以數(shù)的運(yùn)算為例談?wù)w把握小學(xué)數(shù)學(xué)課程

以數(shù)的運(yùn)算為例談?wù)w把握小學(xué)數(shù)學(xué)課程

我國數(shù)學(xué)課程一直將數(shù)的運(yùn)算作為小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，并且取得了很多優(yōu)秀的成績和寶貴的經(jīng)驗(yàn)。但長期以來，一些人對(duì)運(yùn)算能力的理解并不全面，將其僅僅等同于運(yùn)算技能（即算得又對(duì)又快），并且由于考試等原因?qū)\(yùn)算難度和速度的要求越來越高。在信息技術(shù)如此發(fā)達(dá)的今天，是否還需要學(xué)生計(jì)算那樣難的題目，并且算得那樣快？當(dāng)然，基本的運(yùn)算技能是必需的，但“基本”的標(biāo)準(zhǔn)是什么？學(xué)生是否應(yīng)將精力放在其他有價(jià)值的內(nèi)容上？還有哪些有價(jià)值的內(nèi)容？實(shí)際上，數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)用運(yùn)算解決問題是具有天然聯(lián)系的，因此《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將其整合在一起。于是，數(shù)的運(yùn)算就包括如下幾條主線：第一，數(shù)的運(yùn)算的意義及四則運(yùn)算之間的關(guān)系；第二，獲得運(yùn)算的結(jié)果（包括估算、精確計(jì)算）；第三，運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)；第四，運(yùn)用運(yùn)算解決實(shí)際問題。限于文章篇幅，本文將集中闡述“獲得運(yùn)算的結(jié)果”中有關(guān)精確計(jì)算的內(nèi)容。進(jìn)一步，我和我的團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，精確計(jì)算的學(xué)習(xí)又可以細(xì)分為四條線索：第一，計(jì)算方法的探索及算理的理解；第二，計(jì)算法則的形成與內(nèi)化；第三，計(jì)算法則的熟練；第四，使用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算。本文將集中于前三條線索。一、計(jì)算方法的探索及算理的理解曾經(jīng)有一些教師有這樣的想法，對(duì)于計(jì)算教學(xué)，只要讓學(xué)生把法則背誦下來，反復(fù)練習(xí)就可以達(dá)到又對(duì)又快，似乎沒有必要花時(shí)間去討論這些法則背后的道理（即算理）。那么，算理是否重要？什么是算理？學(xué)生想法中所呈現(xiàn)的算理又是什么呢？我們?cè)诮滩暮徒虒W(xué)中如何幫助學(xué)生理解算理呢？1.重視算理的教學(xué)這里首先需要明確的是算理、法則的內(nèi)涵以及二者的關(guān)系。算理是四則運(yùn)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成的；運(yùn)算法則是四則運(yùn)算的基本程序和方法。運(yùn)算是基于法則進(jìn)行的，而法則又要滿足一定的道理。所以，算理為法則提供了理論依據(jù)，法則又使算理可操作化。由此不難看出，教學(xué)中既要重視法則的教學(xué)，還要使學(xué)生理解法則背后的道理。不僅要讓學(xué)生知道該怎么計(jì)算，而且還應(yīng)該讓學(xué)生明白為什么要這樣計(jì)算，使學(xué)生不僅知其然，而且還知其所以然，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算法則。為了進(jìn)一步說明重視算理教學(xué)的重要性，這里不妨舉一個(gè)例子。我們?cè)?009年對(duì)三年級(jí)學(xué)生的一次測試中設(shè)計(jì)了如下兩道題目：題目1：計(jì)算42×25。（目的是考查三年級(jí)學(xué)生是否掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的法則）題目2：如圖1，在34×12的豎式中，箭頭所指的這一步表示的是()。圖1A.10個(gè)34的和B.12個(gè)34的和C.1個(gè)34的和D.2個(gè)34的和（本題考查的是三年級(jí)學(xué)生是否理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式中每一步的含義）設(shè)計(jì)題目2是源于筆者與學(xué)生的一次談話。在筆者與一名三年級(jí)學(xué)生討論如何計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目時(shí)，他很快利用豎式給出正確結(jié)果。筆者進(jìn)一步追問豎式的“第二層”（即題目中箭頭所指的這一步）是怎么得到的，他快速地回答道：“是老師告訴的，用1乘34，乘完向左移一位，我也不知道為什么?！边@次簡短的談話引起了筆者的深思：到底有多少學(xué)生真正理解了法則，而不僅僅是機(jī)械套用？在2009年所作的全國常模抽樣測試中隨機(jī)抽取了1664份樣本，學(xué)生在題目1和題目2上的得分率分別是70.10%和43.09%，二者有顯著性差異。與題目1相比，題目2的得分率低可能是由于學(xué)生對(duì)這類題目不熟悉，但不得不說確實(shí)有不少學(xué)生并不真正理解法則的意義，特別是本題錯(cuò)誤地選擇選項(xiàng)C的人數(shù)最多更加說明了這一點(diǎn)。因?yàn)樵趯?shí)際教學(xué)中，或者不少教師不重視學(xué)生探索如何計(jì)算的過程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，老師立即就引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在對(duì)豎式還未真正內(nèi)化的情況下，教師又開始引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“簡化”的豎式（即箭頭所指的那一步，要把340末尾的0寫成虛的，意思是可以省略不寫，最后再把0省略掉）。這樣倉促地同時(shí)完成幾個(gè)內(nèi)容的教學(xué)，就可能造成學(xué)生因?yàn)闆]有真正理解豎式每一步的道理而只好記住法則了。再加上，教師又沒有在后面的練習(xí)中注意促進(jìn)學(xué)生在記憶基礎(chǔ)上再次理解，學(xué)生產(chǎn)生“老師讓我們這么做就這么做”的想法就不足為奇了。所以，在教學(xué)中教師應(yīng)在學(xué)生探索算法的基礎(chǔ)上，切實(shí)引導(dǎo)學(xué)生將法則進(jìn)行內(nèi)化，重視運(yùn)算道理的教學(xué)。同時(shí)也建議在教材和教學(xué)中無須強(qiáng)調(diào)“虛0”，更不必去掉豎式“第二層”末尾的0。2.了解學(xué)生想法中所蘊(yùn)涵的道理在教學(xué)中我們要鼓勵(lì)學(xué)生自己探索如何進(jìn)行運(yùn)算，并且嘗試說明自己這樣算的道理，在這些學(xué)生的想法中往往蘊(yùn)涵著算理。為此，我們不妨來看一個(gè)課堂教學(xué)片段[1]：【案例】關(guān)于“0.3×0.2”的討論。課上通過一個(gè)問題情境“長0.3米、寬0.2米的長方形花壇的面積是多少”，引出了“0.3×0.2=?”首先，學(xué)生進(jìn)行了猜想。一部分學(xué)生認(rèn)為是0.6，另一部分學(xué)生認(rèn)為是0.06，產(chǎn)生了分歧。教師給學(xué)生充分思考探索運(yùn)算結(jié)果的空間，交流時(shí)學(xué)生發(fā)言踴躍。圖2生1：（用畫圖表示0.3×0.2=0.06，如圖2）我是這樣想的，寬是0.2米，不到1米，所以結(jié)果不會(huì)是0.3（平方米）。我用百格圖，這里的0.3米表示花壇的長，0.2米表示花壇的寬，表示面積的這些方格是6個(gè)，是6個(gè)0.01，占百格圖的百分之六，所以0.3乘0.2的結(jié)果是0.06。生2：我還有一種方法。把0.2看成2，把0.3看成3，2乘3得6。因?yàn)槲覄偛艛U(kuò)大了100倍，所以現(xiàn)在要縮小為它的百分之一，得0.06。生3：我沒有那么麻煩，不用把兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大，我只把0.2擴(kuò)大10倍，2乘0.3得0.6，再把0.6縮小到原來的十分之一，就是0.06。生4：我用豎式。02與3相乘得06，任何數(shù)和0相乘都得0，所以02和0相乘得00，加起來就是0.06。（生4邊說邊寫出了下面的豎式）生4的方法得到同學(xué)們熱烈的掌聲。隨即有同學(xué)問：“為什么不把小數(shù)點(diǎn)加在0和6之間呢？”生5：我們學(xué)過兩位數(shù)乘兩位數(shù)了，我看成是03乘02，得數(shù)應(yīng)當(dāng)是006。小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在哪兒呢？我認(rèn)為不會(huì)是00.6，如果小數(shù)點(diǎn)前有兩個(gè)0，前邊的0就沒有意義了，小數(shù)點(diǎn)前只能是一個(gè)0，所以是0.06。生6：0.3乘0.2就是把0.3平均分成10份，取其中的兩份。0.3的十分之一是0.03，也就是一份是0.03，兩份就是0.06。生7：0.2不到1，如果是1乘0.3，得0.3，而0.2比1小，所以應(yīng)當(dāng)是比0.3還小。仔細(xì)分析學(xué)生這么多的方法，不難發(fā)現(xiàn)其中的不少方法蘊(yùn)涵著樸素的道理。比如生2和生3的方法都是運(yùn)用積的變化規(guī)律將小數(shù)乘小數(shù)轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的內(nèi)容（整數(shù)乘整數(shù)或整數(shù)乘小數(shù)）；生6的方法則運(yùn)用了小數(shù)的意義和分?jǐn)?shù)的意義，也得到了結(jié)果；生1的方法看起來有點(diǎn)“麻煩”耽誤不少時(shí)間，但這個(gè)方法借助“百格圖”，直觀地呈現(xiàn)了乘法的意義，即先得到6個(gè)小格（實(shí)際上就是算3×2），再分析每個(gè)小格是0.01（實(shí)際上就是算0.1×0.1），6個(gè)小格就是0.06。這就啟發(fā)我們思考算法多樣化的一個(gè)重要價(jià)值。實(shí)際上算法多樣化不僅可以鼓勵(lì)學(xué)生個(gè)性化、主動(dòng)地學(xué)習(xí)，同時(shí)，學(xué)生在自主探索運(yùn)算方法的過程中，將運(yùn)用已有的概念、定律、法則等嘗試解決新問題，這就是一個(gè)尋找“合乎道理”的運(yùn)算方法的過程。這些多樣化的運(yùn)算方法往往蘊(yùn)涵著學(xué)生心目中的“算理”，并且呈現(xiàn)形式是多樣的（如數(shù)的、圖的），解釋的途徑也不盡相同（如生2和生6的方法），對(duì)這些方法的比較和交流無疑為學(xué)生理解算理奠定了基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上教師再加以總結(jié)歸納，學(xué)生對(duì)于算理的理解就會(huì)加深了。以上，雖然針對(duì)的是小數(shù)乘法的一個(gè)案例，但為教師教學(xué)提供了共通的策略。第一，重視學(xué)生自主探索計(jì)算方法的過程，因?yàn)檫@種探索往往體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于算理的初步理解。在此基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生對(duì)各種方法進(jìn)行比較，凸顯其中蘊(yùn)涵的算理。第二，作為教師，要梳理小學(xué)階段各種運(yùn)算的算理，特別是梳理學(xué)生常見的方法背后是否蘊(yùn)涵著算理，這樣就能從容地面對(duì)學(xué)生的多種方法。第三，要鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用自己的語言有條理地表達(dá)自己的思考，即數(shù)的運(yùn)算也是講道理的，不是按照程序機(jī)械運(yùn)行。實(shí)際上，上面幾位學(xué)生在闡述自己的方法時(shí)，都在進(jìn)行著推理，都在有條理地進(jìn)行表達(dá)。3.通過多種方式幫助學(xué)生理解算理為了幫助學(xué)生更好地理解算理，教師要善于選擇多種方式。常用的理解算理的方式有實(shí)物原型、直觀模型、已有知識(shí)等。其中實(shí)物原型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的實(shí)物材料，如元、角、分等人民幣，千米、米、分米等測量單位；而直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計(jì)數(shù)器、長方形或圓形圖、數(shù)直線。為了更好地幫助大家理解，不妨舉兩個(gè)教材中的例子。如圖3，在小數(shù)除以整數(shù)的運(yùn)算中，法則的關(guān)鍵一步是“商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”。為了幫助學(xué)生理解這樣做的道理，人教版教材首先運(yùn)用了測量單位的原型幫助學(xué)生理解，然后又聯(lián)系小數(shù)的意義和表示方法，幫助學(xué)生理解關(guān)鍵的一步“24個(gè)十分之一，除以4后結(jié)果為6個(gè)十分之一，所以結(jié)果為0.6”。如圖4，在分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中，北師大版教材運(yùn)用了長方形模型幫助學(xué)生理解：實(shí)際上是將“1”平均分成了16份，取了其中的3份，從而是“分母乘分母、分子乘分子”。二、計(jì)算法則的內(nèi)化與形成有的教師重視讓學(xué)生去探索如何計(jì)算，并在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生理解算理，但是往往忽視了另一個(gè)重要的過程——計(jì)算法則（或個(gè)體使用方法）的內(nèi)化與形成。即當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了算法多樣化，并且對(duì)于運(yùn)算的道理有所理解后，還需要學(xué)生對(duì)眾多算法中自己選擇使用的方法或者常規(guī)的計(jì)算法則進(jìn)行再熟悉，以達(dá)到內(nèi)化，然后才是進(jìn)一步的鞏固練習(xí)。徐斌在論述“算理直觀”與“算法抽象”這一對(duì)基本矛盾時(shí)指出：“在教具演示、學(xué)具操作、圖片對(duì)照等直觀刺激下，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方式，對(duì)算理的理解可謂十分清晰。但是好景不長，當(dāng)學(xué)生還流連在直觀形象的算理中時(shí)，馬上就得面對(duì)十分抽象的算法，接下去的計(jì)算都是直接運(yùn)用抽象的簡化算法進(jìn)行計(jì)算的。筆者認(rèn)為，在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗(yàn)中逐步完成‘動(dòng)作思維——形象思維——抽象思維’的發(fā)展過程?！盵2]為了說明這一對(duì)基本矛盾，他還列舉了“14×2”的教學(xué)片段：首先出示情境圖——兩只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14個(gè)。讓學(xué)生提出問題：一共摘了多少個(gè)桃子？并列出乘法算式14×2。接著，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索計(jì)算方法。有的學(xué)生看圖知道了得數(shù)，有的學(xué)生用加法算出得數(shù)，有的學(xué)生用小棒擺出了得數(shù)，也有少數(shù)學(xué)生用乘法算出了得數(shù)。然后，組織學(xué)生交流匯報(bào)自己的計(jì)算方法。老師在分別肯定與評(píng)價(jià)的同時(shí)，結(jié)合學(xué)生的匯報(bào)，板書了這樣的豎式（如圖5①）：圖5同時(shí)，老師結(jié)合講解，分別演示教具、學(xué)具操作過程，又結(jié)合圖片進(jìn)行了數(shù)形對(duì)應(yīng)。最后，老師引導(dǎo)學(xué)生觀察這種初始豎式，通過講解讓學(xué)生掌握簡化豎式的寫法（如圖5②），再讓學(xué)生運(yùn)用簡化豎式進(jìn)行計(jì)算練習(xí)。在上面的案例中，學(xué)生借助多種手段計(jì)算出結(jié)果，并理解了算理后，教師很快講解并要求學(xué)生掌握簡化的豎式，從而從算理的直觀立即進(jìn)入了算法的抽象。徐斌建議：“形成了初始豎式后，不必過早抽象出一般算法，而應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用這種初始模式再計(jì)算幾道題?！彼€給出了如下的教學(xué)片段：（在學(xué)生理解了14×2的初始豎式后）師：我們一起來用這樣的豎式計(jì)算。（請(qǐng)三名學(xué)生上臺(tái)板演，其余學(xué)生自己嘗試解答）師：我們來看黑板上的豎式。這些算式有什么共同的地方？生1：它們都是兩位數(shù)和一位數(shù)乘。生2：第一次乘下來都得一位數(shù)，第二次乘下來都得兩位數(shù)。生3：我發(fā)現(xiàn)第二次乘下來都得整十的數(shù)。生4：我發(fā)現(xiàn)得數(shù)個(gè)位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，得數(shù)十位上的數(shù)就是第二次乘得的數(shù)。師：大家觀察得都很仔細(xì)，那么你覺得像這樣寫怎么樣？生1：比較清楚。生2：清楚是清楚，不過有點(diǎn)繁瑣，有些好像不要寫兩次的。師：是啊，要是能簡單些就好了。生3：其實(shí)這個(gè)豎式積里十位上的數(shù)字可以移動(dòng)到個(gè)位數(shù)字的左邊來，其余可以擦去的。師：哦，你的想法挺好的，我們一起來看屏幕——（屏幕上動(dòng)畫演示豎式由繁到簡的過程）師：老師也來寫一次。你們看——這樣寫是不是比原來簡單多了？生：（齊）是！師：我們以后列乘法豎式時(shí)，可以選擇簡單的方法來寫。剛才寫的三道豎式，你們能不能把它們改成簡單的寫法？（請(qǐng)?jiān)瓉戆逖莸娜麑W(xué)生上臺(tái)，其余學(xué)生也動(dòng)手將初始寫法改成簡單寫法）在上面的案例中，在引出了“初始”豎式后，教師沒有馬上進(jìn)一步講解“簡化”的豎式。因?yàn)楹笳呤菍?duì)前者的“壓縮”，如果學(xué)生沒有對(duì)前者的切實(shí)理解和內(nèi)化，往往實(shí)現(xiàn)不了這種“壓縮”，從而造成困難。于是，教師鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用“初始”豎式再做一些題目，在此過程中進(jìn)一步理解算理，同時(shí)對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行內(nèi)化。在此基礎(chǔ)上，再引入“簡化”的豎式，并通過比較體會(huì)它的好處。這一過程體現(xiàn)了“讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握”。筆者雖然不完全同意使用“算理直觀”和“算法抽象”的詞語，但對(duì)上述觀點(diǎn)是贊同的，甚至建議教師不一定在一節(jié)課上就讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“初始”豎式的“壓縮”，而是充分建立“初始”豎式與學(xué)生算法多樣化之間的聯(lián)系，真正使學(xué)生理解算理，內(nèi)化計(jì)算方法?？傊谒惴ǘ鄻踊幕A(chǔ)上，教師既要溝通各種算法之間的聯(lián)系，凸顯算理，又要讓學(xué)生對(duì)常規(guī)法則（或者學(xué)生個(gè)體選擇的方法）進(jìn)行充分內(nèi)化，然后再進(jìn)入鞏固練習(xí)階段。三、計(jì)算法則的熟練使用“熟練”一詞，并不是說要求學(xué)生對(duì)于所有的計(jì)算法則的使用都必須達(dá)到一定的速度，而是指形成必要的計(jì)算技能，從而在以后遇到此類計(jì)算時(shí)，學(xué)生能“自動(dòng)地”使用法則。理想的教學(xué)是當(dāng)學(xué)生面對(duì)精確計(jì)算的題目時(shí)，能夠回憶起法則進(jìn)行“自動(dòng)”的運(yùn)算，而當(dāng)詢問法則背后的道理時(shí)，學(xué)生又能運(yùn)用自己的方式正確地加以表達(dá)。那么，如何在新課程背景和要求下，科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算技能呢？提出如下幾條建議。1.首先應(yīng)以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于學(xué)生的計(jì)算技能給出了明確要求。第一，是內(nèi)容方面的要求。如對(duì)于自然數(shù)的筆算，明確規(guī)定“能計(jì)算三位數(shù)的加減法”，“能筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法”，“會(huì)進(jìn)行簡單的四則混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）”。第二，是對(duì)速度的要求。下表是《標(biāo)準(zhǔn)》給出的評(píng)價(jià)建議：學(xué)習(xí)內(nèi)容速度要求20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法口算每分8～10題三位數(shù)以內(nèi)的加減法筆算每分2～3題兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算每分1～2題除數(shù)是一位數(shù)、被除數(shù)不超過三位數(shù)的除法每分1～2題在《標(biāo)準(zhǔn)》修訂時(shí)，又明確了100以內(nèi)加減法口算的速度要求，即每分3～4題。2.有效利用學(xué)生的困難和錯(cuò)誤談到科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算技能的問題，不能回避的問題是如何面對(duì)學(xué)生的困難和錯(cuò)誤。實(shí)際上，越來越多的老師對(duì)學(xué)生的困難和錯(cuò)誤采取了更為理解的態(tài)度，并力圖去發(fā)現(xiàn)其中的原因和積極成分，把困難和錯(cuò)誤當(dāng)成資源來利用。這里，想再次強(qiáng)調(diào)教師要深入了解學(xué)生的想法，準(zhǔn)確診斷學(xué)生困難和錯(cuò)誤的原因。教師不能將學(xué)生的困難和錯(cuò)誤簡單地歸為“粗心”，而要通過訪談等手段了解學(xué)生的真實(shí)想法。這里舉一個(gè)案例。清華大學(xué)附屬小學(xué)的張紅老師在教學(xué)小數(shù)除以小數(shù)之前，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了學(xué)前調(diào)研，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算“8.54÷0.7”時(shí)，27%的學(xué)生不能自覺想到將其轉(zhuǎn)化為小數(shù)除以整數(shù)，67.6%的學(xué)生在轉(zhuǎn)化時(shí)出現(xiàn)了困難。特別有意思的是，在隨后教師對(duì)學(xué)生的訪談中，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生在處理商的小數(shù)點(diǎn)位置時(shí)出現(xiàn)了較大的困難。一部分學(xué)生認(rèn)為商的小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，得到1.22；另一部分學(xué)生把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，將算式轉(zhuǎn)化為85.4÷7并得到答案12.2后，又畫蛇添足地將答案的小數(shù)點(diǎn)往左移動(dòng)了一位。如果教師不了解學(xué)生的真正困難，設(shè)計(jì)有效的活動(dòng)幫助學(xué)生克服困難，學(xué)生可能只會(huì)機(jī)械記住法則。于是，為了幫助學(xué)生克服困難，教師在課堂上讓學(xué)生探索“5.1÷0.3”，當(dāng)出現(xiàn)困難時(shí)，教師為學(xué)生準(zhǔn)備了三道提示問題：溫馨提示1：鉛筆每支0.3元，小紅有5.1元錢，她能買幾支鉛筆？溫馨提示2：一條彩帶長5.1米，如果每0.3米剪成一段，可以剪幾段？溫馨提示3：如圖6，5.1里面有多少個(gè)0.3，你能圈圈看嗎？圖6在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生借助生活原型（提示1和提示2）和直觀模型（提示3）發(fā)現(xiàn)最終的答案應(yīng)該是17而不是1.7。圖7是利用直觀模型的解釋：5.1里面有51個(gè)0.1，0.3里面有3個(gè)0.1，看5.1里面有多少個(gè)0.3，實(shí)際上就是看51里面有多少個(gè)3，結(jié)果為17。圖73.合理地設(shè)計(jì)練習(xí)要形成一定的運(yùn)算技能，必要的練習(xí)是不可少的。練習(xí)的設(shè)計(jì)包括練習(xí)的題目、練習(xí)的形式、練習(xí)的數(shù)量、練習(xí)的時(shí)間等的合理安排。考慮到小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，教師應(yīng)采取豐富多彩的練習(xí)形式，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，可以安排有趣的“數(shù)學(xué)黑洞”問題。在這樣的問題中，學(xué)生既進(jìn)行了減法的練習(xí)，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了有趣的規(guī)律。這里要特別強(qiáng)調(diào)的是，在練習(xí)的同時(shí)，教師可以將基本技能的獲得與其他思維能力的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來。根據(jù)運(yùn)算技能形成的各階段的特點(diǎn)，教師可以適當(dāng)?shù)胤峙渚毩?xí)的次數(shù)和時(shí)間，并非練習(xí)的次數(shù)越多、時(shí)間越長，練習(xí)的效果就越好。比如，有些教師總結(jié)了合理