三年高考文科數(shù)學(xué)真題分類(lèi)專(zhuān)題11-解三角形

三年高考文科數(shù)學(xué)真題分類(lèi)專(zhuān)題11-解三角形考綱解讀明方向考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題掌握2017山東,9;2017浙江,14;2017天津,15;2017北京,15;2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,13;2016天津,3;2015天津,13選擇題填空題★★★1．【2018年全國(guó)卷Ⅲ文】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則A.B.C.D.【答案】C點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。2．【2018年全國(guó)卷Ⅲ文】若，則A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。詳解：，故答案為B.點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題。3．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若a=，b=2，A=60°，則sinB=___________，c=___________．【答案】3【解析】分析:根據(jù)正弦定理得sinB,根據(jù)余弦定理解出c.點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.4．【2018年文北京卷】若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=_________；的取值范圍是_________.【答案】【解析】分析：根據(jù)題干結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得，可求得；再利用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍問(wèn)題.詳解：，，即，，則，為鈍角，，，故.點(diǎn)睛：此題考查解三角形的綜合應(yīng)用，余弦定理的公式有三個(gè)，能夠根據(jù)題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個(gè)關(guān)鍵；根據(jù)三角形內(nèi)角的隱含條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式及正弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解含的表達(dá)式的最值問(wèn)題是解題的第二個(gè)關(guān)鍵.5．【2018年江蘇卷】在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.6．【2018年新課標(biāo)I卷文】△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為_(kāi)_______．【答案】點(diǎn)睛：該題考查的是三角形面積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意對(duì)正余弦定理的熟練應(yīng)用，以及通過(guò)隱含條件確定角為銳角，借助于余弦定理求得，利用面積公式求得結(jié)果.7．【2018年天津卷文】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（I）求角B的大??；（II）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍．2017年高考全景展示1.【2017課標(biāo)1，文11】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：由題意得，即，所以．由正弦定理得，即，得，故選B．【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．2.【2017課標(biāo)II，文16】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則【答案】【解析】由正弦定理可得【考點(diǎn)】正弦定理【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.3.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路：（1）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．4.【2017課標(biāo)3，文15】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________.【答案】75°【考點(diǎn)】正弦定理【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.5.【2017浙江，11】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，．【答案】【解析】試題分析：將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，則【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)文化【名師點(diǎn)睛】本題粗略看起來(lái)文字量大，其本質(zhì)為將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，確定6個(gè)等邊三角形的面積，其中對(duì)文字信息的讀取及提取有用信息方面至關(guān)重要，考生面對(duì)這方面題目時(shí)應(yīng)多加耐心，仔細(xì)分析題目中所描述問(wèn)題的本質(zhì)，結(jié)合所學(xué)進(jìn)行有目的的求解．6.【2017天津，文15】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】試題分析（Ⅰ）首先根據(jù)正弦定理代入得到，再根據(jù)余弦定理求得；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論和條件，根據(jù)求，和以及正弦定理求得，再求，以及，最后代入求的值.【考點(diǎn)】1.正余弦定理；2.三角恒等變換.【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式7.【2017山東，文17】（本小題滿分12分）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】【解析】試題分析：先由數(shù)量積公式及三角形面積公式得,,由此求A,再利用余弦定理求a.【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理,它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái),從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運(yùn)用初等幾何法．注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討論思想．2016年高考全景展示1.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知,,,則b=（）（A）（B）（C）2（D）3【答案】D【解析】試題分析：由余弦定理得,解得（舍去）,故選D.考點(diǎn)：余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過(guò)解方程求b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請(qǐng)考生切記！2.【2016高考山東文數(shù)】中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知,則A=（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】考點(diǎn)：余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用、三角函數(shù)的同角公式及誘導(dǎo)公式，是高考?？贾R(shí)內(nèi)容.本題難度較小，解答此類(lèi)問(wèn)題，注重邊角的相互轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，本題能較好的考查考生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、基本計(jì)算能力等.3．[2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]在中，，邊上的高等于,則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以．由正弦定理，知，即，解得，故選D．考點(diǎn)：正弦定理．【方法點(diǎn)撥】在平面幾何圖形中求相關(guān)的幾何量時(shí)，需尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將所涉及到已知幾何量與所求幾何集中到某一個(gè)三角形，然后選用正弦定理與余弦定理求解．4.【2016高考上海文科】已知的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于_________.【答案】【解析】試題分析：由已知，∴，∴，∴考點(diǎn)：1.正弦定理；2.余弦定理.【名師點(diǎn)睛】此類(lèi)題目是解三角形問(wèn)題中的典型題目.解答本題，往往要利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到解題目的；三角形中的求角問(wèn)題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題較易，主要考查考生的基本運(yùn)算求解能力等.5.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，a=1，則b=____________.【答案】【解析】考點(diǎn)：正弦定理，三角函數(shù)和差公式.【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．6.【2016高考北京文數(shù)】在△ABC中，，，則=_________.【答案】1【解析】試題分析：由正弦定理知，所以，則，所以，所以，即．考點(diǎn)：解三角形【名師點(diǎn)睛】①根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵．②熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用．7.【2016高考天津文數(shù)】（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，已知.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理，將邊化為角：,再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡(jiǎn)得，（Ⅱ）問(wèn)題為“已知兩角，求第三角”，先利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.8.【2016高考浙江文數(shù)】（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知b+c=2acosB．（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）.【解析】試題分析：（I）先由正弦定理可得，進(jìn)而由兩角和的正弦公式可得，再判斷的取值范圍，進(jìn)而可證；（II）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，再用二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，最后用兩角和的余弦公式可得．考點(diǎn)：三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理.【思路點(diǎn)睛】（I）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（II）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，再用兩角和的余弦公式可得．9.【2016高考四川文科】（本題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.【答案】（Ⅰ）證明詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）4.【解析】試題分析：（Ⅰ）已知條件式中有邊有角，利用正弦定理，將邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化（本小題是將邊轉(zhuǎn)化為角），結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；（Ⅱ）從已知式可以看出首先利用余弦定理解出cosA=，再根據(jù)平方關(guān)系解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sinAsinB=sinAcosB+cos