高中數(shù)學(xué)競賽知識點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)競賽知識點(diǎn)高中數(shù)學(xué)競賽知識點(diǎn)高中數(shù)學(xué)競賽知識點(diǎn)高中數(shù)學(xué)競賽知識點(diǎn)均值不等式被稱為均值不等式。·即調(diào)解平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不高出算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)，簡記為“調(diào)幾算方”。其中：，被稱為調(diào)解平均數(shù)。，被稱為幾何平均數(shù)。，被稱為算術(shù)平均數(shù)。，被稱為平方平均數(shù)。一般形式設(shè)函數(shù)（當(dāng)r=0時），有

時，

（當(dāng)

r不等于。

0時）；能夠注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特別狀況，即。特例⑴對實(shí)數(shù)a,b，有（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號），（當(dāng)且僅當(dāng)a=-b時取“=”號）⑵對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有，即⑶對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有⑷對實(shí)數(shù)a,b，有⑸對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有⑹對實(shí)數(shù)a,b，有⑺對實(shí)數(shù)a,b,c，有⑻對非負(fù)數(shù)a,b，有⑼對非負(fù)數(shù)a,b,c，有在幾個特例中，最出名的當(dāng)屬算術(shù)—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：當(dāng)n=2時，上式即：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號建立。依照均值不等式的簡化，有一個簡單結(jié)論，即。排序不等式基本形式：排序不等式的證明要證只要證依照基本不等式只要證∴原結(jié)論正確棣莫弗定理設(shè)兩個復(fù)數(shù)（用三角形式表示），則：復(fù)數(shù)乘方公式：.圓排列定義從n個不相同元素中不重復(fù)地取出m（1≤m≤n）個元素在一個圓周上，叫做這n個不相同元素的圓排列。若是一個m-圓排列旋轉(zhuǎn)能夠獲得另一個m-圓排列，則認(rèn)為這兩個圓排列相同。計算公式n個不相同元素的m-圓排列個數(shù)N為：特別地，當(dāng)m=n時，n個不相同元素作成的圓排列總數(shù)N為：。費(fèi)馬小定理費(fèi)馬小定理(FermatTheory)是數(shù)論中的一個重要定理，其內(nèi)容為：若是p是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（modp）。即：若是a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)(即兩者只有一個合約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1。組合恒等式組合數(shù)C(k,n)的定義：從n個不相同元素中采納k個進(jìn)行組合的個數(shù)。基本的組合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（這個性質(zhì)叫組合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)++C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)++C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韋達(dá)定理逆定理若是兩數(shù)α和β知足以下關(guān)系：α+β=么這兩個數(shù)α和β是方程

，α·β=的根。

，那經(jīng)過韋達(dá)定理的逆定理，能夠利用兩數(shù)的和積關(guān)系結(jié)構(gòu)一元二次方程。[5]實(shí)行定理韋達(dá)定理不只能夠說明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，還可以實(shí)行說明一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。定理：設(shè)（i=1、2、3、n）是方程：的n個根，記

k為整數(shù)），則有：。[實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若

z=a+bi(b

≠0)是方程的一個根，則=a-bi也是一個根。無量遞降法無量遞降法是證明方程無解的一種方法。其步驟為：假定方程有解，并設(shè)X為最小的解。從X推出一個更小的解Y。進(jìn)而與X的最小性相矛盾。因此，方程無解。孫子定理又稱中國節(jié)余定理，中國節(jié)余定理給出了以下的一元線性同余方程組：有解的判斷條件，并用結(jié)構(gòu)法給出了在有解狀況下解的詳細(xì)形式。中國節(jié)余定理說明：假定整數(shù)m1,m2,...,mn兩兩互質(zhì)，則對隨意的整數(shù)：a1,a2,...,an，方程組有解，并且通解能夠用以下方式結(jié)構(gòu)獲得：設(shè)

是整數(shù)

m1,m2,...,mn

的乘積，并設(shè)

是除了

mi

以外的

n-1

個整數(shù)的乘積。設(shè)為

模的數(shù)論倒數(shù)

：方程組的通解形式：在模的意義下，方程組只有一個解：同余同余公式也有很多我們常有的定律,比方相等律,聯(lián)合律,互換律,傳達(dá)律.以下面的表示:1)a≡a(modd)2)a≡b(modd)→b≡a(modd)3)(a≡b(modd),b≡c(modd))→a≡c(modd)若是a≡x(modd),b≡m(modd),則4)a+b≡x+m（modd）其中a≡x(modd)，b≡m(modd)5)a-b≡x-m(modd)其中a≡x(modd),b≡m(modd)6)a*b≡x*m(modd)其中a≡x(modd),b≡m(modd)7）a≡b（modd）則a-b整除d歐拉函數(shù)φ函數(shù)的值

通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)

..(1-1/pn),

其中p1,p2pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。φ(1)=1（唯一和1互質(zhì)的數(shù)(小于等于1)就是1自己）。(注意：每種質(zhì)因數(shù)只一個。比方12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是質(zhì)數(shù)p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，由于除了p的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。設(shè)n為正整數(shù)，以φ(n)表示不高出n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，稱為n的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)φ：N→N，n→φ(n)稱為歐拉函數(shù)。歐拉函數(shù)是積性函數(shù)——若m,n互質(zhì)，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特別性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時，φ(2n)=φ(n),證明與上述近似。若n為質(zhì)數(shù)則φ(n)=n-1。格點(diǎn)定義數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)(latticepoint)或整點(diǎn)。性質(zhì)1、格點(diǎn)多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）。2、格點(diǎn)對于格點(diǎn)的對稱點(diǎn)為格點(diǎn)。3、格點(diǎn)多邊形面積公式（坐標(biāo)平面內(nèi)極點(diǎn)為格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，近似地也有格點(diǎn)多邊形的見解。）設(shè)某格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有格點(diǎn)a個，格點(diǎn)多邊形的邊上有格點(diǎn)b個，該格點(diǎn)多邊形面積為S，則依照皮克公式有S=a+b/2-1。4，格點(diǎn)正多邊形只能是正方形。5，格點(diǎn)三角形界線上無其他格點(diǎn)，內(nèi)部有一個格點(diǎn)，則該點(diǎn)為此三角形的重心。三面角定義三面角：由三個面組成的多面角稱為三面角，如圖中三面角可記作∠O-ABC。特別地，三個面角都是直角的三面角稱為直三面角。三面角的補(bǔ)三面角：由三條自已知三面角定點(diǎn)發(fā)出的垂直于已知三面角的三個平面的射線組成的三面角叫做已知三面角的補(bǔ)三面角。性質(zhì)1、三面角的隨意兩個面角的和大于第三個面角。2、三面角的三個二面角的和大于180°，小于540°。三面角有關(guān)定理設(shè)三面角∠O-ABC的三個面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所對的二面角依次為∠OC，∠OA，∠OB。1、三面角正弦定理：sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。2、三面角第一余弦定理：cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。3、三面角第二余弦定理：cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。直線方程一般有以下八種描繪方式：點(diǎn)斜式，斜截式，兩點(diǎn)式，截距式，一般式，法線式，法向式，點(diǎn)向式。點(diǎn)斜式已知直線一點(diǎn)(x1,y1,)并且存在直線的斜率k，則直線可表示為：y-y1=k(x-x1)。合用范圍：斜率K存在的直線。斜截式已知與Y軸的交點(diǎn)（0，b），斜率為K，則直線可表示為：y=kx+b。合用范圍：斜率存在的直線。兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式是剖析幾何直線理論的重要見解。當(dāng)已知兩點(diǎn)（Y1），（X2，Y2）時，將直線的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)

X1，代入點(diǎn)斜式時，獲得兩點(diǎn)式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。適用范圍：不平行于（或許說不垂直于）坐標(biāo)軸的的直線。截距式已知與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（a，0），（0，b）時，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。合用范圍：不平行于（或許說不垂直于）坐標(biāo)軸的直線，可是原點(diǎn)的直線。一般式ax+by+c=0(A、B不相同時為0)。斜率：-A/B截距：-C/B。兩直線平行時：A1/A2=B1/B2≠C1/C2，則無解。兩直線訂交時：A1/A2≠B1/B2；兩直線垂直時：A1A2+B1B2=0A1/B1×A2/B2=-1，都只有一個交點(diǎn)。兩直線重合時：A1/A2=B1/B2=C1/C2，則有無數(shù)解。合用范圍：所有直線均可合用。法線式過原點(diǎn)向直線做一條的垂線段，該垂線段所在直線的傾斜角為α，p是該線段的長度。x·cosα+ysinα-p=0。法向式知道直線上一點(diǎn)（x0，y0）和與之垂直的向量（a，b），則ax-x0）+b（y-y0）=0，法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。點(diǎn)向式知道直線上一點(diǎn)(x0,y0)和方向向量（u,v），(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)。極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系（polarcoordinates）是指在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。在平面上取定一點(diǎn)O，稱為極點(diǎn)。從O出發(fā)引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個長度單位，往常例定角度取逆時針方向?yàn)檎?。這樣，平面上任一點(diǎn)P的地點(diǎn)就能夠用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數(shù)對（ρ，θ）就稱為P點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點(diǎn)的極徑，θ稱為P點(diǎn)的極角。極坐標(biāo)方程于極點(diǎn)（90°/270°）對稱，若是r(θ-α)=r(θ)，則曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)α°。圓方程為r(θ)=1的圓。在極坐標(biāo)系中，圓心在(r0,φ)半徑為a的圓的方程為r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2該方程可簡化為不相同的方法，以符合不相同的特定狀況，比方方程r(θ)=a表示一個以極點(diǎn)為中心半徑為a的圓。直線經(jīng)過極點(diǎn)的射線由以下方程表示θ=φ其中φ為射線的傾斜角度，若k為直角坐標(biāo)系的射線的斜率，則有φ=arctank。任何不經(jīng)過極點(diǎn)的直線都會與某條射線垂直。這些在點(diǎn)（r0,φ）處的直線與射線θ=φ垂直，其方程為r(θ)=r0sec(θ-φ)圓冪點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上隨意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d^2－r^2就是點(diǎn)P對于⊙O的冪．過P任作素來線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB=|d2－r2|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，若是此二圓訂交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸若是不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當(dāng)三個圓兩兩訂交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)．1．定義從一點(diǎn)A作一圓周的任一割線，從A起到和圓訂交為止的兩段之積，稱為點(diǎn)A于這圓周的冪．2．圓冪定理已知⊙(O,r)，經(jīng)過必然點(diǎn)P，作⊙O的任一割線交圓于A,B，則PA，PB為P對于⊙O的冪，記為k，則當(dāng)P在圓外時，k=PO^2-r^2；當(dāng)P在圓內(nèi)時，k=r^2-PO^2；當(dāng)P在圓上時，k=0.圖Ⅰ：訂交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條隨意弦。訂交于點(diǎn)P，連結(jié)AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，因此。因此有：，即：。圖Ⅱ：割線定理。如圖，連結(jié)AD、BC。可知∠B=∠D，又由于∠P為公共角，因此有，同上證得。圖Ⅲ：切割線定理。如圖，連結(jié)AC、AD。∠PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又由于∠P為公共角，因此有，易圖Ⅳ：PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此。因此PA=PC，所以。綜上可知，是寬泛建立的。根軸定義在平面上任給兩不相同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點(diǎn)的會合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。另一角度也能夠稱兩不相同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或許稱作等冪軸。根軸方程設(shè)兩圓O1,O2的方程分別為：(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)由于根軸上隨意點(diǎn)對兩圓的圓冪相等，因此根軸上任一點(diǎn)(x,y),有(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=

圓冪=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2兩式相減，得根軸的方程

(即

x,y

的方程

)

為2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2解的不相同可能

近似。(1)(2)連立的解，是兩圓的公共點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)若是是兩組不等實(shí)數(shù)解，MN不重合且兩圓訂交，根軸是兩圓的公共弦。若是是相等實(shí)數(shù)解，MN重合，兩圓相切，方程表示兩圓的內(nèi)公切線。若是是共軛虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標(biāo)系內(nèi)沒有實(shí)質(zhì)。稱M,N是共軛虛點(diǎn)。尺規(guī)作圖訂交,相切時根軸為兩圓交點(diǎn)的連線.內(nèi)含時,作一適合的圓與兩園訂交,這圓與兩圓的根軸的交點(diǎn)在根軸上.同理再作一點(diǎn),兩點(diǎn)所在的直線即為根軸(等冪軸)有關(guān)定理1，平面上隨意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；2，若兩圓訂交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；4，若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點(diǎn)分別引兩圓的切線，則切線長相等。5，蒙日定理（根心定理）：平面上隨意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸訂交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行；6，反演后的圓和反演圓和被反演的圓3個圓共根軸。容斥原理也可表示為：設(shè)S為有限集,則兩個會合的容斥關(guān)系公式：A∪B=|A∪B|=|A|+|B||(∩：重合的部分）三個會合的容斥關(guān)系公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C||A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

-|A∩B-抽屜原理第一抽屜原理原理1：把多于n+k個的物體放到