25等比數(shù)列前n項(xiàng)和

本文格式為Word版，下載可任意編輯——25等比數(shù)列前n項(xiàng)和回想舊知1.等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：an?a1qn?1注意：當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{an}為常數(shù)列.

2.求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法：觀測(cè)歸納法、迭加和迭乘法、構(gòu)造法、公式法.

3.回想一下解等比數(shù)列題的一些技巧與方法.

新課導(dǎo)入國(guó)際象棋起源于古印度，關(guān)于國(guó)際象棋還有一個(gè)傳聞。國(guó)王獎(jiǎng)賞發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，他答道：“在棋盤第一個(gè)格放1顆麥粒，在其次個(gè)格放2顆麥粒，在第三個(gè)格放4顆麥粒，在第四個(gè)格放8顆麥粒。以此類推，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子的2倍，直到64個(gè)格子。國(guó)王覺(jué)得這太簡(jiǎn)單了，就欣然允許了他的要求，你認(rèn)為國(guó)王能滿足他的要求嗎？

經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們得到麥粒總數(shù)是

631+2+4+8+…+2=18446744073709551615（粒）

已知麥子每千粒約為40克，則折合約為

737869762948382064克≈7378.7億噸.

那么這是怎么計(jì)算的呢？其實(shí)是一個(gè)比較大小的問(wèn)題，則實(shí)質(zhì)上是求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題.

2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和

教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力

（1）把握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

（2）把握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程.（3）會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

過(guò)程與方法

（1）通過(guò)對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程,滲透錯(cuò)位相減求和的數(shù)學(xué)方法.

（2）通過(guò)公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想.（3）培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)、比較、抽象、概括等規(guī)律思維能力和逆向思維的能力.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）學(xué)習(xí)興趣比較濃,表現(xiàn)欲較強(qiáng),但合作交流的意識(shí)等方面尚有待加強(qiáng).

（2）培養(yǎng)學(xué)生勇于摸索、敢于創(chuàng)新的精神，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn).（3）感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡(jiǎn)單美.

教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：

難點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，有關(guān)等比數(shù)列問(wèn)題求解的基本方法.n項(xiàng)和公式的其他形式.

獲得遞推公式的思路，等比數(shù)列

前探討問(wèn)題發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)是：S64

2363=1+2+2+2+…+2

①

上式有何特點(diǎn)？

假使①式兩端同時(shí)乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264

②

比較①、②兩式，有什么關(guān)系呢？

S64=1+2+22+23+…+2632S64=2+22+23+…+263+264

①②

兩式上下相對(duì)的項(xiàng)完全一致，把兩式相減，就可以消去一致的項(xiàng)，則②－①得：

S64=264-1=18446744073709551615

設(shè)問(wèn)：縱觀全過(guò)程，①式兩邊為什么要乘以2呢？

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)

設(shè)等比數(shù)列?an?，首項(xiàng)為a1,公比為q如何求前n項(xiàng)和Sn？

在等比數(shù)列{an}中首先要考慮兩種狀況：

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

=a1+a1+a1+……+a1+a1共n個(gè)a1=na1當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？

分析：

S1=a1

S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)

S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)

S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①-②得：

Sn(1—q)=a1—a1q

nan當(dāng)q≠1時(shí)，s1(1?q)n?1?q則等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式為

na1

Sn=

a1(1?q)1?qnq=1

q≠1

1.注意q=1與q≠1兩種狀況.

a1(1?q)a1?anq2.q≠1時(shí)，sn??1?q1?qn通過(guò)上面的講解，對(duì)于等差數(shù)列的相關(guān)量a1、d、n、an、sn，一般確定幾個(gè)量就可以確定其他量？

a1、d、na1、d、ana1、an、na1、an、snan、d、nan、sn、n

an、snn、snd、snd、na1、sna1、d

例11等比數(shù)列{an}的公比q=，a8=1，求它的

2前8項(xiàng)和S8.解法1：由于a8=a1因此

q7，所以a71a87?7?2q182[1?()]8a1(1?q)82s8???2?1?25511?q1?2解法2：把原數(shù)列的第8項(xiàng)當(dāng)作第一項(xiàng)，第1項(xiàng)

8項(xiàng)，

即順序顛倒，也得到一個(gè)等比數(shù)列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8項(xiàng)和

b88s1(1?q)1?28?1?q?1?2?255當(dāng)作第例2求和

9?99?999???999??????99n9個(gè)9，99，999，??，不是等比數(shù)列，不但將它轉(zhuǎn)化為

10－1，100－1，1000－1，??，就可以解決了。

分析：數(shù)列能直接用公式求和，

解：

原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+?+(10n－1)

=(10+100+1000+??+10n)－n10(10?1)??n10?1n10n?(10?1)?n9例3已知數(shù)列{an}的前五項(xiàng)是

111111,2,3,4,5.392781243（1）寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（2）求該數(shù)列的前n項(xiàng)和sn分析：此數(shù)列的特征是{an?bn}兩部分構(gòu)成，其中

{an}是整數(shù)部分，又是等差數(shù)列，{bn}是分?jǐn)?shù)部分，

又是等比數(shù)列.所以此數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列

和等比數(shù)列，所以此方法稱為“分組法求和〞

1解：（1）an?n?n，

（2）

3s13(2?111n?(1?)?32)?(3?33)?...(n?3n)?(1?2?3?...?n)?(13?11132?33?...3n)n(n?1)1?(1?3n?)2?1?3?n(n?1)3n?12?2?n(n?1)?3n?12例4某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元，月平均

增長(zhǎng)率為p(p>0)，求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和。

解：該工廠去年2月份的產(chǎn)值為a(1+p)元，

3月，4月，??，的產(chǎn)值分別為a(1+p)2

元，a(1+p)3元，??，

所以12個(gè)月的產(chǎn)值組成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為a，公比為1+p，

a[1?(1?p)]S12?12答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為

1?(1?p)a[(1?p)12??1]pa[(1?p)12?1]元。

p例51234nSn???????n.求和：

248162分析：

n11??a??n???n設(shè)n2n，其中為等差數(shù)列，n?n?2?2?1為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.

21兩端同乘以，得

211111解：Sn?1??2?2?3?3?4?4???n?n22222，

1111111Sn?1?2?2?3?3?4?4?5???(n?1)?n?n?n?12222222兩式相減得于是Sn?2?111111nSn??2?3?4???n?n?1,222222212n?1n?n2.

解：（1）當(dāng)把x軸上的區(qū)間[0,3]分成n等份時(shí)，各等

33份的長(zhǎng)都是n，即各矩形的底都是n.顯然分點(diǎn)的

33?23?(n?1),,...,，從各分點(diǎn)作y軸的平nnn橫坐標(biāo)分別是

行線與y=9-x2的圖象相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別

323?223?(n?1)2是9?(),9?(),...,9?[]，它們分別是相應(yīng)矩形的

nnn3233?223[9?()]?,[9?()]?,...,nnnn高.這樣，各矩形的面積分別是

3?(n?1)23{9?[]}?.nn所以，程序中的AN表示第k個(gè)

矩形的面積，SUM表示前k個(gè)矩形面積的和.

（2）根據(jù)程序，當(dāng)n=6時(shí)，5個(gè)矩形的面積的和就是輸入N=6時(shí)，SUM的最終一個(gè)輸出值，即SUM=15.736（這里確切到小數(shù)點(diǎn)后3位）.

當(dāng)n=11時(shí)，10個(gè)矩形的面積的和就是輸入N=11時(shí)，SUM的最終一個(gè)輸出值，即SUM=16.736.

當(dāng)n=16時(shí)，我們得到15個(gè)矩形的面積的和SUM=17.139.

思考與余味

“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭〞，怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)說(shuō)明它？

解：這句古語(yǔ)用現(xiàn)代文表達(dá)是：

一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完.

11得到一個(gè)首項(xiàng)為a1=，公比q=的等比數(shù)列，22假使每天取出的木棒的長(zhǎng)度排成一個(gè)數(shù)列，則

它的前n項(xiàng)和為

1?[1?(1nsn?22)]?1?(1)n1?122不管n取何值