知識(shí)講解空間幾何體的表面積和體積基礎(chǔ)

22空幾體表積體【習(xí)標(biāo)1.通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，握柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的求法；2.能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和體的體積，并且熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；3.了解球的表面積和體積公式推的基本思想握球的表面積和體積的計(jì)算公式會(huì)球的表面積和體積；4.會(huì)用柱、錐、臺(tái)體和球的表面和體積公式求簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體.【點(diǎn)理【清堂空幾體表積體395219間何的面】要一棱、錐棱的面棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積和。計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和。棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀下表：名稱(chēng)

項(xiàng)目

底面

側(cè)面棱柱

平面多邊形

平行四邊形

面積=底·高棱錐棱臺(tái)

平面多邊形平面多邊形

三角形梯形

面積=面積=

1212

·底·高底下要詮：求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開(kāi)后展開(kāi)成平面圖形，利用平面圖形求多面的表面積．要二圓、錐圓的面圓柱、圓錐、圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們側(cè)面展開(kāi)為平面圖形，再去求其面積．．圓的面（）柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)l那么這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)C=2πr等圓柱側(cè)面的母線長(zhǎng)（也是高得=Cl=2πrl．（）柱的表面：

2

(r)

．．圓的面（）錐的側(cè)面積：如下圖1所示，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為

l

，那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)C=πr，半徑等圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)為

l

，由此可得它的側(cè)面積是

1Cl圓錐側(cè)

rl

．（）錐的表面積S圓表π+πrl．

．圓的面（）臺(tái)的側(cè)面積：如上圖2所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，線長(zhǎng)為l，么這個(gè)扇環(huán)的面積為(rl，即圓臺(tái)的側(cè)面積為S=(r＇l．（）臺(tái)的表面積：

r'2'lrl)

．要詮：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．．圓、錐圓的面公之的系下所．【清堂空幾體表積體395219空間何的積要三柱、體臺(tái)的積．柱的積式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S高的乘積，即V=Sh．圓柱的體積：底面半徑是r，是h的圓的體積是V=Sh=πrh．綜上，柱體的體積公式為．．錐的積式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是，那么它的體積

棱錐

13

．圓錐的體積：如果圓錐的底面積是，高是h，那么它的體積V圓錐

13

；如果底面積半徑是r，πr表，則

圓錐

13

rh

．綜上，錐體的體積公式為

13

．．臺(tái)的積式棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、底面的面分別SS，高是h，那么它的體積是棱臺(tái)

1h'3

．圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是，是h，那么它的體積是圓臺(tái)

1((r2rr2)33

．

綜上，臺(tái)體的體積公式為

13

h'')

．．柱、體臺(tái)的積式間關(guān)如圖示【清堂空幾體表積體395219的積表積要四球表積體．球表積（）面不能展開(kāi)成平面，要用其他方法求它的面積．（）的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積式S=4πR．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．．球體設(shè)球的半徑為R，它的體積只與徑R關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為

球

43

3

．要五側(cè)積體的算．多體側(cè)積體的算在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)側(cè)面積公式及其推導(dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上，對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的幾何組體的表面積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍?、錐、臺(tái)、球，再進(jìn)一步分解為平面圖形（正多邊形、三角、梯形以求得其表面積與體積．要注意對(duì)各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈運(yùn)用．（）錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例關(guān)系：S小錐底S大錐底

S小錐全S大錐全

S小錐側(cè)S大錐側(cè)

對(duì)應(yīng)線段（如高、斜高、底面邊長(zhǎng)等）的平方之比．要詮：這個(gè)比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．在求臺(tái)體的側(cè)積、底面積比時(shí)，將臺(tái)體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個(gè)關(guān)系式．（）關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識(shí)．在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面行的截面．棱柱的側(cè)面積與直截面周長(zhǎng)有如下關(guān)系式：S=CV=Sl

l（其中C、（其中S、l

l分為棱柱的直截面周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長(zhǎng)．旋體側(cè)積體的算（）柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的面積，因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形式及面展開(kāi)圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．（）算柱體、錐體和臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多體的有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵．

【型題類(lèi)一簡(jiǎn)幾體表積例1．已知正四棱錐底面正方形邊長(zhǎng)為，高與斜高的夾角為30°求正四棱錐的側(cè)面積和表面積．【思路點(diǎn)撥】利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解，然后代入公式。【答案】48cm【解析圖四錐的高PO高PE面邊心距OE組成Rt△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴

OE30

4cm

．因此

S

側(cè)

11Ch')2

，S=S+S=32+16=48（cm【總結(jié)升華】求棱錐的側(cè)面的關(guān)鍵是求側(cè)面等腰三角形的高（稱(chēng)為斜高就要充分利用棱錐的高、邊心距（底面中心到各邊的距離）和斜高所構(gòu)成的直角三角形來(lái)求解．舉反：【清堂空幾體表積體3952191】【變式】已知棱長(zhǎng)為a各面均為等邊三角形的四面體求的表面積?！敬鸢浮?/p>

a

【變式】圓的母線長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，底面半徑縮小為原來(lái)的（）

1n

，那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉?lái)的A．1倍B．

n

倍C．

倍D．

1n

倍【答案】A例2．圓錐的高和底面半徑相等它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比．【思路點(diǎn)撥】一般要畫(huà)出其軸截面來(lái)分析，利用相似三角形求解?！敬鸢浮俊窘馕觥咳缬覉D為其軸截面圖，設(shè)圓柱、圓錐的底面半徑分別是r、R，圓錐的母線長(zhǎng)為rRr，，則有R

l

．∴R=2r，

l

R

,令圓柱和圓錐的表面積分別為S和12∴

S222112SR((2r2【總結(jié)升華】這是一個(gè)圓錐和圓柱的組合體．這種切接問(wèn)題一般要畫(huà)出其軸截面來(lái)分析，利用似三角形求各元素之間的關(guān)系，再利用相應(yīng)表面積公式計(jì)算．例3．一個(gè)直角梯形的上底、下、高的比為積和側(cè)面積的比．【答案】∶∶

2:3

，求由它旋轉(zhuǎn)而成的圓臺(tái)的上底面積，下底面

3CDE3CDE【解析】如右圖，設(shè)上、下底和高分別為x、2x、

，則母線

l

)3x2

，∴=x，S=π(2x)=4xS=π(x+2x)2x=6πx．∴圓臺(tái)的上、下底面積及側(cè)面積之比為1∶∶6．【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是利用軸截面是等腰梯形，進(jìn)而化為直角梯形、直角三角形，從而將、下底半徑、高、母線等集中在一個(gè)直角三角形中研究．舉反：【變式】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm它的側(cè)面展開(kāi)扇環(huán)的圓心角是180°那么圓臺(tái)的表面積是多少？（結(jié)果中保π【答案1100【變式】鄰長(zhǎng)為a，b的行四邊形，且ab，分別以ab兩邊在直線為軸旋轉(zhuǎn)這個(gè)平行邊形，所得幾何體的表面積分別為SS，則（）A．S＜B．＞C．S＝．SS【答案】類(lèi)二簡(jiǎn)幾體體例4南模擬）如圖，在長(zhǎng)方體的中點(diǎn)．

AD111

中，已知AD=AA=1，=2點(diǎn)E是AB1求三棱錐

E1

的體積．【思路點(diǎn)撥）

CE

D

1CDE

；1【答案】3【解析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得，

1

⊥平面DEC，所以是棱錐CDE11

的高，∴三棱錐

1

的體積D

111133

．【總結(jié)升華】求幾何體的體積或表面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用式求

解．此類(lèi)題目是新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視．舉反：【變式】（）各棱長(zhǎng)都為1的四棱錐的體積V．（2如圖正方體ABCDABCD的長(zhǎng)為動(dòng)點(diǎn)在上動(dòng)點(diǎn)P分在棱，111上．若EF，A=，DQ，DP=（，，z大于零四體PEFQ的積（）1A與，，有關(guān)B與有關(guān)，與，無(wú)C．有關(guān)，與，無(wú)D．有，與x，無(wú)【答案）

）【解析圖可以分析出eq\o\ac(△,，)EFQ的積永遠(yuǎn)不變面ABCD面的而當(dāng)P點(diǎn)化時(shí)到ABCD11的距離是變化的，即的小，影響P到CD的離，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化．故選．11例年重高考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體為（）1A3

2B3

1C．3

2D．3

【答案A【解析】這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，12

，故選A【總結(jié)升華出幾何體的三視幾何體的體積或表面積時(shí)，根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求解．此類(lèi)題目是新高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視．舉反：【變式】某幾體的三視圖如圖所示，則它的體積是

首先課標(biāo)A

8

B83

C．

8

D．

23【答案A【解析】由三視圖可知，其幾何體是由一個(gè)正方體挖去一個(gè)圓錐所得，所以其體積是正方體的體積減去圓錐的體積之差，8類(lèi)三球表積體例．求體積為V的方的外接球的表面積和體積．

3

．【答案】

32

【解析】如圖所示，顯示正方體的中心為其外接球的球心，過(guò)球心作平行于正方體任一面的球的截面，則其截面為圓內(nèi)一正方形（正方形的各頂點(diǎn)均在圓內(nèi)，而不是在圓上此樣截面無(wú)反映球的半徑與正方體的棱長(zhǎng)的關(guān)系，注意到球心必在正方體的一個(gè)對(duì)角面上此以方體的一個(gè)對(duì)角面作截面即可．如圖，以正方體的對(duì)角面

ACCA1

作球的截面，則球心

為

1

的中

點(diǎn)，設(shè)正

球球2球球2方體的棱長(zhǎng)為，x3,V，AC11

x1

1

2

11

2

x33

3R32

42V2V332【總結(jié)升華】正方體外接球的軸截面不是圓內(nèi)一正方形，而是圓內(nèi)一矩形，因此在解決棱柱內(nèi)球和外接球的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必須謹(jǐn)慎地作其軸截面，切忌想當(dāng)然地作圖．解決球與其他幾何體的內(nèi)切、外接問(wèn)題的關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，弄清相元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球和其他幾何體各種元素，盡可能地體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系空間問(wèn)題平面化的目的．舉反：【變式2015年國(guó)Ⅱ高考）已知A是球O球面上兩點(diǎn)，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，三棱錐O積的最大值為，則球O的面積為（）A36πB．πC144πD．【答案】C【解析所C位垂直于面AOB直徑端點(diǎn)時(shí)錐