎn)P(－1，－4)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A．x2＋y24＝1B.x24＋y2＝1c．x2＋y22＝1D.x22＋y2＝1答案：D

解析：設(shè)F2的坐標(biāo)為(c,0)(c＞0)，則kPF2＝4c＋1，故直線PF2的方程為y＝4c＋1(x－c)，即4c＋1x－y－4cc＋1＝0，點(diǎn)(－1,0)到直線PF2的距離d＝－4c＋1－4cc＋14c＋12＋1＝44c＋12＋1＝455，即4c＋12＝4，

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解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①又點(diǎn)1，22在橢圓E上，所以1a2＋12b2＝1，②由①②可得a2＝2，b2＝1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22＋y2＝1.應(yīng)選D.

9．(2023?龍巖二模)已知c是雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的半焦距，則b－ca的取值范圍是()A.－1，－12B．(－2，－1)c.－1，－34D．(－1,0)答案：D

解析：由b－ca＝c2－a2－ca＝e2－1－e＝－1e2－1＋e，由于e＞1，且函數(shù)y＝－1x2－1＋x在(1，＋∞)上是增函數(shù)，那么b－ca的取值范圍是(－1,0)．

10．(2023?遼寧師大附中期中)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線c：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．若直線y＝x與雙曲線c交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為()A．2＋2B．2＋6c.2＋2D.2＋6答案：c

解析：將y＝x代入x2a2－y2b2＝1，可得x＝±a2b2b2－a2.由矩形的對角線長相等，得2?a2b2b2－a2＝c，∴2a2b2

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＝(b2－a2)c2，∴2a2(c2－a2)＝(c2－2a2)c2，∴2(e2－1)＝e4－2e2，∴e4－4e2＋2＝0，又∵e＞1，∴e2＝2＋2，∴e＝2＋2.應(yīng)選c.

11．(2023?河南南陽期中)已知直線l的斜率為k，它與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．若AF→＝2FB→，則|k|＝()A．22B.3c.24D.33答案：A

解析：設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，與拋物線y2＝4x相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立y2＝4x，y＝kx＋，得k2x2＋(2k－4)x＋2＝0.由Δ＝(2k－4)2－4k22＝16－16k＞0，得k＜1.x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝2k2.由y2＝4x得其焦點(diǎn)為F(1,0)．由AF→＝2FB→，得(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，所以1－x1＝2x2－2，①－y1＝2y2.②由①得x1＋2x2＝3，③由②得x1＋2x2＝－3k.所以＝－k.再由AF→＝2FB→，得|AF→|＝2|FB→|，所以x1＋1＝2(x2＋1)，即x1－2x2＝1.④

由③④得x1＝2，x2＝12，所以x1＋x2＝4－2kk2＝52.把＝－k代入得4－2k

k

k2＝52，解得|k|＝22，滿

足k＝－8＜1.所以|k|＝22.應(yīng)選A.

12．(2023?南昌一模)已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，設(shè)

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A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x1＋x2＋4＝233|AB|，則∠AFB的最大值為()A.π3B.3π4c.5π6D.2π3答案：D

解析：由于x1＋x2＋4＝233|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|＋|BF|＝233|AB|.在△AFB中，由余弦定理得cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF||BF||BF|

|AF|＋

2－2|AF||BF|－|AB|22|AF||BF|＝43|AB|2－

|AB|22|AF||BF|－1＝13|AB|22|AF||BF|－1.又|AF|＋|BF|＝233|AB|≥2|AF||BF|，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時(shí)等號成立，所以|AF||BF|≤13|AB|2，所以cos∠AFB≥13|AB|22×13|AB|2－1＝－12，所以∠AFB≤2π3，即∠AFB的最大值為2π3.

二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在相應(yīng)題號后的橫線上．

13．當(dāng)雙曲線c：x22－y22＋4＝1(－2＜＜0)的焦距取得最小值時(shí)，雙曲線c的漸近線方程為________．答案：y＝±2x

解析：由題意可得c2＝2＋2＋4＝(＋1)2＋3，所以當(dāng)＝－1時(shí)，焦距2c取得最小值，此時(shí)雙曲線c：x2－y22＝1，其漸近線方程為y＝±2x.

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14．(2023?XX暨陽中學(xué)月考)已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)且AB⊥BF，則這個(gè)橢圓的離心率等于________．答案：5－12

解析：由題意得A(－a,0)，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，∵AB⊥BF，∴AB→?BF→＝0，∴(a，b)?(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，∴e－1＋e2＝0，解得e＝5－12.

15．(2023?揭陽一模)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則的值為________．答案：±4

解析：由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p＞0)．由定義知P到準(zhǔn)線的距離為4，故p2＋2＝4，得p＝4，所以拋物線的方程為x2＝－8y，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)得＝±4.16．(2023?廣西陸川中學(xué)綜合檢測)已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F1(1,0)，離心率為e.設(shè)A，B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，AF1的中點(diǎn)為，BF1的中點(diǎn)為N，原點(diǎn)o在以線段N為直徑的圓上，設(shè)直線AB的斜率為k，若0＜k≤3，則e的取值范圍為________．答案：3－1≤e＜1

解析：設(shè)A(，n)，則B(－，－n)，＋12，n2，N－＋12，

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－n2，所以o→＝＋12，n2，oN→＝－＋12，－n2.故由題設(shè)可得o→?oN→＝0，即2＋n2＝1，將其與2a2＋n2b2＝1聯(lián)立可得b22＋(1－2)a2＝a2b2，故2＝a2－a2b2＝1－b4，n2＝b4.由題設(shè)0＜k≤3可得n2≤32，即b4≤3(1－b4)，則b2≤32，則a2≤1＋32.故e2＝1a2≥22＋3，即e2≥4－23，所以e≥3－1，所以3－1≤e＜1.

三、解答題：本大題共6小題，共70分．解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題總分值10分)

(2023?吉林長春外國語學(xué)校期中)已知橢圓c：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且|PF1|＋|PF2|＝22，它的焦距為2.(1)求橢圓c的方程．

(2)是否存在正實(shí)數(shù)t，使直線x－y＋t＝0與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝56上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

解析：(1)∵F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且|PF1|＋|PF2|＝22，∴a＝2.∵2c＝2，∴c＝1，∴b＝a2－c2＝1，∴橢圓c的方程為x22＋y2＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，化簡得3x2＋4tx＋2t2－2＝0.①

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由①知x1＋x2＝－4t3，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2t＝2t3.∵線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝56上，∴－2t32＋t32＝56，解得t＝62(負(fù)值舍去)，故存在t＝62滿足題意．18．(本小題總分值12分)

(2023?湖北棗陽七中一模)已知拋物線c的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A(1,2)為拋物線c上一點(diǎn)．(1)求c的方程；

(2)若點(diǎn)B(1，－2)在c上，過點(diǎn)B作c的兩弦BP與BQ，若kBP?kBQ＝－2，求證：直線PQ過定點(diǎn)．

解析：(1)解：由題得c的方程為y2＝4x或x2＝12y.(2)證明：∵點(diǎn)B(1，－2)在c上，∴曲線c的方程為y2＝4x.

設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ：x＝y(tǒng)＋b，顯然存在，與方程y2＝4x聯(lián)立，消去x得

y2－4y－4b＝0，Δ＝16(2＋b)＞0.∴y1＋y2＝4，y1?y2＝－4b.

∵kBP?kBQ＝－2，∴y1＋2x1－1?y2＋2x2－1＝－2，∴4y1－2?4y2－2＝－2，即y1y2－2(y1＋y2)＋12＝0.∴－4b－8＋12＝0，即b＝3－2.

直線PQ：x＝y(tǒng)＋b＝y(tǒng)＋3－2，即x－3＝(y－2)．∴直線PQ過定點(diǎn)(3,2)．

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19．(本小題總分值12分)

(2023?吉林普通中學(xué)其次次調(diào)研)如圖，已知橢圓E：x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)，點(diǎn)P(0,1)在短軸cD上，且Pc→?PD→＝－2.

(1)求橢圓E的方程及離心率；

(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得oA→?oB→＋λPA→?PB→為定值？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．解析：(1)由已知，點(diǎn)c，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且Pc→?PD→＝－2，即1－b2＝－2，解得b2＝3.

所以橢圓E的方程為x24＋y23＝1.由于c＝1，a＝2，所以離心率e＝12.

(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．聯(lián)立x24＋y23＝1，y＝kx＋1得(4k2＋3)x2＋8kx－8＝0.

其判別式Δ＞0，所以x1＋x2＝－8k4k2＋3，x1x2＝－84k2＋3.

從而oA→?oB→＋λPA→?PB→＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]

＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

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＝－8

1

1＋k2

4k2＋34k2＋3＝4－2λ4k2

＋3－2λ－3.

所以當(dāng)λ＝2時(shí)，4－2λ4k2＋3－2λ－3＝－7，即oA→?oB→＋λPA→?PB→＝－7為定值．

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線cD，此時(shí)oA→?oB→＋λPA→?PB→＝oc→?oD→＋2Pc→?PD→＝－3－4＝－7.

故存在常數(shù)λ＝2，使得oA→?oB→＋λPA→?PB→為定值－7.

20．(本小題總分值12分)

(2023?福建泉州檢測)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線c：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在c上．若|Ao|＝|AF|＝32.

(1)求c的方程；

(2)設(shè)直線l與c交于點(diǎn)P，Q，若線段PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求△oPQ的面積的最大值．

解析：(1)拋物線c的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0，p2.由于|Ao|＝|AF|＝32，

所以可求得A點(diǎn)坐標(biāo)為±1436－p2，p4.

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入x2＝2py得116(36－p2)＝2p?p4，解得p＝2，或p＝－2(舍去)．故拋物線c的方程為x2＝4y.

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(2)依題意，可知l與x軸不垂直，故可設(shè)l的方程為y＝kx＋b，b＞0.

并設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中點(diǎn)為(x0,1)．聯(lián)立方程組y＝kx＋b，x2＝4y，消去y，得x2－4kx－4b＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.由于線段PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝4k2＋2b＝2，即2k2＝1－b，則1－b≥0，即b≤1.SΔoPQ＝12b?|x1－x2|＝12b?

x1＋x2

2－4x1x2

＝12b?16k2＋16b＝12b8＋8b＝2b3＋2b2(0＜b≤1)．令y＝2b3＋2b2，則y′＝6b2＋4b＞0，∴函數(shù)在(0,1]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)b＝1時(shí)，SΔoPQ取得最大值2.21．(本小題總分值12分)

(2023?貴州貴陽一中其次次適應(yīng)性考試)

如圖，已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)o，離心率為32，以橢圓E的短軸的兩端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)所圍成的四邊形的周長為8，直線l：y＝kx＋與y軸交于點(diǎn)，與橢圓E交于不同兩點(diǎn)A，B.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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(2)若A→＝－3B→，求2的取值范圍．

解析：(1)由于橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．

由橢圓E的短軸的兩端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)所圍成的四邊形的周長為4a，得4a＝8，即a＝2.∵離心率e＝ca＝32，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝1.

∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24＋x2＝1.

(2)根據(jù)已知得(0，)，設(shè)A(x1，kx1＋)，B(x2，kx2＋)，由y＝kx＋，x2＋y24＝1得(k2＋4)x2＋2kx＋2－4＝0，則Δ＝42k2－4(k2＋4)(2－4)＞0，即k2－2＋4＞0.由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x1＋x2＝－2k4＋k2，x1x2＝2－44＋k2.

由A→＝－3B→，得－x1＝3x2，即x1＝－3x2.由3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0得12k22－4

k2＋4

2＋4

2

k2＋4＝0，即2k2＋2－k2－4＝0.

當(dāng)2＝1時(shí)，2k2＋2－k2－4＝0不成立，∴2≠1，∴k2＝4－22－1.∵k2－2＋4＞0，∴4－22－1－2＋4＞0∴1＜2＜4，

4－2

22－1＞0.

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∴2的取值范圍為(1,4)．22．(本小題總分值12分)

(2023?吉林長春試驗(yàn)中學(xué)第五次模擬)已知中心在原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，離心率為32.

(1)求橢圓的方程；

(2)若A(0,1)，設(shè)，N是橢圓上異于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn)，且A⊥AN，線段N的中垂線l與x軸的交點(diǎn)為(,0)，求的取值范圍．

解析：(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，可得a＝2，e＝ca＝32，解得c＝3，b＝a2－c2＝1，故橢圓的方程為x24＋y2＝1.