全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題-2004年及答案

PAGEPAGE5/1又解：CPAPHPO=OA=22=R，∠AOB= 1 P—AOB=R R R6

sin2PB2= 2 2

R+Rcos1+cos

3+cos2sin2

2∴OB=3

二．填空題(549分在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖像與函數(shù)g(x)= 解 a2+1sin(ax+)，周期=a取長(zhǎng)為a寬為2a2+1的矩形由對(duì)稱性知面積之半即為所求故填

2(1－sint)dt=2pa ∫ a 設(shè)函數(shù)f：R→R，滿足f(0)=1，且對(duì)任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，則f(x)= 解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2y=1f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2f(x+1)=f(x)+1．②如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度數(shù) 1AB=1AM⊥BD，AN⊥BDBN·BD=1

A

BN=D1M=NM=3 C∴AA2=AM2+MN2+NA2－2AM·NAcos，222 ，cos DNMDNM

1=++ =

33 設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得k2－pk也是一個(gè)正整數(shù)，則 解：設(shè)k2－pk=n，則(k)2－n2=，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k= n已知數(shù)列a0，a1，a2，…，an，…滿足關(guān)系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，則∑a的值 i=012

1

n1解

+，

+

2n．即

，

=

an

an

i=0ai在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M(－1，2)和N(1，4)，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 解：當(dāng)∠MPN最大時(shí)，⊙MNPxP(否則⊙MNPxPQ，則KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)處⊙MNPP的橫坐標(biāo)=1．三．解答題(6020分)一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆n次，如果這n次拋2n，則算過(guò)關(guān)．問(wèn)：⑴在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)nnn6n點(diǎn)，6n>2n，知，n≤44關(guān)．1次的點(diǎn)數(shù)>22次的點(diǎn)數(shù)和>43次的點(diǎn)數(shù)和44 有62種不能過(guò)關(guān)的基本有為不等式x+y≤4的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有C2個(gè)(亦可枚舉計(jì)數(shù)461+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)6種，過(guò)關(guān)的概率=12=6第三關(guān)的基本有63種，不能過(guò)關(guān)的基本為方程x+y+z≤8的正整數(shù)解的總數(shù)，可連寫(xiě)8個(gè)1，從8個(gè)空檔3

567 3

=56種，不能過(guò)關(guān)的概率=3

6 2520∴連過(guò)三關(guān)的概率= 362743PL經(jīng)過(guò)ABC的內(nèi)心(D)P3Lk的取值范圍．P的坐標(biāo)為(x，y)，AB

PyA1DKB-CO1x+4=1，PyA1DKB-CO1xBC方程 AC方程 ∴∴所求軌跡為圓 ⑵ ABC的內(nèi)心D(0，)：經(jīng)過(guò)D的直線為x=0或y=kx+ k=0時(shí)，直線y=與圓④切于點(diǎn)(0，)，與雙曲線⑤交于 2，)，即k=0滿足要求 1k=1121(ck01

2 2個(gè)公共點(diǎn)，以⑥代入⑤得：(8－17k)x

2 28－17k=0或(5k)－25(8－17k)=0

17k=22 2k值的取值范圍為{0，±172

已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)

x2+1的定義域?yàn)?/p>

36 16

解：⑴ <0，>0．當(dāng)x，x∈[，]時(shí)

g(tanu)g(tanu)g(tanu 4=－． 4∴f

．而當(dāng)x∈[，]時(shí)，x2－xt<0，于是f(x)>0，即f(x)在[，]上單調(diào)增 2－t

∴

2+1－2+1

2=t+1(t=2t

8 ⑵

16cosu+9cos16cosu+9cos

16+9cos 16+9cos 1 1 [163+9(cos2u+cos2u+cos2u [75－9(sin2u+sin2u+sin2ug(tanu1)

16

16

3 3

sinu1+sinu2+sinu3

而(sinu1+sinu2+sin

)9(sinu1+sinu2+sin 1 3

g(tanu2)

16

4ACF、G兩點(diǎn)，F(xiàn)GAHKBC=25，BD=20，BE=7AK的長(zhǎng)．解：∵CDGHCDGHPKF ∵ AC=5BD⊥AC，CE⊥AB，B、E、D、C AC(AC－15)=AB(AB－7)，AB( ∴ ∴

2AHBCPAP·BC=AC·BD，AP=24．DFDF⊥AB，∵

2D、E、F、GAK

924∴

25=25二．(本題滿分50分)在平面直角坐標(biāo)系XOY中，y軸正半軸上的點(diǎn)列{An}與曲線y=2x(x≥0)上的點(diǎn)列{Bn}滿足n|OAn|=|OBn|=AnBnxanBnn

b2

n0∈N*，使得對(duì)?n>n0，都有++

b1 bn－111+( 11+(An(0)，Bn(bn，2bn)由|OAn|=|OBn|，bn

)

n0<b

遞減，n2b=n( 單調(diào)增n 1+(nn1 1n2∴0<n2

>2且tn單調(diào)減 由截距式方程知， =1，(1－2nbn=nbn )2+ bn(1+n2bn)1+n2bn1)2+∴a

nnn

1－2n2bn

n

)=tn+2tn=(tn+2)

≥( )2

22tnanan>an+1>4221 1亦可 =b =b+2，得a=b+2+2b bnanan>0+2+2 ⑵即證∑ 1 1 11 11—— bk

1 1 2 (k+1)2

n11

111

11∴∑(1－bk)>∑ 只要n足夠大，就有∑ )>2004成立三．(50分)n≥4f(n)m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的f(n)3個(gè)兩兩互素的元素．n≥4當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m，m+1，m+2互質(zhì)，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+1，m+2，m+3互質(zhì)．即M的子集M中存在3個(gè)兩兩互質(zhì)的元素，故f(n)存在且f(n)≤n． Tn={t|2|t3|t，t≤n+1}TM(2，n)={2，3，…，n+1}3

card(T)=[2

3

6]f(n)≥[2

3]－[6 f(6)M={m，m+1，…，m+5}553335而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故 ∴ ∴對(duì)于4≤n≤9，