第7章 散射理論

第七章散射理論本章介紹：前面討論了薛定諤方程中的束縛態(tài)問(wèn)題。而對(duì)于能量連續(xù)的散射態(tài)，能級(jí)間隔趨于零，因此一般說(shuō)來(lái)，不能用微擾論來(lái)處理。另一方面，微觀粒子之間的散射或稱碰撞過(guò)程的研究，對(duì)于了解許多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象十分重要，所以，建立一套散射理論無(wú)論從實(shí)驗(yàn)上看，還是使理論更加完善上看，都是完全必要的。本章將分別就彈性散射和非彈性散射，按入射粒子的能量高低，分別建立不同的散射理論，并介紹了分波法和玻恩近似兩種處理散射問(wèn)題的近似方法。7.1散射截面在經(jīng)典力學(xué)中，彈性散射是按照粒子在散射過(guò)程中，同時(shí)滿足動(dòng)量守恒和能量守恒來(lái)定義的。在量子力學(xué)中，一般說(shuō)來(lái)，除非完全略去粒子之間的相互作用勢(shì)能，否則，動(dòng)量將不守恒。因此，在量子力學(xué)中，不可能按經(jīng)典力學(xué)的公式來(lái)定義彈性散射。在量子力學(xué)中，如果在散射過(guò)程中兩粒子之間只有動(dòng)量交換，粒子由內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定，則這種碰撞過(guò)程成為彈性散射。如果在散射過(guò)程中粒子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有所變化，如激發(fā)、電離等則稱為非彈性散射。本章只討論彈性散射問(wèn)題?？紤]一束入射粒子流向粒子A射來(lái)，取粒子流入射方向?yàn)閦軸。A為散射中心。為討論方便起見，假定A的質(zhì)量比入射粒子大得多，由碰撞引起的A的運(yùn)動(dòng)可以忽略。應(yīng)當(dāng)指出，散射過(guò)程是兩體問(wèn)題。因?yàn)樗婕皟蓚€(gè)互相散射的粒子。對(duì)于兩體問(wèn)題，最好的處理方法是采用質(zhì)心坐標(biāo)系。因?yàn)樵谫|(zhì)心坐標(biāo)系中，一個(gè)兩體問(wèn)題將被歸結(jié)為一個(gè)粒子因?yàn)榕c質(zhì)心的相互作用而被散射。另一粒子的運(yùn)動(dòng)可對(duì)稱給出。從而歸結(jié)為單體問(wèn)題。如果散射中心粒子A的質(zhì)量比入射粒子大得多，可以認(rèn)為質(zhì)心就在A上，這樣就使問(wèn)題處理簡(jiǎn)單多了。如圖所示，入射粒子受A的作用而偏離原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向，發(fā)生散射。圖中A角為散射粒子的方向與入射粒子方向的夾角，稱為散射角。單位時(shí)間內(nèi)散射到面積元dS上的粒子數(shù)dn應(yīng)與dS成正比，而與dS到A點(diǎn)的距離r的平方成反比，即與dS對(duì)A所張的立體角成比例：dn?dS=d。同時(shí)，dn還應(yīng)與入射粒子流r2強(qiáng)度N成正比。粒子流強(qiáng)度：垂直于入射粒子流前進(jìn)方向去一單位面積S。，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)S的粒子數(shù)。0于是dn?Nd。以q（B,中）表示這個(gè)比例關(guān)系中的比例系數(shù)，在一般情況下，它與觀察方向（°,中）有關(guān)，因而上式可寫為dn?q（9,中）Nd。當(dāng)強(qiáng)度N固定時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)散射到（。,中）

方向的粒子數(shù)dn由q（0,中）決定。它與入射粒子、散射中心的性質(zhì)以及它們只見的相互作用和相對(duì)動(dòng)能有關(guān)。它的物理意義：一個(gè)入射粒子經(jīng)散射后，散射到（°,中）方向單位立體角的幾率。它的量綱可由（7.1.3）式中其他各量的量綱得出[dn]=1, [N]=—T L2T一一dn — 八、 八 [q]=——=L （7.1.4）即q（°,中）具有面積的量綱。我們稱q（°,中）為微分散射截面。_NdQ_如果在垂直與入射粒子流方向區(qū)面積q（°,中）d。，則單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)這個(gè)面積的粒子數(shù)等于dn。將q（°,中）d。對(duì)所有的方向積分，得Q=jq（°,甲）dO=jJ2”q（°,甲）sin°d°d甲 （7.1.5）Q稱為總散射截面。上述微分散射截面和總散射截面的定義，在量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中同樣適用。下面我們討論量子力學(xué)中如何由解薛定諤方程來(lái)定散射截面。取散射中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，用U（r）表示入射粒子與散射中心之間的相互作用勢(shì)能，則體系的薛定諤方程為方2.02W+Uw=即 （7.1.6）式中m是入射粒子質(zhì)量，E是它的能量，為方便，令2m, 2mEp2, 2mEp2k2= =—方2方2p方kv=—= mm2mV(r)=一U(r)

方2(7.1.7)則（7.1.6）式可改寫為V2W+[k2一V(r)]w=0我們觀察被散射粒子都是在離開散射中心很遠(yuǎn)的地方，所以只需討論rF時(shí)w的行為就夠了。假設(shè)rF時(shí)，U（r）-0，即粒子在遠(yuǎn)離散射中心時(shí)，兩者之間的相互作用趨于零。這樣，在—3的地方，波函數(shù)應(yīng)由兩部分組成：一部分是描述入射粒子的平面MW1=眼々；0燈另一部分是描述散射粒子的球面波函數(shù)寸=f（°,中）——2 r

eik-rW W+W=Aeikz+f（6,甲）一 （7.1.9）這個(gè)波是由散射中心向外傳播的，這rT3 1 2 r里考慮的是彈性散射。所以散射波的能量沒(méi)有改變，即波矢k的數(shù)值不變。上式中f（6,中）僅是6的函數(shù)與甲無(wú)關(guān)。取A=1，則W]|2，這表明每單位體積只有一個(gè)入射粒子。入射波的幾率流密度訪2mdw訪2mdw* dww1*-w1Wi方「——-ikWW*一ikw*W2m 11 11（7.1.10）也就是入射粒子流強(qiáng)度，即（7.1.3）的N散射波的幾率流密度是'廣2m[w2等*2冬卜2>^就若卜mf（6，◎）12⑴』1）它表示單位內(nèi)穿過(guò)球面上單位時(shí)間的粒子數(shù)，故單位時(shí)間穿過(guò)面積』S的粒子數(shù)是dn=JdS=V|f（6,中）|2dS=v|f（6,中）|2d。因?yàn)関=N，比較（7.1.12）與（7.1.3）兩r r2式，可知微分截面是q（6&）=|f（6&）|2 （7.1.13）所以知道了f（6刀），就可以求得q（6&）。f（6叩）稱為散射振幅。f（6,中）的具體形式通過(guò)求薛定諤方程（7.1.8）的解并要求在rF時(shí)解具有（7.1.9）的形式而得出。下面幾節(jié)我們將具體討論如何求方程（7.1.8）的解?！?.2分波法本節(jié)我們介紹在粒子受到中心力場(chǎng)的彈性散射時(shí)，從解方程（7.1.8）而求出散射截面的一種方法，后面還將介紹另一種方法，這兩種方法各有各的適用范圍。在中心力場(chǎng)的情況下，方程（7.1.8）可改寫為V2V2W+[k2-V(r)]w=0(7.2.1)取沿粒子入射方向并通過(guò)散射中心的軸線為極軸，這個(gè)軸是我們所討論問(wèn)題的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，波函數(shù)和散射振幅都與甲角無(wú)關(guān)。方程（7.2.1）的一般解可寫為(7.2.2)W（r,6,甲）=￡Rm（r）。（6,甲）(7.2.2)lm現(xiàn)在W既與甲無(wú)關(guān)，所以m=0，W(r,6)=￡R(r)P(cos6)i

因而（7.2.1）的一般解寫為(7.2.3)這個(gè)展式中每一項(xiàng)稱一個(gè)分波，R（叫（cos6）是第1個(gè)分波，每個(gè)分波都是方程（7.5的一個(gè)解。通常稱l=1,2,3,…的分波分別為s,p,d，…分波。徑向函數(shù)R（r）滿足方程

——(r2誓)+[k2-V(r)-^(^]R=0 (7.2.4)TOC\o"1-5"\h\zr2dr dr r2 1令R(r)=?則—U+[k2-V(r)-l(l+1)]"=0 (7.2.5)dr2 r2 1由于f與甲角無(wú)關(guān)，f只是0的函數(shù)，V的漸進(jìn)表示式(7.1.9)可寫為0k-rV >Aeikz+f(0) (7.2.6)r—3 r當(dāng)r趨于無(wú)限大時(shí)V（r）趨于零，所以當(dāng)r—3時(shí)則（7.2.5）式可化為d—T；-k2氣=0 （7.2.7）它的解是u（r=Askr住"'由此有A Asin（kr-^n+8）R（r） >tsin（kr+8，）= 2 — （7.2.8）其中l(wèi)r—3r l krA= kA：, 8^ =8,+ 2In （7.2.9）將上式代入（7.2.6）式，得到（7.2.1）的漸進(jìn)解Asin（kr-—n+8）V（r,0） 文1i2lP（cos0） （7.2.10）將其寫成（7.2.6）的形r—3 kr l1=0式就可以得到散射振幅f（0），為此目的我們利用平面波按球面波展開公式eikzeikz=eikrcos0=芝(2l+1)iij(kr)P(cos0)i=0（7.2.11）式中j（kr）是球面貝塞爾函數(shù)，它和貝塞爾函數(shù)的關(guān)系是j(kr)=；；J(kr) ^1sin(kr-1ln)l\2krl+1 r—3 kr 22因此￡(2l+1)il sin(kr一上ln)P(cos0)+f(°)eikr=￡△sin(kr-1ln+8)P(cos0)kr2l r kr2llll（7.2.12）利用公式sina=—(ei?-e*)2i將上式中的正弦函數(shù)寫成指數(shù)函數(shù)，得2kif(2kif(0)+E⑵+1)ie源P(cos0)—EAe冬2mP(cos0)I Ieikr+E⑵+1)iie脖P(cos0)—EAe—'(S；—2lm)P(cos0)e—kr=0i 1 i1 1 」2kif(0)=E(212kif(0)=E(21+1)i1e""廣2加［—(21+1)i1e21腿奪=E(21+1)(e2i81—1)P(cos0)=E(21+1)eis1(e^—ef)P(cos0)(7.2.17)則I=E(21+1)P(cos0)2ieiS1sin8if(0)=~!~e(21+1)P(cos0)ei§1sin8k 1 1iP(cos0)i（7.2.18）微分散射截面是八 1L 八一 一q(0)=f(0)2=一E(21+1)P(cos0)ei81sin81 1 k22（7.2.19）總散射截面是Q=2兀J”q(0)sin0d00=^EE⑵+1)(21'+1)卜P(cos0)P(cos0)sin0d0ei(8k2 0i「 '1=0/'=0=^^EE(21+1)(21'+1)2?！?ei(8—8)sin8sin8k2 2+11=01=0=竺E(21+1)sin28=Eqk2=04冗Q=——(21+1)sin281k2 1i1=0廣8〃)sin8sin8(7.2.20)（7221）是第1個(gè)分波的散射截面。由于p⑴1所以f（0）（7.2.13）要使上式成立，則eikr和e-ikr的系數(shù)必須都為零2kif(0)+E(21+1)iie親P(cos0)=EAei?廣2加)P(cos0) (7.2.14)TOC\o"1-5"\h\zI I II IE（21+1）i1e如P（cos0）=EAe—'&廠21m）P（cos0） （7.2.15）在（7.2.15）式I I II I兩邊乘以P（cos0）后，對(duì)0從0-兀積分，并利用勒讓德多項(xiàng)式的正交性，可得IA=(21+1)展叼iA=(21+1)展叼i- … 1z一一.的虛部是Imf(0)=-E⑵+1)sin281 (7.2.22)八4兀， °.?? Q=—-Imf（0）稱為光學(xué)定理。它表示由散射振幅在零點(diǎn)的虛部可以求出總散k射截面。綜上所述，我可以看到，分波法對(duì)低能粒子的散射特別有效。對(duì)低能粒子，Z小，lJka，要算的分波的數(shù)目較少?！?.3分波法應(yīng)用實(shí)例作為應(yīng)用分波法的一個(gè)例子。我們討論低能粒子受球?qū)ΨQ方形勢(shì)阱的散射。入射粒子能量很小，它的德布羅意波長(zhǎng)比勢(shì)場(chǎng)作用范圍大得多。質(zhì)子和中子的低能散射可以近似歸結(jié)為這種情形。以a表示方勢(shì)阱的范圍，于是粒子的勢(shì)能可寫為U（r）=\U0， r"a在勢(shì)阱的情況下U<0，因?yàn)?/k□a，即ka□1，所以只需討論[0,r>a 0s散射（l=0）就夠了，?。?.2.5）中l(wèi)=0得（7.3.1）d（7.3.1） +k2=0,r<adr2d2u,d2u, +k2=0,r>adr2「「1 2mE（7.3.2）式中k2=方2“ 7 2mUk'2=k2- 0方程（7.3.1）方2的解是u（r）=Asin（k'+5r）, r<a1 u（r）。、 } （7.3.3）由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件，R=在r=0處有u（r）=Bsin（k+o））,r>aJ r限，所以o0=0在r=a，處_!_華為連續(xù)，得kcot?+0 =）'kc'okta （7.3.4）得u（r）dr 0一 k，， ， 00=arctg—tgka—ka （7.3.5）由公式（7.2.20），總散射截面八八4兀.父4兀. kw , 、工，、一八—Q牝Q=--sin20 sin2arctg—tgka—ka （7.3.6）在粒子能量很低0 k2 0k2LLk」k—0的情況下，因?yàn)橛取?時(shí)，arctgx"x，所以（7.3.5）式可簡(jiǎn)化為J2mU□1, k°=J2mU□1, k°= ——J~k'（7.3.6）式可化為0Lka4兀 4兀4兀 4兀sQw--sin2ow--o2w4兀a2（7.3.7）如果散射場(chǎng)不是勢(shì)阱而是勢(shì)壘，即氣＞。，那么在（7.3.7）k0T0時(shí)總散射截面為E）當(dāng)U0一8時(shí)，thka=甲0thka=甲0a—°-*0a—10 ek0a+e-k0a(7.3.9)代入(7.3.8)式中得Qw4兀a2在這種情況下，總散射截面等于半徑為a的球面面積。這個(gè)結(jié)果與經(jīng)典情況不同。在經(jīng)典力學(xué)中，總散射截面等于剛球的最大截面面積兀a2。量子力學(xué)的結(jié)果比經(jīng)典力學(xué)大四倍。§7.4玻恩近似這一節(jié)我們介紹另一種近似方法一一玻恩近似。如果入射粒子的動(dòng)能比粒子散射與散射中心相互作用的勢(shì)能大得多，以致勢(shì)能U（f）可以看作是微擾時(shí)，可用玻恩近似來(lái)計(jì)算散射截面。體系的哈密頓量寫為H=H0+H'其中H0=三是自由粒子的哈密頓量，H'三U（r）。2取箱歸一化的動(dòng)量本征函數(shù)匚3E作為H0的本征函數(shù)，這種歸一化描寫在體積L3內(nèi)有一個(gè)粒子。微擾使粒子從動(dòng)量為方k的初態(tài)躍遷到動(dòng)量為極的末態(tài)。根據(jù)能量守恒，有k2=k2=k2入射粒子流強(qiáng)度為vL，其中v="k。根據(jù)（7.1.1）式，單位時(shí)間內(nèi)散m射到立體角d。內(nèi)的粒子數(shù)為：dn=vL-3q（9,中）d。 （7.4.1）另一方面，方向在立體角d。內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度是一（L13 … ―P（m）=—7mhkd。單位時(shí)間散射到立體角d。內(nèi)的粒子數(shù):V2丸力7dn=2兀dn=2兀方2兀rf]"r、r lr——一L-3JU(r)ei(k'-k)-rdr2L3mk mk2 d。=vL-3?-8兀3方2 4兀2方3V-fU(r)ei儂'-k)-rdr2d。(7.4.2)力k比較（7.4.1）和（7.4.1），注意到v=—，立即可的m2q(9)= m2q(9)= -JU(r)ei儂頃)-rdr4兀2方4I（7.4.3）上式的絕對(duì)值號(hào)之內(nèi)保留負(fù)號(hào)是因?yàn)橛闷渌椒ㄋ愠龅纳⑸湔穹?（9）有一負(fù)號(hào)。引入矢量

TOC\o"1-5"\h\z一 一，一 0 一K=k-k(7.4.4)它的數(shù)值是K=2ksin^其中0是散射角，方K是散射引起動(dòng)量的變化。于是(7.4.3)式的積分可以簡(jiǎn)化為：\o"CurrentDocument"JU(r)dr=J"U(r)r2drfae-kcosO-sin0，d0，J2Kd中=竺J"ry(r)sinKrdr

0 0 0K0因而4心. 一2q(O)= JrU(r)sinKrdr (7.4.5)K2方40若勢(shì)能已知，由上式即可的微分散射截面。如果勢(shì)能可以近似的表示為球?qū)ΨQ的方式壘或勢(shì)阱U(r)=]：0, '-a[0,r>a那么玻恩近似條件就容易得出。如果散射波的相移很小，特別是分波的相移很小，就說(shuō)明勢(shì)場(chǎng)對(duì)散射波的影響很小，因而把勢(shì)場(chǎng)看作微擾時(shí)合理的，所以分析，分波相移就可以得出玻恩近似成立的條件。由方程(7.3.4)，注意到k'=kJ-%得：k』1-^~^cotJkaJl-^~0>=kcot(ka+6) (746)\E[\EJ 0當(dāng)粒子能量很高時(shí)，E□U0：1-U牝1-U于是上式左邊余切的宗量可寫為—^)2—^)2E當(dāng)此宗量與成只差一小角時(shí)，則相移60彳艮小。于是玻恩近似有效的條件是kaUaUm| 0-=—□1(7.4.7)2E方vv是入射粒子的經(jīng)典速度。由此可見，波恩近似適用于粒子的高能散射。分波法則適用于低能散射，兩種方法相互補(bǔ)充。勢(shì)阱情況下，波恩近似對(duì)低能散射也可能有效。由（7.4.6）式，當(dāng)ka□1,E□|^J時(shí)，有tan5澆U a<—tan5澆U a<—2mU tan 0E 方（7.4.8）所以只要a、：-2mU°/方不是很接近于；，則50很小，于是玻恩近似就可以應(yīng)用。作為例子，我們來(lái)計(jì)算一個(gè)高速帶電粒子（帶電Z4）被一中性原子散射的散射截面。原子核所產(chǎn)生的電場(chǎng)被原子內(nèi)部的電子所屏蔽，這種屏蔽庫(kù)侖場(chǎng)可以表示為… ZZ42xU（x）=—s4-a （7.4.9）式中a為原子半徑，Z為原子序數(shù)。將（7.4.9）是代入r（7.4.5）式得/、 4m2/、 4m2Z2Z‘244q(0)= s-r r!8sinkre~adr02 4m2Z2Z‘244祐~~安(K2+1/a2)2（7.4.10）如果Ka=2kasin%□1 （7.4.11）則（7.4.10）式中的上項(xiàng)可以略去，結(jié)果得到微2 a2分散射截面q(q(9)=4m2v49CSC4—2(7.4.12)這就是盧瑟福散射公式。它首先由盧瑟福用經(jīng)典力學(xué)方法計(jì)算庫(kù)侖散射得出，這說(shuō)明（7.4.11）是經(jīng)典力學(xué)可以適用的條件。§7.5質(zhì)心坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系從前幾節(jié)可以我們看到計(jì)算微分散射截面都是在質(zhì)心坐標(biāo)系中進(jìn)行的，這是因?yàn)樵谫|(zhì)心系中兩粒子碰撞問(wèn)題可歸結(jié)到一個(gè)粒子在力場(chǎng)中散射的問(wèn)題，因而使計(jì)算比較簡(jiǎn)單。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果的測(cè)量通常是在實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系中進(jìn)行。為把計(jì)算的結(jié)果變換到實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系中去，必須首先把質(zhì)心坐標(biāo)系中的9變換到實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)中去。

程是質(zhì)量為mi設(shè)碰撞過(guò)速度如的粒子沿Z軸碰撞質(zhì)量為m2的粒子，后者在被碰撞前靜止于實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系中則兩粒子的質(zhì)心以速度V程是質(zhì)量為mi設(shè)碰撞過(guò)速度如的粒子沿Z軸碰撞質(zhì)量為m2的粒子，后者在被碰撞前靜止于實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系中則兩粒子的質(zhì)心以速度VmV運(yùn)動(dòng)Mm+m（圖4在質(zhì)心坐標(biāo)系中粒子mi的速度是mV

^4—

m+mmv

1-4—

mv

1-4—

m+m（7.5.3）設(shè)在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中mi在碰撞后的速度匕與'軸成。角（圖速度的大小與碰撞前相同，設(shè)碰撞后粒子m1（7.5.3）設(shè)在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中mi在碰撞后的速度匕與'軸成。角（圖3），因?yàn)槠?v^+v：（7.5.4）(7.5.5)所以Vcos0=V+v'cos0(7.5.5)1 0M1[sin00=Vsin0 (7.5.6)

以（7.5.5）兩邊除（7.5.6）兩邊，并注意七=約則得tan6= ° （7.5.7）vm 0m+mcos6這就是兩坐標(biāo)系中散射角之間的關(guān)系。根據(jù)"散射截面的定義（7.1.3），由于*在兩坐標(biāo)中應(yīng)該是相同的，因此q(6,中)dQ=q(6,中)dQ (7.5.8)即q(6,中)sin6d6d^=q(6,中)sin6d6d^0 0 0 0 0 0 0(7.5.9)因?yàn)閐^=d甲0所以q(6,中)sin6d6=q(60,中「sin60d60 (7.5.10)由(7.5.7)時(shí)，得cos6= mi*m2cos6 (7.5.11)將上式進(jìn)行微分，得到0 Jm2+m2+2mmcos6sin6d6= 嚀m2+m1cos6) sin6d600 (m2+m2+2mmcos6)3/2坐標(biāo)系中微分散射截面的變換關(guān)系:12 一q(6,甲)cos61但甲) (m2+m2+2mmcos12 一q(6,甲)cos61（7.5.12）將上式代入（7.5.10），得到兩（7.5.12）將上式代入（7.5.10），得到兩(7.5.13)至于總散射截面在兩坐標(biāo)系中是相同的。當(dāng)m2m1時(shí)，質(zhì)心可認(rèn)為是在m2上，這時(shí)兩坐標(biāo)系重合，可得6=6°,q（6,中）=q（6°,中「§7.6全同粒子的散射前面討論的散射，則考慮兩粒子并非全同粒子的散射，如果兩粒子是全同粒子，由于這兩粒子組成的體系的波函數(shù)必須具備確定的對(duì)稱性，因此散射截面的計(jì)算必須考慮全同性問(wèn)題。先考慮無(wú)自旋的兩非全同粒子A和8的散射。如圖1，在質(zhì)心系中，在探測(cè)器q中測(cè)量A粒子及B粒子。A粒子出現(xiàn)在q的幾率，微分截面是|f（6）|2，B粒子在6方向的散射振幅與A粒子在兀-6方向的散射振幅相同。散射截面是|f（兀-6）|2。因此，探測(cè)器￡測(cè)的粒子A或B的幾率即散射截面是。（6）=|f（6）|2+|f（兀-6）|2 （7.6.1）再考慮兩全同玻色子B和B的散射。在質(zhì)心內(nèi)，體系為對(duì)稱化的散射波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的漸進(jìn)表示式是:eikrW(r) >eg.+f(9)—— (7.6.2)式中r=r-r是兩粒子之間相互位置矢量。rrT3 r 12的極坐標(biāo)是(r,9,中)。互換兩粒子的坐標(biāo)，r變?yōu)?r,(r,9)變?yōu)?r,兀-9)，對(duì)稱波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的近似表示式是eikrWs(r)一丁Teik+e-k+[f(9)+f(k-9)P— (7.6.3)因此B粒子在9方向的散射振幅是f(9)+f(k-9)，微分散射截面是。(9)=|f(9)+f(k-9)|2s=\f(9)|2+1f(k-9)|2+f*(9)f(k-9)+f(9)f*(兀-9) (7.6.4)上式表明，=|f(9)|2+|f(k-9)|2+2Ref*(9)f(k-9)全同粒子與非全同粒子散射的角分布不同，全同粒子微分散射截面中出現(xiàn)干涉項(xiàng)2Ref*(9)f(兀-9)。當(dāng)9=兀/2時(shí)，非全同粒子散射。(9)=2f(k/2)2，全同玻色子散射。(9)=4|f(k/2)|2。由(7.6.4)可得bs(k/2-n)=If(k/2-n)+f(K/2+n)|2=bs(K/2+叩) (7.6.5)。對(duì)9=k/2對(duì)稱再來(lái)考慮兩個(gè)全同費(fèi)米子A和A的散射。同樣，我們先忽略粒子的自旋。在質(zhì)心系中，交換反對(duì)稱波函數(shù)在rF時(shí)的表示式為eikrV(r) Teikz+e-ikz+[f(9)―f(K-9)] (7.6.6)因此，在9方向的散射振幅是f(9)-f(K-9)，微分散射截面是b(9)=|f(9)-f(k-9)|2a (7.6.7)現(xiàn)在考慮粒子的自旋。先考=|f(9)|2+|f(K-9)|2-2Re[f(9)f*(k-9)]慮兩個(gè)電子的散射，電子自旋為1/2，總波函數(shù)w(rs,rs)是反對(duì)稱波函數(shù)。如果忽略自12 22旋軌道耦合，則V(rs,rs)=W(r,r)/(s,s) (7.6.8)在質(zhì)心坐標(biāo)系，要使W(r)反對(duì)稱，可以由兩12 22 1 2 1 2種情況：一種是V(r)對(duì)稱，X反對(duì)稱；另一種是V(r)反對(duì)稱，X對(duì)稱兩個(gè)電子組成的自旋態(tài)，反對(duì)稱態(tài)是xa，對(duì)應(yīng)的s=0是單態(tài)。對(duì)稱態(tài)Xs，是三重態(tài)，對(duì)應(yīng)于s=1。于是有空間對(duì)稱，b(0)=|f(0)+f(兀-0)|2,自旋態(tài)反對(duì)稱，對(duì)應(yīng)于S=0的單態(tài)?；蛘呖臻g反s對(duì)稱b「0)=|f(0)-f(兀-0)|2，自旋態(tài)對(duì)稱，對(duì)應(yīng)于s=1的三重態(tài)。如果入射電子束和靶的電子都不極化，即它們的自旋取向都是無(wú)規(guī)則的，從統(tǒng)計(jì)的結(jié)果上看，有1/4的幾率處于單態(tài)，有3/4的幾率出于三重態(tài)，因此，總的微分散射截面是八1八3八b(0)=/(0)+/(0)4s4a1 3=Jf(0)+f(兀-0)2+—f(0)-f(兀-0)|2 (7.6.9)現(xiàn)在對(duì)1=|f(0)|2+|f(兀一0)|2--[f*(0)f(兀一0)+f(0)f?(兀一0)](7.6.9)做一些說(shuō)明：首先，b(兀/2)=|f(兀/2)|2其次，b(0)對(duì)0=兀/2也是對(duì)稱的另外，如果入射電子或靶是極化的，即自旋已經(jīng)有了確定取向，(7.6.9)中得1/4和3/4江不再成立，這時(shí)結(jié)果如下表所示：入射電子自旋靶電子的自旋測(cè)的電子的自測(cè)的電子的自微分散射截面取向取向旋取向旋取向方/2方/2方/2方/2If(0)-f(兀-0)|2-方/2-方/2-方/2-方/2If(0)-f(兀-0)|2方/2-方/2-方/2方/2If(0)|2方/2-方/2f(兀-0)2-方/2方/2方/2-方/2f(兀-