高中數(shù)學中點弦問題的解題方法

第1頁共5頁高中數(shù)學中點弦問題的解題方法會澤縣茚旺高級中學楊順武解析幾何中與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。“中點弦”問題是一類很典型、很重要的問題.一、方法介紹（解圓錐曲線的中點弦問題的方法有）：第一種方法：聯(lián)立消元法即聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及參數(shù)法求解。第二種方法:點差法即設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。第三種方法：導數(shù)法即如果以圓、橢圓等圖形的中心為中心，按比例縮小圖形，則一定存在同類的圓、橢圓等與弦AB中點M相切（如下圖）。此時縮小的曲線方程如，，兩邊對求導，可發(fā)現(xiàn)并不改變原方程求導的結果。因此，利用導數(shù)法求中點弦的斜率，就是在中點處的值。二、題型示例題型一以定點為中點的弦所在直線的方程例1、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。解法一：設直線與橢圓的交點為、 為的中點又、兩點在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。法二：由題意知所求中點弦斜率一定存在，設為，則該弦方程為消去得例2.已知雙曲線方程，求以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；（2）過點B（1，1），能否作直線，使與所給雙曲線交于P、Q兩點，且點B是弦PQ的中點？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。解：對兩邊求導，得（1）以A（2，1）為中點的弦的斜率，所以所求中點弦所在直線方程為（2）以B（1，1）為中點的弦的斜率，所以所求中點弦所在直線方程為即。即，，這就是弦中點軌跡方程。它與直線的交點必須在橢圓內聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得題型四、證明定值問題例7.已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.證明 設且，則，（1），（2）得：，，.又，，（定值）.題型五、求參數(shù)的取值范圍例8.如圖，在中，，橢圓C：，以E、F為焦點且過點D，點O為坐標原點。（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若點K滿足，問是否存在不平行于EF的直線與橢圓C交于不同的兩點M、N且，若存在，求出直線的斜率的取值范圍，若不存在，說明理由。xyDEFO解：（Ⅰ）略xyDEFO（Ⅱ）分析：∵，設MN的中點為H，則，此條件涉及到弦MN的中點及弦MN的斜率，故用“點差法”設，直線的斜率為（，則①②由①－②得：又∵，則，∴，從而解得，點在橢圓內，則且作者簡介：楊順武，男，1969年2月出生，會澤待補人，中學高級教師，國家數(shù)學奧林匹克二級教練員。92年7月畢業(yè)于曲靖師范?？茖W校數(shù)學系數(shù)學專業(yè)，本科學歷，中共黨員。論文《數(shù)學復習中的糾錯策略》榮獲省級一等獎?！稊?shù)學解題中的幾種常見錯誤》榮獲省級一等獎?！秷A錐曲線中的四心》榮獲省級二等獎。以上三篇論文的授獎單位均為云南省教育科學院；《培養(yǎng)學生直覺思維能力的策略》榮獲《云南和諧教育論文》評優(yōu)競賽二等獎。《談高考數(shù)學規(guī)范化解題》榮獲《云南和諧教育論文》評優(yōu)競賽一等獎。論文《談高考數(shù)學規(guī)范化解題》發(fā)表在《云南省教育教學論文精選》一書中。論文《球的切接問題的解題方法》發(fā)表在考試指南報2013年第332期第6版上。教育教學中努力