固體物理振動(dòng)量子化

固體物理振動(dòng)量子化第1頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.3晶格振動(dòng)量子化和聲子*第2頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.3.1格波的量子理論晶格每個(gè)原子的振動(dòng)是一些獨(dú)立振動(dòng)模式的疊加。每個(gè)格點(diǎn)的獨(dú)立狀態(tài)總數(shù)是N。第3頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在上式中，系統(tǒng)的總能量即總哈密頓量包含諸原子的速度和坐標(biāo)，和兩個(gè)原子的交叉項(xiàng)。帶來(lái)了理論計(jì)算的困難，需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。根據(jù)量子力學(xué)，獨(dú)立振子的能量是量子化的，因此可以用獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的坐標(biāo)代替晶格原子的位置坐標(biāo)，即從個(gè)別原子的運(yùn)動(dòng)描述過(guò)渡到原子集體運(yùn)動(dòng)的描述，系統(tǒng)晶體振動(dòng)的總能量即可表述為獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的能量之和，系統(tǒng)的哈密頓量就變?yōu)槠椒胶偷男问健＿@相當(dāng)于一個(gè)坐標(biāo)變換。為此，引進(jìn)簡(jiǎn)正坐標(biāo)Qq，對(duì)xn進(jìn)行坐標(biāo)變換。第4頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ωNqNω3q3ω2q2ω1

q1N-2n-1nn+1n+2εNε3ε2ε1第5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四位置空間轉(zhuǎn)變到狀態(tài)空間。第6頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第7頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第8頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三維晶格能量量子化等效于獨(dú)立的諧振子，振動(dòng)頻率為3naNL種簡(jiǎn)正模式數(shù)等效成3naNL個(gè)諧振子，原子振動(dòng)的總哈密頓量H為：其量子化能量形式簡(jiǎn)正模式第9頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.3.2聲子*晶格振動(dòng)是晶體中原子集體的振動(dòng)，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。一般格波不一定是簡(jiǎn)諧的，但可以展開(kāi)成簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加。振動(dòng)微弱時(shí)，格波可以認(rèn)為是簡(jiǎn)諧波，互相獨(dú)立，分別對(duì)應(yīng)于一個(gè)振動(dòng)態(tài)（q），晶格的周期性已給予了格波以一定的邊界條件（玻恩卡門條件），使獨(dú)立的振動(dòng)模式分立。因此，可以用獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)來(lái)描述格波的獨(dú)立模式，這就是聲子的由來(lái)。晶格振動(dòng)的每一個(gè)格波，都可以看作是由數(shù)目為ni能量為?i的理想聲子組成的，整個(gè)系統(tǒng)則是由眾多聲子組成的聲子氣體。第10頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四聲子屬于玻色子系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)處于熱平衡時(shí)，頻率為i的格波的平均聲子數(shù)由玻色統(tǒng)計(jì)給出：第11頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四晶體中倒易點(diǎn)陣的FBZ中任何一個(gè)波矢k對(duì)應(yīng)的諧振頻率，就對(duì)應(yīng)于第（j,k）種聲子，標(biāo)記為。聲子能量：動(dòng)量：因此稱為準(zhǔn)動(dòng)量聲子和光子一樣都是玻色子（波函數(shù)對(duì)稱的粒子，如光子、氫原子），數(shù)量不守恒。（費(fèi)米子：波函數(shù)反對(duì)稱的粒子，如電子、質(zhì)子等）光子靜止質(zhì)量為0，光速恒定。聲子質(zhì)量無(wú)定義，對(duì)應(yīng)振動(dòng)模式有兩個(gè)橫波和一個(gè)縱波。第12頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2001年，美國(guó)科學(xué)家埃里克·康奈爾、卡爾·維曼和德國(guó)科學(xué)家沃爾夫?qū)た颂乩铡Ｋ麄兏鶕?jù)玻色-愛(ài)因斯坦理論發(fā)現(xiàn)了一種新的物質(zhì)狀態(tài)——“堿金屬原子稀薄氣體的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)”。2001年諾貝爾獎(jiǎng)。

第13頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特點(diǎn)聲子是準(zhǔn)粒子，晶體集體振動(dòng)可以看作是由不同能量的理想聲子組成的聲子氣體。晶體振動(dòng)的熱能就是聲子的總能量。各種微觀粒子與晶格振動(dòng)系統(tǒng)的相互作用，可以看成是這些粒子與聲子相互作用或碰撞，這些碰撞服從能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量定律。熱傳導(dǎo)可以看成是聲子的擴(kuò)散，熱阻可以看成是聲子的散射。聲子遵循能量守恒和動(dòng)量守恒定理，但聲子數(shù)不守恒。聲子數(shù)和溫度有關(guān)。當(dāng)其他粒子與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，能量交換的最小單元為?ω。第14頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.4晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法X光：hω~104eV聲子：hω~0.01eVX光與聲子互相碰撞，光子能量變化只有1/106。中子能量約為0.02eV，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)為2?，與晶格常數(shù)同數(shù)量級(jí)。即滿足衍射要求，又能精確測(cè)定經(jīng)聲子散射后的非彈性散射譜。設(shè)入射中子束的動(dòng)量p=hk，被晶體散射后，動(dòng)量變?yōu)閜′=hk′。第15頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于中子與聲子的相互作用滿足能量守恒和動(dòng)量守恒定律。因此在散射過(guò)程中的能量守恒定律可以寫(xiě)成式中+表示中子發(fā)射一個(gè)聲子，-表示吸收一個(gè)聲子，mn是聲子的質(zhì)量。動(dòng)量守恒定律可以相應(yīng)寫(xiě)成：第16頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引入頻率Ω和波矢K,hΩ和hK分別等于被散射中子能量和動(dòng)量的改變.

K=k-k′=Gh±q喇曼散射:光學(xué)聲子與光子作用.布里淵散射:聲學(xué)聲子與光子作用.k′kK第17頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四用可見(jiàn)光只能測(cè)定布里淵區(qū)中心附近的色散關(guān)系。光速很大,故波矢q很小,因此能測(cè)量的聲子波矢也很小,因此用可見(jiàn)光只能測(cè)量布里淵區(qū)域中心(q=0)附近的色散關(guān)系.解決的辦法是增加光子的頻率,直到X光波段,使波矢滿足整個(gè)布里區(qū)的色散關(guān)系,但是其頻率比聲子高很多,X光受散射后其頻率變化很小,很難測(cè)量.第18頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.4.2三軸中子譜儀(測(cè)量聲子譜)中子單晶單色儀單晶樣品(鍺、鉛、石墨)單晶分析器計(jì)數(shù)器第19頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四簡(jiǎn)諧振子