人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步講義第30課圓單元檢測（一）（教師版）

第30課圓單元檢測（一）一、單選題1．給出下列命題:①任意三角形一定有一個外接圓,并且只有一個外接圓;②任意一個圓一定有一個內(nèi)接三角形,并且只有一個內(nèi)接三角形;③任意一個三角形一定有一個內(nèi)切圓,并且只有一個內(nèi)切圓;④任意一個圓一定有一個外切三角形,并且只有一個外切三角形,其中真命題共有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)外心與內(nèi)心的概念，分別分析即可判斷對錯．三角形的外接圓是三條垂直平分線的交點，有且只有一個交點，所以任意三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；反過來說圓的內(nèi)接三角形可以無數(shù)多個；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，有且只有一個交點，所以任意一個三角形一定有一個內(nèi)切圓，并且只有一個內(nèi)切圓；反過來說圓的外切三角形可以有無數(shù)多個．【詳解】三角形的外接圓是三條垂直平分線的交點，有且只有一個交點，所以任意三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓，①是對的；反過來說圓的內(nèi)接三角形可以無數(shù)多個，所以②是錯的；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，有且只有一個交點，所以任意一個三角形一定有一個內(nèi)切圓，并且只有一個內(nèi)切圓，③是對的；反過來說圓的外切三角形可以有無數(shù)多個，④是錯誤的．所以正確的命題有2個．故選B．【點睛】考查三角形外心與內(nèi)心的概念，屬于概念題．2．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點P是優(yōu)弧上一點，則∠APB的度數(shù)為()A．45°B．30°C．75°D．60°【答案】D【解析】作半徑OC⊥AB于點D，連結(jié)OA，OB，∵將O沿弦AB折疊，圓弧較好經(jīng)過圓心O，∴OD=CD，OD=SKIPIF1<0OC=SKIPIF1<0OA，∴∠OAD=30°（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=SKIPIF1<0∠AOB=60°.（圓周角等于圓心角的一半）故選D.3．秋千拉繩長3m，靜止時踩板離地面0.5m，某小朋友蕩秋千時，秋千在最高處踩板離地面2m(左右對稱)，如圖，則該秋千所蕩過的圓弧長為()A．πmB．2πmC．SKIPIF1<0πmD．SKIPIF1<0m【答案】B【解析】如圖，過點B作BF⊥OE于點F，則四邊形BHGF是矩形，所以O(shè)F=OG-FG=3.5-2=1.5.Rt△OBF中，因為OB=2OF，所以∠OBF=30°，所以∠BOE=60°，所以∠AOB=120°.所以弧AB的長為SKIPIF1<0m.故選B.4．已知兩圓的半徑分別為2、5，且圓心距等于3，則兩圓位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【詳解】∵兩圓的半徑分別為2和5，圓心距為3，又∵5﹣2=3，∴兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選D．【點睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓半徑分別為R、r，兩圓圓心距為d，則當d＞R+r時兩圓外離；當d=R+r時兩圓外切；當R-r＜d＜R+r（R≥r）時兩圓相交；當d=R-r（R＞r）時兩圓內(nèi)切；當0≤d＜R-r（R＞r）時兩圓內(nèi)含．5．如圖，在直角坐標系中，一個圓經(jīng)過坐標原點O，交坐標軸于點E，F(xiàn)，OE＝8，OF＝6，則圓的直徑長為()A．12 B．10 C．14 D．15【答案】B【解析】如圖，連接EF，因為∠EOF=90°，所以EF是直徑，由勾股定理得，EF=10.故選B.6．如圖，方格紙上一圓經(jīng)過(2，5)，(－2，1)，(2，－3)，(6，1)四點，則該圓圓心的坐標為()A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)【答案】B【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．得（2，6）和（2，-2）的垂直平分線是，（-2，2）和（6，2）的垂直平分線是,則該圓圓心的坐標為（2，2），故選B．7．如圖，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，若∠CAB＝55°，則∠AOB等于()A．55° B．90° C．110° D．120°【答案】C【解析】因為CA為⊙O的切線，所以O(shè)A⊥AC，所以∠OAC=90°.因為∠CAB=55°，所以∠OAB=90°-55°=35°，因為OA=OB，所以∠OAB=∠B.所以∠AOB=180°-2×35°=110°.故選C.點睛：本題主要考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和，圓的切線垂直于過切點的半徑，由此得到90°的角，再結(jié)合等腰△OAB中的兩底角的關(guān)系和三角形的內(nèi)角和定理則可以解決問題.8．一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍得到圓錐底面半徑和母線長的關(guān)系，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的弧長=底面周長即可求得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)．【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n度．由題意得S底面面積=πr2，l底面周長=2πr，S扇形=3S底面面積=3πr2，l扇形弧長=l底面周長=2πr．由S扇形=SKIPIF1<0l扇形弧長×R得3πr2=SKIPIF1<0×2πr×R，故R=3r．由l扇形弧長=SKIPIF1<0得：2πr=SKIPIF1<0解得n=120°．故選：A．【點睛】本題通過圓錐的底面和側(cè)面，結(jié)合有關(guān)圓、扇形的一些計算公式，重點考查空間想象能力、綜合應(yīng)用能力．熟記圓的面積和周長公式、扇形的面積和兩個弧長公式并靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題9．SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，圓心距SKIPIF1<0，這兩圓的位置關(guān)系是___．【答案】內(nèi)切【解析】【分析】根據(jù)R-r=圓心距可判定兩圓內(nèi)切.【詳解】解：∵4-1=3,∴兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系,屬于簡單題,熟悉圓心距與半徑的關(guān)系是解題關(guān)鍵.10．如圖，DB切⊙O于點A，∠AOM=66°，則∠DAM=_____度.【答案】147【詳解】試題分析：DB切⊙O于A，則∠OAD=90°，∵AO=OM，∴∠OAM=∠OMA=（180°﹣∠O）÷2=62°，∴∠DAM=∠OAD+∠OAM=90°+62°=152°．故答案為152．考點：1．切線的性質(zhì)；2．等腰三角形的性質(zhì)．11．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝CD，則圖中與∠1相等的角有_________．【答案】∠6，∠2，∠5【詳解】因為AB=CD，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則根據(jù)同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等得，與∠1相等的角有6，∠2，∠5.故答案為∠6，∠2，∠5.12．在同一平面內(nèi)，點P到圓上的點的最大距離為10cm，最小距離為4cm，則此圓的半徑為_________________．【答案】3cm或7cm【詳解】設(shè)⊙O的半徑為r，

當點P在圓外時，r=SKIPIF1<0=3cm；

當點P在⊙O內(nèi)時，r=SKIPIF1<0cm.

故答案為：3cm或7cm．13．如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，過點O作OE∥AC交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F．若AC=2，則OF的長為______．【答案】1【詳解】試題分析：根據(jù)垂徑定理求出AD，證△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EOF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF=AD=1考點：(1)、垂徑定理；(2)、全等三角形的判定與性質(zhì)．14．（2015·遼寧丹東）．如圖，AB是⊙O的直徑,弧ED=弧BD，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．（1）若OASKIPIF1<0CDSKIPIF1<0SKIPIF1<0，求陰影部分的面積；（2）求證：DESKIPIF1<0DM．【答案】（1）4-π；（2）參見解析．【解析】試題分析：（1）連接OD,由已知條件可證出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的長度知道，∠DOB的度數(shù)是45度，這樣，陰影的面積就等于等腰直角三角形ODC的面積減去扇形ODB的面積．（2）連接AD，由已知條件可證出AD垂直平分BM,從而得到DM=DB,又因為弧DE=弧DB，DE=DB,所以DE就等于DM了．試題解析：（1）連接OD,∵CD是⊙O切線,∴OD⊥CD∵OA=CD=SKIPIF1<0,OA=OD∴OD=CD=SKIPIF1<0∴△OCD為等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S陰影=S△OCD-S扇OBD=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0－SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）連接AD．∵AB是⊙O直徑∴∠ADB=∠ADM=90°又∵弧ED=弧BD∴ED=BD∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM=BD∴DE=DM．如圖所示：考點：圓的性質(zhì)與三角形綜合知識．15．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬CD等于_____m．【答案】1.6【詳解】解：如圖：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，∴AE=0.8m，∴OE=SKIPIF1<0∵水管水面上升了0.2m，∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，∴CF=SKIPIF1<0m，∴CD=1.6m．故答案為1.6．考點：1.垂徑定理的應(yīng)用；2.勾股定理.三、解答題16．如圖，已知⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的長；（2）求⊙O的半徑r．【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．【分析】（1）設(shè)BF＝BD＝x，利用切線長定理，構(gòu)建方程解決問題即可．（2）證明四邊形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解決問題．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝5，∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，設(shè)BF＝BD＝x，則AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）連接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)心，勾股定理，切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．17．如圖，BE是圓O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C,（1）若∠ADE=25°，求∠C的度數(shù)；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半徑的長．【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半徑為2．【詳解】【分析】（1）連接OA，利用切線的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）如圖，連接OA，∵AC是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵SKIPIF1<0,∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵SKIPIF1<0，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=SKIPIF1<0OC，設(shè)⊙O的半徑為r，∵CE=2，∴r=SKIPIF1<0(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半徑為2．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.18．如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交半圓O于點E，交AC于點C，使∠BED＝∠C．試判斷直線AC與半圓O的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】證明見解析【解析】試題分析：猜想是相切的關(guān)系，只需要證∠CAO=90°，即證∠C+∠AOC=90°，而∠BAD+∠AOC=90°，所以需要證∠C=∠BAD，結(jié)合∠BAD=∠BED，∠BED=∠C即可.試題解析：AC與半圓O相切．理由如下：∵是∠BED與∠BAD所對的弧，∴∠BAD＝∠BED.∵OC⊥AD，∴∠AOC＋∠BAD＝90°.∴∠BED＋∠AOC＝90°.即∠C＋∠AOC＝90°.∴∠OAC＝90°.∴AB⊥AC，即AC與半圓O相切．19．已知，如圖，AB為SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，BC交SKIPIF1<0于點D，AC交SKIPIF1<0于點E，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)若圓O的半徑為SKIPIF1<0，求弦BD與SKIPIF1<0圍成的弓形的面積．【答案】（1）22.5°；（2）見解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，AB＝AC，∠BAC＝45°，即可求得∠ABE與∠ABC的度數(shù)，繼而求得∠EBC的度數(shù)；（2）首先連接AD，由圓周角定理可得，可得∠ADB＝90°，又由三線合一，即可證得BD＝DC；（3）首先連接OD，過點B作BH⊥OD于點H，易求得∠BOD的度數(shù)與△OBD的高，繼而求得答案．【詳解】解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABE＝45°，∠ABC＝∠C＝67.5°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°；（2）證明：連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（3）連接OD，過點B作BH⊥OD于點H，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC＝45°，∴BH＝OH＝SKIPIF1<0OB=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0=1，∴弦BD與SKIPIF1<0圍成的弓形的面積為：S扇形OBD-S△OBD＝SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點.∠APC=∠CPB=60°.(1)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當點P位于什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.【答案】(1)PA+PB=PC;(2