傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)

.1.傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)最簡(jiǎn)單有最常用的信號(hào)是諧波信號(hào)，一般周期信號(hào)利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)，即一般周期信號(hào)是由多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)線性1.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號(hào)x(t)只要滿足狄利克雷(dirichlet)條件，都可以展開(kāi)成1.1.1狄利克雷(dirichlet)條件狄利克雷(dirichlet)條件為： (1)信號(hào)x(t)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(當(dāng)t從左或右趨向于這個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有左極限值和右極限值)； (2)信號(hào)x(t)在一周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值； (3)信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)是絕對(duì)可積分的，即jT0/2x(t)dt應(yīng)為有限值。-T/201.1.2間斷點(diǎn)在非連續(xù)函數(shù)y=f(x)中某點(diǎn)處x處有中斷現(xiàn)象，那么，x就稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。00 (1)第一類間斷點(diǎn)(有限型間斷點(diǎn))：a.可去間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)定義(x令分母為零時(shí)等情況)；0b.跳躍間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在，但不相等(y=x/x在點(diǎn)x=0處等0情況)。 (2)第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。1.1.3傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式為0n0n00nn0nn0lnT-T/2000n0000.合并同頻項(xiàng)也可表示為0n0n式中：信號(hào)的幅值A(chǔ)和初相位9nnnnnnnn1.1.4頻譜的相關(guān)概念 (1)信號(hào)的頻譜(三角頻譜)：構(gòu)成信號(hào)的各頻率分量的集合，表征信號(hào)的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號(hào)的結(jié)構(gòu)，是A_O(或A_f)和9_O(或9_f)的統(tǒng)稱； (2)信號(hào)的幅頻譜：周期信號(hào)幅值A(chǔ)隨 (2)信號(hào)的幅頻譜：周期信號(hào)幅值A(chǔ)隨O(或f)的變化關(guān)系，用A_O(或A_f)nnn表示； (3)信號(hào)的相頻譜：周期信號(hào)相位9隨O(或f)的變化關(guān)系，用9_O(或9_f)nnn表示； (4)信號(hào)的頻譜分析：對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過(guò)程； (5)基頻：O或f，各頻率成分都是O或f的整數(shù)倍；0000 (6)基波：O或f對(duì)應(yīng)的信號(hào)；00 00n0nAcos(2"nft+9)；n0n1.1.5周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)ejOtcosOtjsinOtj220n0n0n=1令0C=1(a_jb)n2nnC=1(a+jb)_n2nn則0n_nnnnnnnn=1n=_1或n這就是周期信號(hào)的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式。.mm在一般情況下C是復(fù)數(shù)，可以寫成C=C+jC=CejpnnnnRnIn式中nnRnInCnnRnInn2nn_n2nnn2nnnnn2nnnn_n2nnnnnn=_wpnnnn=1由此可見(jiàn)，周期信號(hào)用復(fù)指數(shù)形式展開(kāi)，相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量Cej(no0t土pn)來(lái)描述，但是，負(fù)頻率的出現(xiàn)，僅僅是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，并無(wú)實(shí)際物理意義。0OO1.1.6傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開(kāi)關(guān)系由C=1(a_jb)，C=C+jC=Cejpn可知：n2nnnnRnInnnInRnInnInRnInnnnnnRnInnn是單邊頻譜幅值A(chǔ)的一半。n是單邊頻譜幅值A(chǔ)的一半。nnRnnInnnCnnnn.00Ca/2nRnCb/2nInCA/2artannb/annnaC00nRnnIA2Cnnn常量nnn量幅值2傅里葉變換的變化過(guò)程等信號(hào)均屬于瞬態(tài)信號(hào)。瞬態(tài)信號(hào)是非周期信號(hào)，可以看作一個(gè)周期的周期信號(hào)，即周期T。因此，可以把瞬態(tài)信號(hào)看作周期趨于無(wú)窮大的周期信號(hào)。2.1傅里葉變換為x(t)Cejn0t，n式中CTx(t)ejn0tdtnTT/2當(dāng)T時(shí)，積分區(qū)間T/2,T/0,；譜線間隔2/Td，000離散頻率n連續(xù)變量，所以C1T0/2x(t)ejn0tdt變?yōu)?nTT/2limClimCTx(t)ejtdt式中：Xj稱為信號(hào)x(t)的傅里葉積分變或簡(jiǎn)稱傅里葉變換(FouierTransform，F(xiàn)T)，是把非周期信號(hào)看成周期趨于無(wú)窮大的周期信號(hào)來(lái)處理的，顯然XjlimCTlimCnTn0f0f即Xj為單位頻寬上的諧波幅值，具有0“密度”的含義，故把Xj稱為瞬態(tài)信號(hào)的“頻由XjlimCTlimCn得Tn0f0f代入x(t)Cejn0t得n2xtlimXj0ejn0t2n0.0000x(t)=1j的X(jO)ejOtdOX(jO)=j的x(t)e-jOtdt和x(t)=1j的X(jO)ejOtdO構(gòu)成了傅立葉變換對(duì)2爪-的FTx(t)一X(jO)IFTFT一般地，使用一或一表示信號(hào)之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。由于IFTnnn為Q(jf)為信號(hào)x(t)的連續(xù)相頻譜。X(jf)=ReX(jf)2+ImX(jf)2Q(f)=arctanImX(jf)/ReX(jf)比較周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜可知：首先，非周期信號(hào)幅值X(jf)隨f變化時(shí)連續(xù)的，即為連續(xù)頻譜，而周期信號(hào)的幅值C隨f變化時(shí)離散的，即為離散頻譜。其次，C的量綱和信號(hào)幅值的量綱一致，而X(jf)量綱相當(dāng)于C/f，為單位頻寬上的幅值，n為“頻譜密度函數(shù)”。2.2傅里葉變換的主要性質(zhì)一個(gè)信號(hào)可以進(jìn)行時(shí)域描述和頻域描述。兩種