2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)第2章 §33.3空間兩點間的距離公式含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修2教師用書：第2章§33.3空間兩點間的距離公式含解析3．3空間兩點間的距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會推導(dǎo)和應(yīng)用長方體對角線長公式．(重點）2.會推導(dǎo)空間兩點間的距離公式．(重點）3.能用空間兩點間的距離公式處理一些簡單的問題．（難點）1。通過推導(dǎo)長方體對角線公式及空間兩點間的距離公式提升邏輯推理素養(yǎng).2。通過用兩點間的距離公式解簡單的問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。1．長方體的對角線（1）連線長方體兩個頂點A，C′的線段AC′稱為長方體的對角線．(如圖）(2）如果長方體的長、寬、高分別為a，b,c,那么對角線長d＝eq\r(a2＋b2＋c2）。2．空間兩點間的距離公式(1）空間任意一點P（x0,y0，z0）與原點的距離|OP｜＝eq\r（x\o\al(2，0）＋y\o\al(2，0)＋z\o\al（2,0）).(2)空間兩點A(x1,y1，z1）,B（x2，y2，z2）間的距離|AB｜＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).思考：空間兩點間的距離公式與平面兩間點的距離公式的區(qū)別與聯(lián)系?提示：平面兩點間的距離公式是空間兩點間的距離公式的特例：①在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2），則｜AB｜＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)；②在x軸上的兩點A，B對應(yīng)的實數(shù)分別是x1,x2，則|AB|＝|x2－x1|。1．空間直角坐標(biāo)系中,點A（－3，4,0)和點B（2，－1,6）的距離是（)A．2eq\r（43）B．2eq\r（21)C．9D。eq\r（86)D［|AB｜＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62）＝eq\r（86）.]2．在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(1,2，a），B（2,3，4），若|AB｜＝eq\r(3），則實數(shù)a的值是（)A．3或5 B．－3或－5C．3或－5 D．－3或5A[由題意得｜AB|＝eq\r(1－22＋2－32＋a－42)＝eq\r（3)，解得a＝3或5,故選A。]3．已知點A（4,5，6），B(－5,0，10)，在z軸上有一點P,使|PA|＝｜PB｜，則點P的坐標(biāo)是________．(0,0，6)[設(shè)點P（0，0，z),則由|PA｜＝|PB|，得eq\r(0－42＋0－52＋z－62)＝eq\r(0＋52＋0－02＋z－102)，解得z＝6，即點P的坐標(biāo)是（0,0,6)．]求空間兩點間的距離【例1】已知△ABC的三個頂點A(1，5,2），B（2，3，4)，C(3，1，5）．(1)求△ABC中最短邊的邊長;(2）求AC邊上中線的長度．[解］（1）由空間兩點間距離公式得｜AB|＝eq\r（1－22＋5－32＋2－42)＝3,｜BC｜＝eq\r(2－32＋3－12＋4－52)＝eq\r(6），｜AC|＝eq\r(1－32＋5－12＋2－52）＝eq\r(29），∴△ABC中最短邊是|BC|,其長度為eq\r（6).(2)由中點坐標(biāo)公式得，AC的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，3,\f（7,2）))，∴AC邊上中線的長度為eq\r(2－22＋3－32＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（4－\f(7，2)）)2）＝eq\f(1，2).1．求空間兩點間的距離問題就是把點的坐標(biāo)代入距離公式進行計算,其中確定點的坐標(biāo)或合理設(shè)出點的坐標(biāo)是關(guān)鍵．2．若所給題目中未建立坐標(biāo)系,需結(jié)合已知條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,再利用空間兩點間的距離公式計算．eq\O(［跟進訓(xùn)練])1．如果點P在z軸上，且滿足｜PO｜＝1(O是坐標(biāo)原點）,則點P到點A（1,1，1）的距離是________．eq\r（2)或eq\r（6）［由題意得P(0，0,1）或P（0,0,－1)，所以｜PA｜＝eq\r（0－12＋0－12＋1－12)＝eq\r（2),或｜PA|＝eq\r（0－12＋0－12＋1＋12）＝eq\r(6)。］求空間點的坐標(biāo)【例2】已知A(x,5－x，2x－1），B(1，x＋2，2－x)，求|AB｜取最小值時A、B兩點的坐標(biāo)，并求此時的｜AB|。［思路探究］解答本題可由空間兩點間的距離公式建立關(guān)于x的函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求x,再確定坐標(biāo)．[解]由空間兩點的距離公式得|AB｜＝eq\r(1－x2＋[x＋2－5－x］2＋[2－x－2x－1］2）＝eq\r（14x2－32x＋19）＝eq\r(14\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（8,7）)）2＋\f(5，7）)，當(dāng)x＝eq\f(8，7)時，|AB｜有最小值eq\r(\f（5，7)）＝eq\f(\r(35),7).此時Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(8，7），\f(27，7），\f（9，7）))，Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f（22,7)，\f（6,7）））。解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標(biāo)的特征，應(yīng)用空間兩點間的距離公式建立已知與未知的關(guān)系，結(jié)合已知條件確定點的坐標(biāo)。eq\O（［跟進訓(xùn)練])2．在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(3,0，1),B(1,0，－3)．在y軸上是否存在點M,使△MAB為等邊三角形?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．［解]假設(shè)在y軸上存在點M（0,y，0)，使△MAB為等邊三角形．由題意可知y軸上的所有點都能使|MA｜＝|MB｜成立,所以只要再滿足｜MA｜＝｜AB|，就可以使△MAB為等邊三角形．因為｜MA｜＝eq\r（32＋－y2＋12)＝eq\r（10＋y2)，|AB|＝2eq\r（5).于是eq\r（10＋y2)＝2eq\r（5),解得y＝±eq\r(10)。故y軸上存在點M，使△MAB為等邊三角形，此時點M的坐標(biāo)為（0，eq\r（10），0）或(0,－eq\r(10）,0）.空間距離公式的應(yīng)用【例3】如圖，在棱長為1的正方體ABCD。A1B1C1D1中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.（1)若點P在線段BD1上，且滿足3｜BP|＝|BD1｜，試寫出點P的坐標(biāo)，并寫出P關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)；（2）在線段C1D上找一點M，使得點M到點P的距離最小，求出點M的坐標(biāo)．[思路探究]（1）借助3|BP|＝｜BD1|及平面幾何的知識求點P的坐標(biāo)，利用對稱關(guān)系求點P′的坐標(biāo)；(2）利用空間兩點間的距離公式建立點M到點P的距離的函數(shù),并用函數(shù)的思想求其最小值,及此時的點M的坐標(biāo)．［解](1）由題意知P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，3），\f（2,3)，\f(1,3)））。P關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(2，3)，\f（2,3)，－\f(1,3))）。（2）設(shè)線段C1D上一點M的坐標(biāo)為(0，m，m），則有|MP｜＝eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（2，3)）)2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（m－\f(2,3））)2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(m－\f（1,3)））2）＝eq\r(2m2－2m＋1)＝eq\r（2\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(m－\f（1,2）))2＋\f(1,2)），當(dāng)m＝eq\f(1,2)時|MP｜取到最小值，所以點M為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（1，2），\f(1,2）)).與平面直角坐標(biāo)系中類似，在空間直角坐標(biāo)系中也常常需要設(shè)點的坐標(biāo),此時,若注意利用點的特殊性，往往能使求解過程簡化，如本例2設(shè)M0，m，m便是如此。eq\O（［跟進訓(xùn)練］）3．如圖，在長方體ABCD。A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3,M，N分別是AB，B1C1的中點,點P是DM上的點,DP＝a,當(dāng)a為何值時，［解］如圖，以點D為原點,以DA，DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系．則D（0,0，0)，B1（2,2，3)，C1(0，2，3）,A(2,0，0），B(2，2,0),M（2,1，0)，N（1,2,3）,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y，0)，則x＝2y(0≤y≤1)．｜NP｜＝eq\r（x－12＋y－22＋0－32)＝eq\r(2y－12＋y－22＋0－32）＝eq\r(5y2－8y＋14）＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y－\f（4,5))）2＋\f(54,5)）,所以當(dāng)y＝eq\f(4,5）時，|NP｜取最小值eq\f（3\r(30),5），此時a＝eq\r（x2＋y2)＝eq\r（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（8,5）)）2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4，5)）)2)＝eq\f(4\r(5）,5)，所以當(dāng)a＝eq\f(4\r（5）,5)時，NP的長最小．1．學(xué)會用類比聯(lián)想的方法理解空間直角坐標(biāo)系的建系原則，切實體會空間中點的坐標(biāo)及兩點間的距離公式同平面內(nèi)點的坐標(biāo)及兩點間的距離公式的區(qū)別和聯(lián)系．2．在導(dǎo)出空間兩點間的距離公式的過程中體會轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，突出化空間為平面的解題思想．1．思考辨析(1)空間兩點間的距離公式與兩點順序有關(guān)． ()（2）點A（1，1,0）與點B(1,1，1）之間的距離是1。 ()[解析］(1)×,空間兩點間的距離公式與兩點順序無關(guān)．[答案］(1)×(2)√2．已知點A（1,－2，11),B(4,2，3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是（)A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形C［由距離公式得：|AB|＝eq\r(1－42＋－2－22＋11－32）＝eq\r（89),|AC|＝eq\r（1－62＋－2＋12＋11－42）＝eq\r（75），|BC｜＝eq\r（4－62＋2＋12＋3－42）＝eq\r(14），∴|AC｜2＋｜BC|2＝|AB|2，∴△ABC為直角三角形．］3．已知A(1,－2，1），B（2，2,2），點P在z軸上，且｜PA｜＝｜PB｜，則點P的坐標(biāo)為________．(0,0,3）[∵P在z軸上，可設(shè)P(0，0，z),由|PA｜＝｜PB｜，∴eq\r（1－02＋－2－02＋1－