第六章 線性空間

第六章線性空間一.內(nèi)容概述(—)基本概念線性空間的定義-----兩個集合要明確。兩種運(yùn)算要封閉，八條公理要齊備。V擻域FV?V—VVa、peV使a+PeV。FxV—VVkeV使kaeV。滿足下述八條公理：⑴a+P=P+a； ⑵(a+P)+y=a+(P+y)；⑶對于aeV,都有a+0=a，零元素；⑷對于aeV，都有a+P=0,稱P為a的負(fù)元素，記為一a；⑸k(a+P)=ka+kP；(6)(k+1)a=ka+la；⑺(kl)a=k(la)；⑻1a=a。常用的線性空間介紹如下：匕、*分別表示二維，三維幾何空間。(ii)Fn或Pn表示數(shù)域F(P)上的n維列向量構(gòu)成的線性空間。(iii)FL］表示數(shù)域上全體多項(xiàng)式組成的線性空間。FnR］表 F上次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式集合添上零多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間。(iv)］^心(F)表示數(shù)域F上mxn矩陣的集合構(gòu)成的線性空間。當(dāng)m=n時(shí)，記為Mmxn(F)。(V)血對表示在實(shí)閉區(qū)間a,對上連續(xù)函數(shù)的集合組成的線性空間?；?，維數(shù)和坐標(biāo) 刻畫線性空間的三個要素。⑴基線性空間V(F)的一個基指的是V中一組向量%,氣…，氣｝滿足(i)ai，a2…，氣線性無關(guān)；(ii)V中每一向量都可由ai，a2…,an線性表出。⑵維數(shù)一個基所含向量的個數(shù)，稱為維數(shù)。記為dimV。⑶坐標(biāo)設(shè)a,a...,a為V(F)的一個基。VaeV(F)有a=aa+aa++aa1 2nn n 11 22 nn則稱有序數(shù)組a,a?..,a為a關(guān)于基a,a…,a的坐標(biāo)。記為(a,a?..,a)。12n 12n 12n⑷過渡矩陣 設(shè)諾(F)的二個基a ,a...,a (i) P,P，…P (ii)且P —aa1 2n 1 2n j ijii=1

j=1,2…n則稱n階矩陣。為由基到基的過渡矩陣。子空間子空間的定義及其判定。交子空間和子空間，生成子空間，余子空間。線性空間的同構(gòu)。設(shè)V和W是數(shù)域F上兩個線性空間。如果⑴。是V到W的一個雙射。⑵）Va、peVb（a+8）=b（a）+b（。）⑶VaeV、keF^（ka）=KbG）則稱b為V到W的一個同構(gòu)映射。此時(shí)稱V與W同構(gòu)。記為V三W。（二）基本理論氣。2，…氣為Vn（F）的一個基oV中每一個向量a都可唯一地表示成這n個向量的線性組合。任意多于n個向量的向量必線性相關(guān)（諾^）中）。因此有以下四個結(jié)論：n（i）V中任意n個線性無關(guān)的向量均可構(gòu)成一個基。（ii） 匕中任何兩個基所含向量個數(shù)相同。（iii） 有限維線性空間的任意子空間必為有限維的。(iv)若V(iv)若V中兩個子空間W1W2且有W1cW2dimW=dimW則W=W0V中兩個向量組a,a，…a 與p,p，…p等價(jià)，則n 1 2r 1 2sT（a,a，…a）=c（p，p，…p）1 2r 1 2s基擴(kuò)充定理設(shè)（x1,a2，...仁，｝為*一組線性相關(guān)的向量，則V中必有n—r個向量a“1，??*使得｛x1，a2，--ar,a“1，...a〃｝做成V的一個基。維數(shù)公式設(shè)W，W是V的兩個子空間，那么dimW+W=dimW+W4dimWcW坐標(biāo)變換公式「1尤：2=Ty：2頃n^k/過渡矩陣是可逆的。子空間的判定。設(shè)W是*（F）的一個非空子集，則W為￥^（F）的一個子空間oVa,PeWk、l&F都有ka+/peW。直和的充要條件：（i）零向量的表示法唯一。 （ii）WC而=h}（iii）『「_）『一『_ 12dimW+WdimW+dimW。線性空間同構(gòu)的性質(zhì)。（i）^（0）=0bQa）=—b（a）（ii）線性空間V中向量組氣性,…偵線性相關(guān)o它們的象b（a）b（a）...,b（a）線性相關(guān)。（i）同構(gòu)具有反身性，對稱性，傳遞性。2（iv）數(shù)域F上兩個有限維線性空間同構(gòu)的O是它們有相同的維數(shù)。（三）基本方法1.線性空間及子空間的證明方法；2.基、維數(shù)及向量坐標(biāo)的求法；線性空間直和分解的方法；4.線性空間同構(gòu)的證明方法。二.例題選講例1.判斷下列集合對指定的運(yùn)算是否構(gòu)成給定數(shù)域上的線性空間。⑴數(shù)域P上全體n階對稱矩陣與反對稱矩陣所成的集合V對于矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算。⑵全體正實(shí)數(shù)R+構(gòu)成的集合，P=R,加法和數(shù)乘定義為a十b=abk。以=以ka、beR+keR解⑴構(gòu)不成線性空間。因?yàn)樵O(shè)A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，且都不是零矩陣。則Ca+B）=A+B，=A—B但A—B豐—（A+B）（否則A、B之一為零矩陣）即A+B既不是對稱矩陣，也不是反對稱矩陣。故A+B任V，因而V構(gòu)不成線性空間。⑵對于加法封閉：對任意的a、beR+，有a?b=abeR；+對于數(shù)乘封閉：對任意的keR，aeR+有k。a=akeR+；（i） a?b=ab=ba=b?a；（ii） （a?b）?c=（ab）?c=（ab'）c=a（bc）=a?G?c）

（iii）R+中存在零元素1,對任何agR+，有a十1=a?1=a；(iv)對任何agR+，有負(fù)元素a-1gR+,，使a十a(chǎn)-1=aa-1=1(v)1oa=a1=a；(vi)kGa)=k?。)=aki=(kl^a；(vii)(k+1)oa=ak+i=ak-ai=ak十a(chǎn)i=k。a+1。a；項(xiàng))k(a十b)=ko(ab)=(ab)k=ak?bk=ak十bk=koa+k。b因此對于所定義的加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間。fabc']<baba、b、cgR>Icba/例2.設(shè)V=(i)證明V對于矩陣的加法和數(shù)乘來說構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。(i)(ii)求V的一組基及維數(shù)。(iii)(ii)求V的一組基及維數(shù)。(iii)求A在該基下的坐標(biāo)。其中A=3-21-23-21-23f1}f010)f001)E=1E=101E=0001,2,31vv010?V100)解（i）有兩種證法。①逐條驗(yàn)證。②用子空間的判定條件來證。線性無關(guān)，又任意矩陣(i)abcbabcabcbabcba=aE]+bE+cE3???Ei，E2,E3為的V的一個基，維數(shù)為3。(iii)矩陣A=f3-21I1一2在基E1，氣,R下的坐標(biāo)為G，-2，1）。例3.⑴證明以下兩組向量是線性空間F3的兩個基：（北京師范大學(xué)、湖北大學(xué)）⑵求向量在這兩個基下坐標(biāo)的關(guān)系。證明⑴以向量及為到三階行列式與分別線性無關(guān)。故與都是線性空間的基。⑵設(shè)在兩個基下坐標(biāo)分別為與其中為3維單位向量。在兩個基下坐標(biāo)有如下關(guān)系：例4.⑴證明下列多項(xiàng)式是（即次數(shù)次的多項(xiàng)式及零多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間）的基：其中是數(shù)域中個互不相同的數(shù)。⑵在⑴中，取為全體次單位根，求由基到基的過渡矩陣。⑴證：事實(shí)是上，若⑴則令代入⑴式由得。將分別代入⑴式由于必得故線性無關(guān)。故是一個基。⑵由于由基到基的過渡矩陣為例5.在中，求由基到基的過渡矩陣解：的基，所以將⑵代入⑶得為所求過渡矩陣。例6.證明：數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與數(shù)的乘法構(gòu)成有理數(shù)域上的線性空間，并求的一組基與維數(shù)。證：根據(jù)線性空間的定義，根據(jù)數(shù)的加法具有交換律、結(jié)合律。是中的零元。的負(fù)元素為。數(shù)的乘法對加法具有分配律，容易驗(yàn)證故構(gòu)成上的線性空間。為求的基與維數(shù)，設(shè)則由于是有理數(shù)，是無理數(shù)故注意到是有理數(shù)，是無理數(shù)。得從而線性無關(guān)。并且中的數(shù)都可由線性表示。這樣是的一組基，從而維。例7.若以表示實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。試證 （吉林工業(yè)大學(xué)、華中師大）是實(shí)數(shù)域上的線性空間。并求出它的一組基及維數(shù)。證：記為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體，已知是上的線性空間。即證是的子空間，從而是實(shí)數(shù)域上的線性空間。再令由于且次數(shù)再證線性無關(guān)，令得線性無關(guān)。再對那么但是此即可由線性表示綜上可知是的一組基，且維。例8.若，則對通常的加法和數(shù)乘，在復(fù)數(shù)域上（）維的。在實(shí)數(shù)域上是（）維的。答：2；4。在復(fù)數(shù)域上令；則線性無關(guān)。則此即可由線性表示，在實(shí)數(shù)域上令若其中此即線性無關(guān)?？捎删€性表示，在實(shí)數(shù)域上，例9.設(shè)是定義在閉區(qū)間上所有實(shí)函數(shù)的集合，在上定義加法為：對為函數(shù)定義實(shí)數(shù)乘函數(shù)為⑴證明：是實(shí)數(shù)域上的向量空間；并指示什么函數(shù)是零向量；的負(fù)向量是什么函數(shù)；⑵證明不是有限維向量空間。證：⑴先證關(guān)于加法和數(shù)乘是封閉的那么和仍為定義在閉區(qū)間上的實(shí)函數(shù)，下證加法滿足四條公理：規(guī)定零向量如下：以下四條中，這里只證最后一條（其余同理可證）再證數(shù)乘滿足四條公理：現(xiàn)以為例（其余同理可證）故綜上所述，即證得是上的向量空間，零向量是零函數(shù)。即的負(fù)向量為⑵證明維即存在任意多個線性無關(guān)的向量，令那么可證線性無關(guān)，由可任意大維即不是有限維實(shí)向量空間。例10.設(shè)是定義域?qū)崝?shù)集的所有實(shí)函數(shù)組成的集合，對于分別用下列式子定義則成為實(shí)數(shù)域上的一個線性空間。設(shè)⑴判斷是否線性相關(guān)，寫出理由。⑵用表示生成的子空間，判斷是否為直和。（北京大學(xué)）解：⑴令即分別代入上式得解得線性無關(guān)。⑵令是直和。即是直和。例11.證明對于全體階矩陣構(gòu)成的線性空間，有其中分別是全體階對稱矩陣與反對稱矩陣的線性空間。證：先證雖然有因?yàn)槎使?。再證故而例12.設(shè)A、B、C、D都是數(shù)域上階方陣，且關(guān)于乘法兩兩可交換，還滿足AC+BD=E（E為階單位矩陣）設(shè)方程的解空間為與的解空間分別為，證明證：⑴先證此即則此即即⑵再證由⑴有故此即故⑶證明即的任意性。證得故例13.設(shè)是數(shù)域上的矩陣是上矩陣是非奇異矩陣。證明：維線性空間是齊次線性方程組的解空間的解空間的直和。（山東大學(xué)“）證：僅有零解。即方程組僅有零解，此即但秩秩（秩）例14設(shè)都是的子空間。證明證：已知只須證設(shè)對于任意的有且故使推出又故得而故故例15.設(shè)且證明：關(guān)于通常矩陣的加法與數(shù)乘構(gòu)成上的線性空間。并求的維數(shù)。證：顯然故是數(shù)域上三階方陣所構(gòu)成線性空間的一個非空子集。易證是的子空間從而是上的一個線性空間。另一方面，由計(jì)算得知的特征多項(xiàng)式為最小多項(xiàng)式為任取則于是可見是的生成元。線性無關(guān)。故是線性空間的一個基。從而例16.設(shè)是線性空間的兩個真子空間，證明：存在向量使同時(shí)成立。（的補(bǔ)充題4）證：因?yàn)闉榉瞧椒沧涌臻g。故存在如果則命題得證。如果但必另有如果則命題也得證。今設(shè)即有向量使得于是可證。事實(shí)上，若，那么必定有這與假設(shè)矛盾。同理可證。則即為所求。例17.設(shè)是線性空間的個真子空間。證明中至少有一個2不屬于中任何一個。（的補(bǔ)充題5）（北京郵電學(xué)院）證：對用數(shù)學(xué)歸納法⑴當(dāng)時(shí)，由上例得知，結(jié)論成立。⑵假設(shè)時(shí)，命題成立?，F(xiàn)證時(shí)，也成立。由歸納假設(shè)須知中存在一個向量，如果則結(jié)論得證。今設(shè)另外存在此時(shí)如果中任何一個，則結(jié)論也成立。因此不妨設(shè)于是有及由上例知：對作同樣的討論。如果中任何一個，則結(jié)論成立。因此不妨設(shè)顯然中任何一個，再對作上述討論。如果中任何一個。則命題得證。不然又可設(shè)于是得如此繼續(xù)下去，因子空間個數(shù)有限。故經(jīng)有限步后可得所以對任意結(jié)論成立。由⑴⑵得知，對任意命題成立。例18.和為直和，求證：證明其逆不成立。證：用反證法。其結(jié)論不成立。即不妨設(shè)則有此時(shí)有零向量表示法唯一。與為直和矛盾。故結(jié)論成立。任取平面上兩兩不共線的三個向量顯然兩兩之交為0,但是它們的和顯然不是直和。例19.設(shè)是數(shù)域上的一個線性空間。⑴若是的兩個有限維子空間。證明維數(shù)公式：⑵寫出關(guān)于線性空間的個有限維子空間的相應(yīng)維數(shù)公式，并給予證明。（福建師范大學(xué)）證：⑴見北大《高等代數(shù)》P265的定理7。⑵線性空間的個有限子空間的相應(yīng)的維數(shù)公式是下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，由⑴得知結(jié)論成立。假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立。下證時(shí)，結(jié)論也成立。即時(shí)，結(jié)論成立。這樣，我們完成了維數(shù)公式的推廣。下面我們介紹余子空間的概念。定義設(shè)是線性空間的一個子空間，的子空間叫做的一個子空間。如果⑴⑵例20.維線性空間上午任意一個子空間都有余子空間，那么證：設(shè)是子空間的一個基，取顯然而且容易證明所以是的一個余子空間。根據(jù)維數(shù)公式，則例設(shè)是維線性空間的子空間。且證明在中有不只一個余子空間。（北京師范大學(xué)）證：設(shè)為的一個基，令則為的一個余子空間。設(shè)則也是的一個余子空間，且。顯然對線性無關(guān)。這樣就證明了也是的一個余子空間。下證，如若不然那么令這與相矛盾。由此得故命題成立。設(shè)為個方程個未知量的齊次線性方程組，若則全部解向量作成一個維向量空間的一個子空間，稱為齊次線性方程組的解空間，其維數(shù)等于。例22.在中，求由齊次線性方程桐確定的解空間的基與維數(shù)。解：秩為2,因而解空間的維數(shù)是4-2=2它的一個基為例23.在四維線性空間中，設(shè)是由向量所生成的子空間，試求出子空間解：設(shè)向量則這個方程組顯然有無窮多解，我們從中挑出兩個線性無關(guān)的而又是2維的，握吱是由所生成的子空間。例24.假設(shè)維線性空間的兩個線性子空間