推理與證明 學(xué)案

推理與證明一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)推理一般包括合情推理和演繹推理.合情推理：根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程.歸納、類比是合情推理常用的思維方法.歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理.歸納推理的一般步驟：⑴通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；⑵從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.類比推理：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.類比推理的一般步驟：⑴找出兩類事物之間的相似性或一致性；⑵從一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.演繹推理：根據(jù)一般性的真命題導(dǎo)出特殊性命題為真的推理.直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法──反證法.分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法.綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法.反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結(jié)論；⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；⑶由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；⑷間接證明命題為真.數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)｛pn｝是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果⑴證明起始命題p1成立；⑵在假設(shè)pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以斷定，｛pn｝對(duì)一切正整數(shù)成立.數(shù)學(xué)歸納法的步驟：

（1）證明當(dāng)（如或2等）時(shí)，結(jié)論正確；

（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論也正確．二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.歸納推理是根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理.而類比推理是根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.2.應(yīng)用反證法證明命題的邏輯依據(jù)：做出與命題結(jié)論相矛盾的假定，由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果3.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，歸納推理是一種推理方法.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]{}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,并且對(duì)于所有的自然數(shù),與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng).(1)寫(xiě)出數(shù)列{}的前3項(xiàng);(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程);錯(cuò)解：由(1)猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=4-2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=4-2.(∈N).①當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有將=4-2代入上式，得，解得由題意,有將代入，化簡(jiǎn)得解得.∴這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立.根據(jù)①、②,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立.錯(cuò)因在于解題過(guò)程中忽視了取值的取舍.正解：由(1)猜想數(shù)列{an}有通項(xiàng)公式an=4n-2.猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=4-2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=4-2.(∈N).①當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有將=4-2代入上式，得，解得由題意,有將代入，化簡(jiǎn)得解得.由∴這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立.根據(jù)①、②,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立.[例2]用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意自然數(shù)，

錯(cuò)解：證明：假設(shè)當(dāng)（N）時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式成立．可知等式對(duì)任意N成立．錯(cuò)因在于推理不嚴(yán)密，沒(méi)有證明當(dāng)?shù)那闆r．正解：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左式，右式，所以等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式成立．由（1）、（2），可知等式對(duì)任意N成立．[例3]是否存在自然數(shù)，使得對(duì)任意自然數(shù)，都能被整除，若存在，求出的最大值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．分析本題是開(kāi)放性題型，先求出，，…再歸納、猜想、證明．解：，，，……猜想，能被36整除，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，，能被36整除．（2）假設(shè)當(dāng)，（N）時(shí)，能被36整除．那么，當(dāng)時(shí)，

由歸納假設(shè)，能被36整除，當(dāng)為自然數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則能被36整除．∴能被36整除，這就是說(shuō)當(dāng)時(shí)命題成立．由（1）、（2）對(duì)任意，都能被36整除．當(dāng)取大于36的自然數(shù)時(shí)，不能被整除，所以36為最大．[例4]設(shè)點(diǎn)是曲線C：與直線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交曲線C于，再過(guò)點(diǎn)作的垂線作交X軸于，如此繼續(xù)下去可得到一系列的點(diǎn)，，…，，…如圖，試求的橫坐標(biāo)的通項(xiàng)公式．分析本題并沒(méi)有指明求通項(xiàng)公式的方法，可用歸納——猜想——證明的方法，也可以通過(guò)尋求與的遞推關(guān)系式求的通項(xiàng)公式．解：解法一與（，）聯(lián)立，解得直線的方程為，令，得，所以點(diǎn)直線的方程為與聯(lián)立，消元得（），解得，所以點(diǎn)（，）．直線的方程為，令，得，所以點(diǎn)同樣可求得點(diǎn)（，0）……由此推測(cè)（，0），即用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），即，所以命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，0），則當(dāng)時(shí)，由于直線的方程為，把它與（，）聯(lián)立，消去可得（），∴于是即點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．∴直線的方程為令得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）∴當(dāng)時(shí)，命題成立．解法二設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），建立與的遞推關(guān)系，即，由數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差可求得（），．用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的幾何命題，由k過(guò)渡到k＋1常利用幾何圖形來(lái)分析圖形前后演變情況．[例5]有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成f(n)＝n2-n＋2個(gè)部分．證明①當(dāng)n＝1時(shí)，即一個(gè)圓把平面分成二個(gè)部分f(1)=2又n＝1時(shí)，n2-n＋2＝2，∴命題成立②假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2-k＋2個(gè)部分，那么設(shè)第k＋1個(gè)圓記⊙O，由題意，它與k個(gè)圓中每個(gè)圓交于兩點(diǎn)，又無(wú)三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其它k個(gè)圓相交于2k個(gè)點(diǎn)．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2即n＝k＋1時(shí)命題成立．由①②可知對(duì)任何n∈N命題均成立．說(shuō)明:

本題如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件，其關(guān)鍵是分析k增加“1”時(shí)，研究第k＋1個(gè)圓與其它k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．[例6]已知n≥2，n∈N②假設(shè)n=k時(shí)，原不等式成立．由①②可知，對(duì)任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）=(N)”，當(dāng)=1時(shí)，左邊應(yīng)為_(kāi)___________.2.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則{}的前四項(xiàng)依次為_(kāi)______,猜想=__________.3.已知數(shù)列證明.4.已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足證明.5.自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響.用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因