自學(xué)考試 線性代數(shù)試卷及答案集合

2014年10月等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試04184線代（管類試本試卷共8頁，滿分分，考試時間分鐘。說明：本試卷中，A表矩陣A的置矩陣，*示矩陣的隨矩陣，E單位矩陣，表方陣的行列式，r的秩。一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題分共10分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)階列式

1121

1222

1323

，若元素a的數(shù)余子公式為ij

A

ij

（i,j=1,2,3)，則A31

【】A.

B.0C.12.設(shè)

A

為3階陣，將

A

的第3行以

12

得到單位矩陣

E

，則A=【】A.

B.

12

D.23.設(shè)量組

1

,2

3

的秩為，則

,1

,2

3

中【】A.有一個零向量B.B.任兩個向量都線性無關(guān)C.存在一個量可由其余向量線性表出每個向量均可由其余向量線性表出34.設(shè)階矩陣A3【】

,則列向量中是的于特征值的特征向量為A.

B.5.二型

f(,x)x13

22

23

1

的正慣性指數(shù)為【】A.0B.1C.2二、填空題（本大題共10小，每小題2分，共20分請在每小題的空格中填上正確答案。錯誤、不填均無分、/

20206.設(shè)

fx)

1

，則方程

f(x

的根是7.設(shè)陣

1A*=8.設(shè)為3階陣，

A

12

,則列式

)

=9.設(shè)陣

2B42

,若矩陣

A

滿足

PAB

,則

A

=10.設(shè)向量

(1

,

2

(1,2)

,

(4,2)3

,則由3

線性表出的表示式為11.設(shè)向量組

T,1

(4,1,0)T2

(1,0,k)3

線性相關(guān)，k則數(shù)12.3元次線性方程組為

xx1x23

的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)13.設(shè)3階陣

A

滿足

3EA

，則

A

必有一個特征值為14.設(shè)2階對稱矩陣

A

的特征值分別為

和1，則

A

15.設(shè)二次型

f(x,xtx112

x1

2

正定，則實數(shù)

t

的取值范圍是三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）10016.計算4階列式

1013

的值。0/

11217.已知矩陣

a1

aa10

a11000

，求

A

。18.設(shè)矩陣10

,且陣

X

滿足

AXE

,求

X

。19.設(shè)向量(1,1,1,1)

T

,

(1,2,1,1)

T

,

(kk

T

,

k

T

,確定當取值時

能由

,1

,2

3

線性表出，并寫出表示式。20.求線性方程組系表示）。

123xx23xxx14

的通解（要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解021.設(shè)矩陣矩陣2

相似，求數(shù)與逆矩陣，使得

。22.用正交變換將二次型

f)213

22

x

23

2x1

化為標準形，寫出標準形和所作的正交變換。/

．．．．．．．．四、證明題（本題7分）23.向量組

,,123

線性相關(guān)，且其中任意兩個向量都線性無關(guān)。證明：存在全不為零的常數(shù)

k,k使得k13

1

2

2

033

。2014年10月等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試線代（管）題案評參（課程代碼04184）一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題分共10分）1.D2.A3.C4.B5.C二、填空題（本大題共10小，每小題2分，共20分5

14

10.11.12.

31

213.14.

E

3215.

＜

t

＜

1三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）16.解

1003103100=110131

......3分0130013

3

......9分0/

1000100001可得(A)(A12117.解

a1

aa10

a100

1000

1000

0100

0010

000

1aaa3

01aa

001a

0001

0001

0010

0100

1000

......2分

0000011100

..........7分從而

A

01

......918.解由

AXEA

X

,得

AA

3

......2分又由

001E1

可逆......5分由

AA

3

A兩邊左乘

A)

,得X

213010

......9分19解設(shè)

xx13

，......2分該線性方程組的增廣矩陣為

1111

1k2111k01k10

1k1000

......6分由于能,,12

3

線性表出，則必有

r(A))此時，方程組有唯一解

x012表示式為

......920.解方組的增廣矩陣/

330003300000111

110122

0121

......2分可知

r(A)()2

＜＜，程組有無窮多解......4分由同解方程組

xx3x4求出方程組的一個特解*

1,1,0,0)

,導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為

2,1,0)1

T2

......7分從而方程組的通解為

11

2

2

1

2

(cc

為任意常數(shù)）......9分21.解由件可知矩陣的特征值為

1

22

......2分由

x0

，得

x

......4分

對于

，由線性方程組

()

求得一個特征向量為

1

對于

2

，由線性方程組

(2EAx

求得兩個線性無關(guān)的特征向量為,(0,1,1)2

令

10,1

,則

......9分0122.解二型的矩陣A20

......2分

由

A

/

1131133故

A

的特征值為

2,1

03

......4分對于

，求解齊次線性方程組

()

，得到基礎(chǔ)解系

3

(

將其單位化，得

3

12

,0,

12

)

......7分令

,13

)1

則P為交矩陣，經(jīng)正交變換22

，化二次型為標準形

221

......9分四、證明題（本題7分）23.證由向量組

1

2

3

線性相關(guān)，故存在不全為零的常數(shù)

k,k,k12

3

，使得k

1

2

2

03

......2分其中必有

1

。否則，如果

1

，則上式化為

k

2

2

03其中

kk2

3

不全為零，由此推出

2

3

線性相關(guān)，與向量組中任意兩個向量都線性無關(guān)的條件矛盾......5分類似地，可證明

k0,23

........7分2015年4月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數(shù)經(jīng)管類）試課程代碼04184一、單項選擇題（本大題共5小題每小題2分，10分/

1112211111y00111112211111y0011131212231、設(shè)行列式=A.-DB.D

12

a，a22C.2D

ba1b2D.3D

，則

【】2、若A=

0xB=

，且2AB，則【】A.x=1，B.x=2，C.x=1，y=1，3、已知A是3階逆矩陣，則下列矩陣中與A等的是【】A.

00

00

C.

0

0

4、設(shè)2階對稱矩陣A的部特征值味，，，齊次線方程組+A）x0的礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為【】A.0B.1C.25、矩陣

有一個特征值為【】A.-3B.-2C.1D.2二、填空題（本大題共10小，每小題2分，共20分請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6、設(shè)A為3階陣，且A=3，3A

=.7、設(shè)A

1

，則A

=.8、已知A

1211

，若矩陣X滿AXB，則X.9、若向量組，，T，，，2)T1

線性相關(guān)，則數(shù)k=.ax01310、齊次線性方程組01x013

有非零解，則數(shù)

=.11、向量

1

(1-2，，

2

(2，，T，內(nèi)積（

,

）.12、量空間V={x=(x，，|x，}的數(shù)為.13、向量（，，）

和（，，）

均正交的一個單位向量為

.14、陣

的兩個特征值之積為

./

5050115、實二次型，，

1

222

x1

正定，則數(shù)a的值范圍是.三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）211116、算行列式

13111111

的值.17、2階陣A的列式

A

，求行列式

(2)A*

的值.18、矩陣A

01

=0

，矩陣X滿足XAXB求X19、向量組

T(2,5,1)T(T1,10)124

的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關(guān)組線性表.20、用克拉默法則解線性程組

2212x12c213

，其中

,,

兩兩互不相同.021、知矩陣A1B1

相似，求數(shù)a的.22、正交變換化二次型

f(x,x)x122

為標準型，并寫出所作的正交變換四、證明題（本題7分）23、A，均為n階矩陣，且AB+E，BB，證明A可.答案：一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題分，共10分1.C2.A3.D4.C5.B二、填空題（本大題共10小，每小題分，共20分）9

310.-211.0/

2015201510012.213.

13

或

13

14.-115.

＞三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）1

116.解D=

1114

30=

1152074

42

0

417.解由于

12

，所以

可逆，于是

*AA

故

(2A)

A

*

A

AA

=

1A2218.解由AX

，化為

，而

0E0

可逆，且

0211故

0019.解由

0,,1513所以向量組的秩為，

,

是一個極大線性無關(guān)組，并且有,31

1741

2注：極大線性無關(guān)組不唯一。20.解方組的系數(shù)行列式/

即22即22aa

D=

bb2cc因為a,b,c兩兩互不相同，所以

，故方程有唯一解。

aa

13a

a

又D3b

bc

，D13b13c

b

0

，13a

Db2D1c3D310,x2xD21.解因矩陣A與相，故trAtrB且AB所以

由克拉默法則得到方程組的解22.解二型的矩陣

由于

EA

，所以的特征值

對于特征值

，由方程組

得到A屬特征值

的一個單位特征向量

1

對于特征值

由方程組

得到A屬特征值

的一個單位特征向量.1得正交矩陣Q1

1

，作正交變換

，二次型化為標準形

f1

22

四、證明題（本題7分）23.證因BE,所以EB,又,/

故

,化簡得

A

,

于是

1AE2

,故可。2015年10月高等教自學(xué)考試全國一命題考試線性代數(shù)管類)

試卷(課程代04184)本卷3頁滿l00分考時分鐘?？即鹱⑹拢海舅嚤卦陬}上答答試上無，卷白和面可草紙．第部為擇。須應(yīng)卷的號用2B鉛將答卡的應(yīng)碼黑．第部為選題必注大小號使0．5毫米色跡字作。．合安答空。出題域效說：本中A示矩A的置陣A*表矩的隨陣E是位陣，︱︱表方A的列，r(A)表矩A的。第一部分

選擇題一單選題本題5小，小2分共10分)在小列的個選中有個符題要的請其選并“題”的應(yīng)碼黑未、涂多均分1．已知階行式A．-2．1D．23．設(shè)向量組正確的是A．若s≤t，B．若s≤t，則C．若D．若

可由向量組必線性相關(guān)必線性相關(guān)線性無關(guān)，則s線性無關(guān)，則s≤t/

線性表出，則下列結(jié)論中

4．設(shè)有非齊次線性方程組Ax=b其中A矩陣，且r(A)=r，r(A，下列結(jié)論中正確的是A．若r=m，則Ax=O有非零解．若r=n，則Ax=0僅零解C．若r=m，則Ax=b有無窮多解．若r=n，則Ax=b有惟一解5.設(shè)n階陣A滿︱E-3A︱0則必有個特征值=第二部分

非選擇題二填題(大共l0小題每題2分共20)請答卡作。6．設(shè)行列式aA+a+A=__________．

中元素a的代數(shù)余子式為A(i,j=1,2)，則7．已知矩陣8．設(shè)矩陣

，則A．，若矩陣A滿足AP=B，則A=________9．設(shè)向量

，

，則

由向量組線性表出的表示式為=____________10．向量組a