2023年高考數(shù)學(xué)備考6套壓軸題（含詳細(xì)答案）

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1.（本小題總分值12分）

已知a?R，函數(shù)f(x)?ax?lnx?1，g(x)??lnx?1?e?xx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間?0,e?上的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)x0??0,e?，使曲線y?g(x)在點(diǎn)x?x0處的切線與y軸垂直?若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由．解（1）：∵f(x)?ax?lnx?1，∴f?(x)??ax2?1x?x?ax2．

令f?(x)?0，得x?a．

①若a?0，則f?(x)?0，f?x?在區(qū)間?0,e?上單調(diào)遞增.

②若0?a?e，當(dāng)x??0,a?時(shí)，f?(x)?0，函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,a?上單調(diào)遞減，當(dāng)x??a,e?時(shí)，f?(x)?0，函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,e?上單調(diào)遞增，③若a?e，則f?(x)?0，函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,e?上單調(diào)遞減.……6分（2）解：

∵g(x)??lnx?1?e?x，x??0,e?，

xg?(x)??lnx?1??e??lnx?1??exx???1?e?1?xx??lnx?1?e?1???lnx?1?e?1x?x?

x由（1）可知，當(dāng)a?1時(shí)，f(x)?1x?lnx?1．

1x此時(shí)f(x)在區(qū)間?0,e?上的最小值為ln1?0，即當(dāng)x0??0,e?，ex0?lnx?1?0．

?0，

1x0?lnx0?1?0，

?1?x0?g(x)??lnx?1∴??e?1?1?0．00?x0?曲線y?g(x)在點(diǎn)x?x0處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g?(x0)?0有實(shí)數(shù)解．而g??x0??0，即方程g?(x0)?0無實(shí)數(shù)解．

故不存在x0??0,e?，使曲線y?g(x)在x?x0處的切線與y軸垂直……12分

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2．（本小題總分值12分）

已知線段CD?23，CD的中點(diǎn)為O，動(dòng)點(diǎn)A滿足AC?AD?2a（a為正常數(shù)）．（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程；

（2）若a?2，動(dòng)點(diǎn)B滿足BC?BD?4，且OA?OB，試求?AOB面積的最大值和最小值．解（1）以O(shè)為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

若AC?AD?2a?23，即0?a?3，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線不存在；

若AC?AD?2a?23，即a?3，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程為y?0(?3?x?若AC?AD?2a?23，即a?3，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程為(2)當(dāng)a?2時(shí)，其曲線方程為橢圓

由條件知A,B兩點(diǎn)均在橢圓

xx23)；

xa22?y22a?3?1.……4分

42?y?1.

24?y?1上，且OA?OB

2設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA的斜率為k(k?0)，則OA的方程為y?kx，OB的方程為y???y?kx?解方程組?x22?y?1??41kx

得x?2141?4k2，y?4k22214k221?4k

4k?42同理可求得x?22k?4，y22?2

(1?k)222

?AOB面積S?121?kx11?1k2x2=2(1?4k)(k?4)2………………8分

令1?k2?t(t?1)則

S?2t224t?9t?9?2?19t2?9t?4令g(t)??9t2?911225?4??9(?)?(t?1)tt24

所以4?g(t)?254，即

45?S?1

45當(dāng)k?0時(shí)，可求得S?1,故?S?1，

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故S的最小值為

45，最大值為1.……12分

（2）另解：令A(yù)(r1cos?,r1sin?),B(?r2sin?,r2cos?)，則

?12222rcos??rsin??111??4,?1?r2sin2??r2cos2??122??444?2r??1222??cos??4sin?1?3sin?解得?

44?r2??2222?sin??4cos?1?3cos??所以r1r2?因此S?

122164?9sin?cos?22?6416?9sin2?2，而sin2???0,1?

24?4?r1r2??,1?，即最大值是1，最小值是.

52?5?3．（本小題總分值12分）

函數(shù)f(x)?y?f?1x1?x(0?x?1)的反函數(shù)為f?1(x)，數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1?12，an?1?f?1(an)，函數(shù)

(x)的圖象在點(diǎn)n,f??1(n)?(n?N)處的切線在y軸上的截距為bn.

?（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bnan2??an}的項(xiàng)中僅

b5a52??a522最小,求?的取值范圍；

12（3）令函數(shù)g(x)?[f?1(x)?f(x)]?21?x1?x2,0?x?1.數(shù)列{xn}滿足:x1?,0?xn?1且xn?1?g(xn)，(其

中n?N?。證明：

x1?x(x1?x2)x1x2?(x2?x3)x2x3y;

?…?(xn?1?xn)xnxn?12?2?18

解：(1)令y?,解得x?1?y由0?x?1,解得y?0.∴函數(shù)f(x)的反函數(shù)f?1?1(x)?x1?x(x?0).

則an?1?f(an)?an1?an,

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得

1an?11an?1?1an?1.

1n?1?{}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故an?x1?x'.…………3分

(2)?f(x)?(x?0),

?[f?1(x)]?1(1?x)2,

nn?11(1?n)2?y?f?1(x)在點(diǎn)(n,f?1(n))處的切線方程為y??(x?n),

令x?0得bn?bnan2n22(1?n).

?2)???2???an?n??(n?1)?(n?2?24.

?僅當(dāng)n?5時(shí)取得最小值，?4.5??2?5.5.

∴?的取值范圍為(9,11).………6分(3)g(x)?[f?[x1?x??1(x)?f(x)]?x]?1?x1?x221?x1?x22

,x?(0,1).,

1?x??x1?x22所以xn?1?xn?xn(1?xn)?1?xnxn?1又因0?xn?1,則xn?1?xn.顯然1?xn?1?xn??x2?xn?1?xn?xn(1?xn)?12.…………8分

1?xnxn?12?14?xn?1?12xn?1?2?1422?2?1?2?18

(xn?1?xn)2?111(?)8xnxn?1?(xn?1?xn)xnxn?12?1xnxn?1?xnxnxn?1?1xn?1)??(xn?1?xn)(

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?(x1?x2)x1x22?18[(2?1x1(x2?x3)x2x31x2)?(2?…?1x3(xn?1?xn)xnxn?11xn2??1x2?)?…?(?1xn?1)]

?122?111(?)?8x1xn?1?xn?1?1,?1?2?181xn?1(2?1xn?1)…10分

??2,

?0?2?1xn?12?1(x2?x3)x2x312?(x1?x2)x1x22?18??…?2?18(xn?1?xn)xnxn?12

?(2?xn?1)?12分

2023年備考最新6套數(shù)學(xué)壓軸題之二

1.（本小題總分值12分）已知f(x)=ax?lnx，x?（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a?R.

（Ⅰ）當(dāng)a?1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解：（1）a?1時(shí)，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?1x?x?1x??1分

/由f(x)?0得0?x?1，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(0,1)

/由f(x)?0得1?x?e，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間（1，e）??3分

∴f(x)的微小值為f(1)?1??4分

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)?ax?lnx（x?(0,e]）有最小值3，f(x)?a?/1x4e?ax?1x??5分

①當(dāng)a?0時(shí)，f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減，f(x)min?f(e)?ae?1?3，a?所以，此時(shí)f(x)無最小值.??7分

（舍去），

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②當(dāng)0?1a?e時(shí)，f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,e]上單調(diào)遞增

12f(x)min?f()?1?lna?3，a?e，滿足條件.??9分

a③當(dāng)

1a?e時(shí)，f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減，f(x)min?f(e)?ae?1?3，a?4e（舍去），

所以，此時(shí)f(x)無最小值.??11分

綜上所述，存在實(shí)數(shù)a?e2，使得當(dāng)x?(0,e]時(shí)f(x)有最小值3。??12分

2（本小題總分值12分）

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓ya22?xb22?1(a?b?0)上的兩點(diǎn)，已知向量m?(x1y1xy,),n?(2,2),若babam?n?0且橢圓的離心率e=

（Ⅰ）求橢圓的方程；

3,短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).2

（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？假使是，請給予證明；假使不是，請說明理由解：2b?2.b?1,e??a

ca?ba22?32?a?2,c?3橢圓的方程為y24?x2?14分

(2)①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x1?x2,y1??y2,由m?n?0x1?2y142?0?y1?4x1????5分

4x14222又A(x1,y1)在橢圓上，所以x?s?12x1y1?y2?1221?1?x1?22,y1?2

x12y1?1

所以三角形的面積為定值.??6分

②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b

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??y?kx?b?y2?(k2?4)x2?2kbx?b2?4?0得到x?2kb1?x2???4?x2?1k2?42x1xb?42??n?0k2?4，?=(2kb)2?4(k2+4)(b2?4)>0?????8分而m,

x?y1y2?0?x(kx1?b)(kx2?b)1x241x2?4?0代入整理得:

2b2?k2?4?????10分

2

2

2S=1|b|21+k2|AB|=12|b|(x2|b|4k?4b+164b1+x2)?4x1x2

=2(k2+4)=2|b|=1綜上三角形的面積為定值1.??…12分

3．（本小題總分值12分）

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn?a(Sn?an?1)（a為常數(shù)，a?0,a?1

（Ⅰ）求?an?的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)b2n?an?Sn?an，若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求a的值；

（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，

c1n=a-1.n+1a，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tnn+1-1解：（Ⅰ）S1?a(S1?a1?1)∴a1?a,……….1分

當(dāng)n?2時(shí)，Sn?a(Sn?an?1)

Sn?1?a(Sn?1?an?1?1)

兩式相減得：an?a?aann?1，

a?a

n?1(a≠0，n≥2)即{an}是等比數(shù)列．∴an?a?an?1?an；?4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1

nbn?(an)2?a(a?1)a?1an,

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求證：

Tn?2n?12．

nba?1)a2?aann?(2，

a?1若{b2n}為等比數(shù)列，則有b2?b1b3,而

b21?2a，

b32?a(2a?1)，

b423?a(2a?a?1)??6分

故[a3(2a?1)]2?2a2?a3(2a?1)，解得a?12，????????7分

再將a?12代入得b1nn?()成立，所以a?122．????8分

（III）證明：由（Ⅱ）知b1nn?(2)，

nn?1所以c111n??2(1?)n2n?1?22n?1?1?2?12n?1?2n?1?12?1(1)n?12?1所以cn?2?12n?12n?1

Tn?c1?c2???cn

?(2?1?1122)2?(2?22?123)???(2?12n?12n?1)科?2n?1112?2n?1?2n?2???12分

2023年備考最新6套數(shù)學(xué)壓軸題之三

1．(本小題總分值13分)

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)?3x2?3ax，f(0)?b．a(chǎn)，b為實(shí)數(shù)，1?a?2．

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10分

?（1）若f(x)在區(qū)間[?1，1]上的最小值、最大值分別為?2、1，求a、b的值；（2）在(1)的條件下，求曲線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程；

（3）設(shè)函數(shù)F(x)?[f'(x)?6x?1]?e2x，試判斷函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：(1)由已知得，f(x)?x3?322ax?b，由f?(x)?0，得x1?0，x2?a．

∵x?[?1,1]，1?a?2，

∴當(dāng)x?[?1,0)時(shí)，f?(x)?0，f(x)遞增；當(dāng)x?(0,1]時(shí)，f?(x)?0，f(x)遞減．∴f(x)在區(qū)間[?1,1]上的最大值為f(0)?b，∴b?1．又f(1)?1?32a?1?2?32a，

f(?1)??1?32a?1??32a，

∴f(?1)?f(1)．由題意得f(?1)??2，即?32a??2，得a?43．故a?43，b?1為所求．

(2)由(1)得f(x)?x3?2x2?1，f?(x)?3x2?4x，點(diǎn)P(2,1)在曲線f(x)上．

當(dāng)切點(diǎn)為P(2,1)時(shí)，切線l的斜率k?f?(x)|x?2?4，∴l(xiāng)的方程為y?1?4(x?2)，即4x?y?7?0．(3)

F(x)?(3x?3ax?6x?1)?eF?(x)??6x?3(a?2)??e222x2?2x???3x?3(a?2)x?1??e2??e2x?2?3x?3(a?2)x?1??

2x2x?[6x?6(a?3)x?8?3a]?e2

二次函數(shù)y?6x?6(a?3)x?8?3a的判別式為

222??0，得：??36(a?3)?24(8?3a)?12(3a?12a?11)?12?3(a?2)?1???令

(a?2)?213,2?33?a?2?33.令??0，得a?2?33,或a?2?33.

∵e2x?0，1?a?2，

33?a?2時(shí)，F(xiàn)?(x)?0，函數(shù)F(x)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

∴當(dāng)2－第9頁共25頁

當(dāng)1?a?2?33時(shí)，此時(shí)方程F?(x)?0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知

函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

2(本小題總分值12分)

設(shè)F是橢圓C：

xa22?yb22?1(a?b?0)的左焦點(diǎn)，直線l為其左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于點(diǎn)P，線段

MN為橢圓的長軸，已知|MN|?8，且|PM|?2|MF|．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A、B求證：∠AFM=∠BFN；（3）求三角形ABF面積的最大值．解：(1)∵|MN|?8∴a=4

又∵|PM|=2|MF|得

12?a?2(a?c)即2e?或e?1(舍去)23e?1?0?e?a123?|PM|?2|MF|得c?或e?1(舍去)又?a?2(a?c)即22e?3e?1?0?c2?c?2b?a?c?12x2a2222

?1?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16?y212

(2)當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然?AFM??BFN?0.滿足題意

當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，AB方程為x?my?8,代入橢圓方程整理得(3m?4)y?48my?144?0則??(48m)?4?144(3my1x1?2y2x2?22222?4),y1?y2?48m3m?2?4y1?y2?1443m2?4

?kAF?kBF???y1my1?6?y2my2?62my1y2?6(y1?y2)(my1?6)(my2?6)?0

?kAF?kBF?0,從而?AFM??BFN.綜上可知：恒有?AFM12??BFN

72m?43m?422(3)S?ABF?S?PBF?S?PAF?|PF|?|y2?y1|?

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?722m?423(m?4)?16?2723m?4?16m?42?7223?16?33

當(dāng)且僅當(dāng)3m2?4?16m?42即m2?283（此時(shí)適合△＞0的條件）取得等號.

∴三角形ABF面積的最大值是33

3.本小題總分值12分)

古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們曾經(jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題〞的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（n?N*）個(gè)圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在

A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤換到C柱上，

要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允

許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現(xiàn)用an表示將n個(gè)圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回復(fù)以下問題：（1）寫出a1，a2，a3，并求出an；（2）記bn?an?1，求和Sn??bibj（i，j?N*）；（其中

?1?i?j?nbibj表示所有的積

1?i?j?nbibj(1?i?j?n)的和）

17?S1S2?S1?S3S2?S4???S1?S3?S2n?1S2?S4?S2n?421(n?N*)．

（3）證明：

解：(1)a1?1，a2?3，a3?7

事實(shí)上，要將n個(gè)圓盤全部轉(zhuǎn)移到C柱上，只需先將上面n?1個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到B柱上，需要an?1次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將B柱上的n?1個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要an?1n次轉(zhuǎn)移，所以有an?2an?1?1則an?1?2(an?1?1)?an?1?2，

n所以an?2?1

(2)bn?an?1?2則

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nSn??1?i?j?nbibj?12[(b1?b2???bn)?(b1?b2???bn)]

2222?1212[(2?2???2)?(2?2?2???2n?122n22462n)]?[(2?2)?43(4?1)]?n43(2?1)(2nn?1?1)

(3)令cn?S1?S3???S2n?1S2?S4???S2n，則當(dāng)n?2時(shí)

cn?S1?S3?S2n?1S2?S4?S2n2?121412n?11(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)?????23452n2n?1(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)12342n?12n??11?122n?1?1?14?2112n?1

??2172n?1?14?1?14cn?1?()4n?1c1

又c1?2?13??421，所以對一切n?N*有：

S1S2?S1?S3S2?S4???S1?S3???S2n?1S2?S4???S2n

?c1?c2?c3???cn?c1?1121n?1c1?()c1???()c14441n1?()4414n4)??c1(??()?121214211?4另方面cn?0恒成立，所以對一切n?N*有

S1S2?S1?S3S2?S4???S1?S3???S2n?1S2?S4???S2n17

?c1?c2?c3???cn?c1?綜上所述有：

17?S1S2?S1?S3S2?S4???S1?S3???S2n?1S2?S4???S2n?421(n?N*)

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2023年備考最新6套數(shù)學(xué)壓軸題之四

1.（小題總分值12分)

已知函數(shù)f(x)=

1a?xx21???lnx?a?R,x?[,2]?

2??(1)當(dāng)a?[?2,)時(shí),求f(x)的最大值;

4(2)設(shè)g(x)?[f(x)?lnx]?x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k?1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由．

(2)存在a?(??,]符合條件

47

解:由于g(x)?[f(x)?lnx]?x2=ax?x3

不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2)，其中x1?x2則k?y1?y2x1?x22?a(x1?x2)?(x2?x1)x1?x2233

?a?(x1?x1x2?x2)22由k?1知:a?1+(x1?x1x2?x2)

又

14?x2?4故a?274

第13頁共25頁

故存在a?(??,)符合條件．?12分

47解法二:

據(jù)題意在y?g(x)圖象上總可以在找一點(diǎn)P(x0,y0)使以P為切點(diǎn)的切線平行圖象上任意兩點(diǎn)的連

線,即存在k?g(x1)?g(x2)x1?x22?g'(x0)?a?3x0?1

72?a?1?3x0?74故存在a?(??,)符合條件．

4

2.小題總分值13分）

1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB與y軸交于點(diǎn)F(0,)，直線AB的斜率為k，且滿足

2|AF|?|BF|1+k．

2（1）證明：對任意的實(shí)數(shù)k，一定存在以y軸為對稱軸且經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線C，并求出拋物線C的方程；

（2）對（1）中的拋物線C，若直線l:y?x?m(m?0)與其交于M、N兩點(diǎn)，求∠MON的取值范圍．解：（1）由已知設(shè)lAB:y?kx?12①

又設(shè)拋物線C:x2?ay(a?0)②

2由①②得x?akx?a2?0

a2設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB)，則xA?xB??由弦長公式得|AF|?|BF|?1?k1?k2

|xA?0|?|xB?0|?21?k1?k2|xA|

|xB|

222|AF|?|BF|?(1?k)|xA?xB|?(1?k)|a2|?(1?k)2a2

22而|AF|?|BF|?1?k，所以a?2，即拋物線方程為C:x?2y???6分

（2）設(shè)M(xM,yM),N(xN,yN)?y?x?m2?x?2x?2m?0由?2，

?x?2y而??4?8m?0(m?0)

第14頁共25頁

則xM?xN?2，xM?xN??2m，

kOM?1?mxM，kON?1?mxN???7分

不妨設(shè)xM?xN，由于m?0，則xM?0?xN令?MON????2，則ON到OM的角為?，且滿足

21?2mm?2t?122tan??kOM?kON1?kOM?kON?(m?2)

5

令t?1?2m，則m?，t?1且t?∴tan??4tt?52?t?4?5t

函數(shù)y?x與y?∴t?4t??5t5t?5x在(0,??)上皆為增函數(shù)

?(?4,0)?(0,??)

?(??,?1)?(0,??)

則??(0,?2)?(?3?2,4)，

又m?2時(shí)，?MON????MON?(0,3?4)?2

???13分

3.小題總分值14分)

n?1設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn?2an?2(n∈N*).

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn?logann?12，數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和為Bn，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N*且n≥2，都有

第15頁共25頁

B3n?Bn?m20成立，求m的最大值；

（3）令cn?(?1)n?1logann?12，數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和為Tn，求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，T2n?22.

解（1）由Sn?2an?2n?1，得Sn?1?2an?1?2n(n≥2).

兩式相減，得an?2an?2an?1?2n，即an?2an?1?2n(n≥2).于是

an2n?an?12n?1?1，所以數(shù)列{an2n}是公差為1的等差數(shù)列

又S1?2a1?22，所以a1?4.所以

an2n?2?(n?1?)n?，故1an?(n?1)?2.?????4分

n（2）由于bn?log1ann?12?log2n2?1n?21n?31n1，則B3n?Bn?1n?1?1n?2???13n.

令f(n)?n?11n?2????13n3n?1，則

113n?213n?313n?31n?1

f(n?1)?????13n?1???.

所以f(n?1)?f(n)?3n?1?3n?2???13n?113n?3??13n?213n?3??23n?323n?3?0.

即f(n?1)?f(n)，所以數(shù)列?f(n)?為遞增數(shù)列.所以當(dāng)n≥2時(shí)，f(n)的最小值為f(2)?據(jù)題意，

m20?192023?14?15?16?1920.

，即m?19.

又m為整數(shù)，故m的最大值為18.????8分（3）由于cn?(?1)T2n?1?1n?1n?1?1n，則當(dāng)n≥2時(shí)，

12n?1?12n?(1?12?13???12n)?2(12?14???)2n112??131?14???1?n?2???2n.

第16頁共25頁

下面證方法一：

1n?1?1n?2???12n?22先證一個(gè)不等式，當(dāng)x?0時(shí)，ln(x?1)?令g(x)?ln(x?1)?xx?1xx?1

1(x?1)2(x?0)，則g'(x)?1x?1??x(x?1)2?0，

∴g(x)在(0,??)時(shí)單調(diào)遞增，g(x)?g(0)?0，即當(dāng)x?0時(shí)，ln(x?1)?1nn?1n1n?11n?3xx?1

1n?1令x?，ln??ln(n?1)?lnn?，ln(n?2)?ln(n?1)?1n?2，

ln(n?3)?ln(n?2)?，??，ln(2n)?ln(2n?1)?1

2n以上n個(gè)式相加，即有l(wèi)n(2n)?lnn?11n?212n221n?1?1n?2???12n

∴n?1??????14分

?ln(2n)?lnn?ln2?方法二：

先用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)加強(qiáng)不等式

11①n?2時(shí)，??3422191n?1?1n?2???12n?22?14n?1。

?成立，故n?2時(shí)不等式成立。

1k?212k2214k?1②假設(shè)n?k時(shí)成立，即

1k?22222?1k?1??????

1則當(dāng)n?k?1時(shí)，???112k?12k?12k?212k?11??1?122?14k?12k?12k?2k?1?1?1?

??4k?11???2k?2?，

2214k?5

下面用分析法證12k?24k?12k?1?1即證2k?1??12k?4?21?k4?1k?4?(2k?112)(2k?1552[(4k?1)(4k?5))第17頁共25頁

即證

1(2k?1)(2k?2)?(2k?112)(2k?5252，

)故即證(2k?1)(2k?2)?(2k?12)(2k?54)

即證4k2?6k?2?4k2?6k?上式顯然成立。

（可以從n?k到n?k?1時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)

1k?1?1k?2???12k?22?1g(n)中的g(n)的值，此種

方法對于常數(shù)型的關(guān)于正整數(shù)的不等式的證明很湊效）方法三：

又據(jù)柯西不等式，有

1n?1?]?1n?21???12n1?(1?1???1)[12221(n?1)]?2?1(n?2)1n?12n2???221(2n)2]n[n(n?1)?(n?1)(n?2)???(2n?1)(2n)n()?

2023年備考最新6套數(shù)學(xué)壓軸題之五

1.(分12分）

22各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a1?1,an?1?an?2.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明

1a12?1a22???1an?2n?1對一切n?N恒成立.

?

解：（Ⅰ）∵an?1?an?2，∴{an}為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，………2分

2∴an?1?(n?1)?2?2n?1，又an?0，則an?22n?1.…………5分

第18頁共25頁

（Ⅱ）只需證：1?13???12n?1?2n?1.

①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，所以命題成立.

當(dāng)n=2時(shí)，左邊可得m2?1，即m?1或m??1．

2222當(dāng)m?1時(shí)，P(?，1)，直線l方程為y?2x?1；

當(dāng)m??1時(shí)，P(

3（本小題總分值12分）

，?1)，直線l方程為y?2x?1．……12分

已知函數(shù)f(x)?lnx?mx?m,m?R.（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

（Ⅱ）若f(x)?0在x?(0,??)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，任意的0解：（Ⅰ）f(x)?/1x?m?1?mxx,(x?(0,??))

當(dāng)m?0時(shí)，f/(x)?0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0,??)上單調(diào)遞增；………2分

/當(dāng)m?0時(shí)，由f(x)?1x?m?1m1?mxx?0

1m,??)上單調(diào)遞減.……4分

則x?(0,1m)，則f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，在(（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)m?0時(shí)顯然不成立；當(dāng)m?0時(shí)，f(x)max?f(令g(x)?x?lnx?1,則g(x)?1?/1m)?ln1m?1?m?m?lnm?1只需m?lnm?1?0即……….6分

1x，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,??)上單調(diào)遞增.

則若f(x)?0在x?(0,??)上恒成立，m=1.…………8分

?g(x)min?g(1)?0(Ⅲ）

f(b)?f(a)b?a?lnb?lna?a?bb?aln?1?,

ba?1?1a?lnb?lnab?aba?1第21頁共25頁

由0?a?b得

ba?1,ba?ba?1,則

由（Ⅱ）得：lnlnba?1?1?1?1?1?aaaa2ba??1,

1?aa(1?a)?1a(1?a)?1a(1?a)則原不等式

f(b)?f(a)b?a成立.……………12分

2023年備考最新6套數(shù)學(xué)壓軸題之六

1.A﹑B﹑C是直線l上的三點(diǎn)，向量OA﹑OB﹑OC滿足：OA-[y+2f?(1)]·OB+ln(x+1)·OC=0；

（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；（Ⅱ）若x＞0,證明f(x)＞（Ⅲ）當(dāng)

12x22xx?2；

?f(x)?m22?2bm?3時(shí),x???1,1?及b???1,1?都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解I）由三點(diǎn)共線知識，

??∵OA?[y?2f(1)]OB?ln(x?1)]?OC?0,∴OA?[y?2f(1)]OB?ln(x?1)]?OC,

?∵A﹑B﹑C三點(diǎn)共線，∴[y?2f(1)]?[?ln(x?1)]?1?∴y?f(x)?ln(x?1)?1?2f(1).

∴

f?(x)?1x?1∴

f?(1)?12，

∴f(x)=ln(x+1)??????4分

2x(Ⅱ)令g(x)=f(x)－x?2,由

g?(x)?g?(x)?0，∵x>0∴(x?1)(x?2)2x22x∴g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),故g(x)>g(0)=0,即f(x)>x?2;???8分

第22頁共25頁

1（III）原不等式等價(jià)于212x?f(x)?m1222?2bm?3,令

x?x3?h(x)=2x?f(x)=2x?ln(1?x),由h(x)?1?x2,

222當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),[h(x)]max=0,∴m-2bm-3≥0,

令Q(b)=m-2bm-3，則由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3或m≥3.????12分

2,總分值12分）

設(shè)f(x)是定義在R上的減函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)?f(y)且f(0)=1,數(shù)列{an}滿足a1=4，f(log3

an?14)f(-1-log3

an4)=1(n∈N)；

*

2

2

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,試比較