高一數(shù)學(xué)必修二課件第七章 第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的_____在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過_______________的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有_____過該點的公共直線.兩點不在一條直線上一條2.空間中線與線、線與面及面與面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系

圖形語言符號語言__________________交點個數(shù)__個__個__個a∥ba∥αα∥β000直線與直線直線與平面平面與平面相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l交點個數(shù)__個__個_____個11無數(shù)直線與直線直線與平面平面與平面獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號語言a,b是異面直線a?α交點個數(shù)0個無數(shù)個3.公理4和等角定理(1)公理4：平行于___________的兩條直線互相平行.用符號表示：設(shè)a,b,c為三條直線，若a∥b,b∥c，則a∥c.(2)等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)_____，那么這兩個角___________.同一條直線平行相等或互補(bǔ)4.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的_____________叫做異面直線所成的角(或夾角).(2)范圍：_______.銳角(或直角)判斷下面結(jié)論是否正確(1)如果兩個不重合的平面α,β有一條公共直線a，就說平面α,β相交，并記作α∩β=a.()(2)兩個平面α,β有一個公共點A，就說α,β相交于過A點的任意一條直線.()(3)兩個平面α,β有一個公共點A，就說α,β相交于A點，并記作α∩β=A.()(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()(5)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()(6)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()

解析據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知(1)對；對于(2)，其錯誤在于“任意”二字上；對于(3)，錯誤在于α∩β=A上；對于(4)，應(yīng)為平面ABC和平面DBC相交于直線BC；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，∴(5)正確；命題(6)中沒有說清三個點是否共線，∴(6)不正確.答案:(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×

1.有以下命題：①若平面α與平面β相交，則它們只有有限個公共點；②經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；③經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；④兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面.其中，真命題的個數(shù)是()(A)4(B)3(C)2(D)1【解析】選B.若平面α與平面β相交，則它們有無數(shù)個公共點，結(jié)合公理可知②③④均正確.2.若三條不同的直線a，b，c滿足a∥b,a，c異面，則b與c()(A)一定是異面直線(B)一定是相交直線(C)不可能是平行直線(D)不可能是相交直線【解析】選C.∵a∥b，a,c異面，∴b與c相交或異面.3.下列命題：①兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行；②兩條直線不異面，則這兩條直線相交；③分別在兩個平面內(nèi)的直線是異面直線；④一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點，則這條直線和這個平面平行.其中正確命題的個數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】選A.兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行、相交或異面，故①錯誤；兩條直線不異面，則相交或平行，故②錯誤；不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線，故③錯誤；一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點，則這條直線和這個平面平行、相交或直線在平面內(nèi)，故④錯誤.4.l1,l2,l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()(A)l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3(B)l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3(C)l1∥l2，l2∥l3?l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面【解析】選B.對于A：空間中垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行，如圖，l1,l3可以相交或異面,故命題錯誤.對于B:由異面直線所成的角可知，∵l2∥l3,則l1與l3所成的角與l1與l2所成的角相等，故l1⊥l3,故命題正確.對于C:空間中三條互相平行的直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱不共面,故命題錯誤.對于D:空間中共點的三條直線不一定共面，如三棱錐中共頂點的三條棱所在直線不共面.5.下列命題中不正確的是______(填序號).①沒有公共點的兩條直線是異面直線；②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面；③一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；④一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個平面.【解析】沒有公共點的兩直線平行或異面，故①錯；命題②錯，此時兩直線有可能相交；命題③正確，因為若直線a和b異面，c∥a,則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若c∥b，又c∥a，則a∥b，這與a,b異面矛盾，故c與b不可能平行；命題④也正確，若c與兩異面直線a,b都相交，由公理3可知，a,c可確定一個平面，b,c也可確定一個平面，這樣a,b,c共確定兩個平面.答案:①②

考向1

平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【典例1】(1)給出以下命題：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數(shù)是()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD且BC=AD，BE∥AF且BE=AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？【思路點撥】(1)根據(jù)相應(yīng)的公理及推論進(jìn)行判斷.(2)①證明BC，GH平行且相等即可；②證明EF∥CH，由此構(gòu)成平面，再證點D在該平面上.【規(guī)范解答】(1)選B.①假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確.對于③，b與c可能異面，③不正確.④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.(2)①由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD，所以GH∥AD且GH=AD,又BC∥AD且BC=AD，故GH∥BC且GH=BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形.②C，D，F(xiàn)，E四點共面.理由如下：由BE∥AF且BE=AF，G是FA的中點知，BE∥GF且BE=GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EF∥BG.由①知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面.又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.【互動探究】本例第(2)題的條件不變，如何證明“FE，AB，DC交于一點”？【證明】由例題可知，四邊形EBGF和四邊形BCHG都是平行四邊形，故可得四邊形ECHF為平行四邊形，∴EC∥HF，且EC=DF，∴四邊形ECDF為梯形.∴FE，DC交于一點，設(shè)FE∩DC=M.∵M(jìn)∈FE，F(xiàn)E?平面BAFE，∴M∈平面BAFE.同理M∈平面BADC.又平面BAFE∩平面BADC=BA，∴M∈BA，∴FE,AB,DC交于一點.【拓展提升】1.證明三點共線的兩種方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，于是可得這三點都在交線上，即三點共線.(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在這條直線上，從而得三點共線.2.證明三線共點的思路先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題化歸到證明點在直線上的問題.通常是先證兩條直線的交點在兩個平面的交線上而第三條直線恰好是兩個平面的交線.【變式備選】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)CE，D1F，DA三線共點.【證明】(1)如圖，連接A1B，CD1.因為E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，則EF∥A1B.又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)由(1)知，EF∥D1C且EF=D1C，故四邊形ECD1F是梯形，兩腰CE，D1F相交，設(shè)其交點為P，則P∈CE.又CE?平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點.考向2

空間中兩直線的位置關(guān)系【典例2】(1)下列命題中正確的是()①兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影必相交；②與一條直線成等角的兩條直線必平行；③與一條直線都垂直的兩直線必平行；④同時平行于一個平面的兩直線必平行.(A)①②(B)①③(C)②④(D)以上都不對(2)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點.問：①AM和CN是否是異面直線？說明理由.②D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.【思路點撥】(1)通過常見的正方體中的各棱、面的關(guān)系，判斷出各個命題的真假.(2)①由于MN∥AC，因此M，N，A，C四點共面，故AM與CN不異面.②由圖易判斷D1B和CC1是異面直線，可用反證法證明.【規(guī)范解答】(1)選D.在正方體ABCD-A1B1C1D1中AA1與B1C1是異面直線，AA1在面ABCD中的射影是點A，B1C1在面ABCD內(nèi)的射影是直線BC，故①錯；AB，AD與AA1所成的角都是90°，但AB，AD相交于A，故②③錯；直線A1D1，A1B1都平行于面ABCD，但它們相交，故④錯，故選D.(2)①不是異面直線.理由：連接MN，A1C1，AC.∵M(jìn)，N分別是A1B1，B1C1的中點，∴MN∥A1C1.又∵A1AC1C，∴A1ACC1為平行四邊形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.②是異面直線.理由：∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴B，C，C1，D1不共面.假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面矛盾.∴假設(shè)不成立，即D1B和CC1是異面直線.【拓展提升】判定空間直線位置關(guān)系的三種類型及方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.(1)異面直線，可采用直接法或反證法.(2)平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理.(3)垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.【提醒】在空間兩直線的三種位置關(guān)系中，驗證異面直線及其所成角是考查的熱點.【變式訓(xùn)練】設(shè)A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是

_(填序號).①若AC與BD共面，則AD與BC共面；②若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線；③若AB=AC，DB=DC，則AD=BC；④若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC.【解析】對于①，由于點A，B，C，D共面，顯然結(jié)論正確.對于②，假設(shè)AD與BC共面，由①正確得AC與BD共面，這與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，從而結(jié)論正確.對于③，如圖，當(dāng)AB=AC，DB=DC，使二面角A-BC-D的大小變化時，AD與BC不一定相等，故不正確.對于④，如圖，取BC的中點E，連接AE，DE，則由題設(shè)得BC⊥AE，BC⊥DE.根據(jù)線面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，從而AD⊥BC.答案:③考向3

異面直線所成的角【典例3】已知三棱錐A-BCD中，AB=CD，且直線AB與CD成60°角，點M，N分別是BC，AD的中點，求直線AB和MN所成的角.【思路點撥】可取AC的中點E，連接EM，EN，利用三角形的中位線證明EM∥AB,EN∥CD,從而確定異面直線AB和MN所成的角.【規(guī)范解答】如圖，設(shè)E為AC的中點，連接EM，EN.∵EMAB，∴∠EMN即為異面直線AB與MN所成的角(或補(bǔ)角).在△MEN中，MEAB，ENCD.∴∠MEN為異面AB與CD所成的角(或補(bǔ)角)，且△MEN為等腰三角形.當(dāng)∠MEN=60°時，∠EMN=60°，即異面直線AB和MN所成的角為60°.當(dāng)∠MEN=120°時，∠EMN=30°，即異面直線AB和MN所成的角為30°.∴直線AB和MN所成的角為60°或30°.【互動探究】把本例中的條件“AB與CD成60°角”改為“AB⊥CD”，結(jié)果如何？【解析】當(dāng)AB⊥CD時，∠MEN=90°，∴∠EMN=45°，即異面直線AB和MN所成的角為45°.【拓展提升】1.找異面直線所成的角的三種方法(1)利用圖中已有的平行線平移.(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移.(3)補(bǔ)形平移.2.求異面直線所成角的三個步驟(1)作：通過作平行線，得到相交直線.(2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角.(3)算：通過解三角形，求出該角.【變式備選】在三棱錐S-ACB中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，

則SC與AB所成角的余弦值為____.【解析】如圖，取BC的中點E，分別在平面ABC內(nèi)作DE∥AB，在平面SBC內(nèi)作EF∥SC,則異面直線SC與AB所成的角為∠FED(或其補(bǔ)角)，過F作FG⊥AB，連接DG，DF，則△DFG為直角三角形.由題知AC=2，可得EF=2，在△DEF中，由余弦定理可得答案：【滿分指導(dǎo)】求異面直線所成角主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012·上海高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=，PA=2.求：(1)三角形PCD的面積.(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.【思路點撥】

【規(guī)范解答】(1)因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.①…………3分因為所以三角形PCD的面積為……………6分(2)取PB的中點F，連接EF，AF，則EF∥BC，從而∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角.②………8分在△AEF中，由EF=，AF=，AE=2△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=.因此，異面直線BC與AE所成的角的大小是

.③…12分【失分警示】(下文①②③見規(guī)范解答過程)1.(2013·益陽模擬)如圖是某個正方體的展開圖，l1,l2是兩條側(cè)面對角線，則在正方體中，l1與l2()(A)互相平行(B)異面且互相垂直(C)異面且夾角為(D)相交且夾角為【解析】選D.將側(cè)面展開圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點重合，故l1與l2相交.連接AD，△ABD為正三角形，所以l1與l2的夾角為故選D.2.(2013·婁底模擬)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是()【解析】選D.在A圖中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，∴P，S，R，Q共面.在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，如圖，故P，Q，R，S四點共面.在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面.D圖中PS與RQ為異面直線，∴P，Q，R，S四點不共面，故選D.3.(2012·浙江高考)已知矩形ABCD，AB=1，BC=.將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中()(A)存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直(B)存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直(C)存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直(D)對任意位置，三對直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直【解析】選B.找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量.對于選項A，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過點C作CF⊥BD，垂足為F，在圖(1)中，由邊AB，BC不相等可知點E，F(xiàn)不重合.在圖(2)中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直，∵AC∩AE=A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，與點E，F(xiàn)不重合相矛盾，故A錯誤.對于選項B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD=D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC,由AB＜BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得直線AB與直線CD垂直，故B正確.對于選項C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC=D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC=，AB=1，BC＞AB，∴不存在這樣的直角三角形.∴C錯誤.由上可知D錯誤，故選B.4.(2013·懷化模擬)給出命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線a,